基于黄金分割搜索的电压暂降域快速识别方法

雷 敏，汤迪虎，兰 征，李 勇，吴艺松

（湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

电压暂降是一种严重的电能质量问题，当供电母线发生电压暂降时，大量敏感负荷无法获得所需电压，其工作性能将受到影响，严重时还会使设备停运，从而造成重大经济损失。因此，电压暂降成为了敏感负荷占比很高的现代工业配电网中亟需解决的电能质量问题[1-4]。电压暂降，是指电力系统中由于短路故障或大负荷投入等原因，导致电压有效值快速跌落至额定电压的10%～90%，并且持续时间为0.5 周波至1 min 的电能质量问题[5]，输电线路的短路故障是电压暂降的主要成因[6]，且敏感负荷是否受电压暂降的影响，与自身对电压暂降的耐受性、所处位置及输电线路的故障点位置等有关[7]。电压暂降域是指配电网中某条线路发生故障时，导致所关心节点电压降低至某个阈值以下的故障点所在区域[8]。电压暂降域可直观地反映线路故障对敏感负荷的影响程度和范围，是电压暂降综合评估的基础与前提，为电网规划、改造及敏感用户选址提供了理论依据和数据支撑。

目前，已有多种方法被用于识别电压暂降域，如临界距离法、故障点法和解析式法等。临界距离法[9]，是通过计算导致配电网中敏感负荷发生电压暂降的临界故障点及该点与敏感负荷所在母线距离，可实现对电压暂降域的识别，该法计算速度较快，但只适用于辐射型配电网。故障点法[10]，是指在线路上选定一些虚拟故障点，通过短路计算方法求取各故障点发生短路故障时敏感负荷所在母线电压暂降幅值信息，用以判断该虚拟故障点是否处于敏感负荷的电压暂降域内，该法原理简单，但其较高的计算精度需要设置数量较多的故障点。如要达0.1%精度，则需在配电网中每条线路上设置1 000 个虚拟故障点，因此计算量较大，且故障点的布置方法也没有统一标准。解析式法[11-12]，是在综合考虑临界距离法和故障点法优缺点的基础上，利用电力系统短路故障进行分析而提出的一种根据暂降幅值解析式计算电压暂降域的方法。但是在求解电压暂降解析式与暂降阈值构成的故障电压方程时，使用的数值方法较为单一，算法耗时较长。且在识别节点较多网络时，可能会因迭代初值点难以求解导致出现与实际情况不符的情况，从而不能适用于大型复杂电网。

针对上述情况，本文提出一种基于黄金分割搜索的电压暂降域快速识别方法，首先求得任一故障点处发生任意短路故障时，敏感负荷节点电压暂降幅值的解析式；然后引入节点判定向量和线路关联向量及相应判定准则，以此实现对临界点的分类计算；对采用传统插值拟合曲线所存在的问题进行分析，提出一种由黄金分割搜索改进的二次插值法进行曲线拟合，该方法为正割迭代提供了更优的初值点，有利于提高临界点计算的准确度；最后采用故障点法作为补充算法，用以计算求解困难线路。在保证计算精度的同时，改善了算法的收敛速度，适用性广泛。

2 电压暂降解析式与临界点计算

2.1 基于暂降幅值计算的电压暂降解析式

本文主要考虑配电网中因短路故障所引起的敏感负荷发生电压暂降的情况。为精确找到每条线路上电压暂降域的临界点，需先通过对称分量法和短路分析得到敏感负荷所在母线电压暂降幅值。本文先根据短路情况给出4 种故障工况下电压暂降幅值表达式。

1）三相短路故障。当故障点K处发生三相短路故障时，由于属于对称平衡故障，故只考虑正序，且敏感负荷节点S处的三相电压暂降幅值相同，其某一相电压暂降幅值为

式中：为S点处电压暂降幅值；为正序自阻抗；为正序互阻抗；为S点处故障前电压；为K点处故障前电压。

由式（1）可知，S点处的电压暂降幅值与系统结构参数和系统发生故障前运行状态有关。当故障点K处发生以A相为特殊相的不对称短路故障时，需采用对称分量法进行分析。

2）单相接地短路故障。当故障点K处发生以A相为特殊相的单相接地短路故障时，S点处的三相电压暂降幅值分别如下：

3）两相短路故障。当B相和C相发生两相短路故障时，S点处的三相电压暂降幅值分别如下：

4）两相接地短路故障。当B相和C相发生两相接地短路故障时，S点处三相电压暂降幅值分别如下：

由式（2）～（4）可知，敏感节点S的三相电压暂降幅值与系统结构参数、系统发生故障前运行状态及旋转因子有关，图1 为电压暂降幅值计算示意图。

图1 电压暂降幅值计算示意图Fig. 1 Schematic diagram for the sag amplitude calculation

当短路故障发生在系统母线上时，其自阻抗和互阻抗可以直接从节点阻抗矩阵中调用；但是当短路故障发生在线路上的某一点时，其自阻抗和互阻抗的计算需要通过引入位置变量p联立节点阻抗矩阵进行求取。如图1 所示，传输线路F-T上K点发生短路故障时，用位置变量p（0 ≤p≤1）定位故障点。S点为敏感负荷所在母线节点，ZC为线路F-T的序阻抗。当故障点K在线路F-T上移动时，其三序自阻抗和故障点K与S点间的三序互阻抗皆可由目标网络阻抗矩阵Z和位置变量p表示[13]：

此外，故障点K发生故障前的电压也可用故障位置变量p来表示：

式中，、分别为母线F和T上的故障前电压，可通过潮流计算得到。

因此S点的电压暂降幅值可由故障前电压和各序阻抗来表示。将式（5）～（7）代入式（1）～（4），便可得任一故障点处发生任意短路故障时，S点电压暂降幅值关于位置变量p的函数解析式U(p)。

2.2 基于传统插值法的临界点计算限制

临界点是指配电网络中导致敏感负荷所在母线处的电压暂降幅值等于敏感负荷电压暂降阈值的故障位置。保证临界点的计算准确性和计算速度是暂降域精准识别的关键，需准确且快速求解故障电压方程U(p)=Uth（Uth为敏感负荷电压暂降阈值）。然而关于变量p的故障电压方程高于4 次，因此普通求解方程方法并不适用计算临界点。求解高阶方程有几种数值分析方法，其中Newton-Raphson 方法（如式（8）所示）在大多数情况下有较快收敛速度。但因难以求得故障电压方程的微分解析表达式，故不能直接应用此方法。此外，在使用类似Newton-Raphson 的开放型数值分析方法过程中，并不能保证其收敛性。

虽然一些交叉型数值分析方法能够很好地保证系统收敛性，但是收敛速度较慢，因此在大型电力系统计算中并不高效。针对这一问题，可先通过牛顿二次插值法求得当线路0 ≤p≤1 上发生短路故障时，敏感负荷的近似暂降幅值曲线，以及故障电压方程Uth=ap2i+bpi+c。牛顿二次插值法如式（9）所示[14]。

式中：U[p0]、U[p0,p1]、U[p0,p1,p2]分别为U关于距离p0的零阶均差、一阶均差和二阶均差，可以由式（10）～（12）计算得到。

然而传统插值法在求取插值曲线时，对系统中所有线路均采用p=0、p=0.5 和p=1 作为插值点，导致在某些情况下，计算所得结果会与实际电压暂降域有较大的偏差。即采用传统插值法拟合的二次曲线，对临界点的计算会有一定的限制。

如图2 所示，当二次插值曲线的最大电压幅值远低于实际暂降幅值曲线的最大值时，可能会误把整条线路计入暂降域中，即故障电压方程无解。对于此种情况，本文拟采用黄金分割搜索法改进的牛顿二次插值法，以有效解决这一问题。采用黄金分割搜索法的目的是快速找到pF≤p≤pT（pF=0，pT=1）中使得敏感负荷所在母线电压暂降幅值为最大值的点pmax，而使用pmax作为插值点，可以保证拟合的二次插值曲线经过实际幅值曲线的最大值，从而有效避免在临界点计算时可能出现与实际不相符的情况，提高了临界点计算的准确性。

图2 实际幅值曲线与插值曲线对比Fig. 2 Comparison between the actual amplitude curves and the interpolation curves

3 电压暂降域的识别

3.1 引入判定向量

敏感负荷的电压暂降域，是指配电网线路发生短路故障时引起的敏感负荷节点电压降至最低耐受电压幅值以下，从而使得敏感负荷不能正常工作的故障点所在区域。精准识别暂降域的关键是快速找出所有的故障临界点，但若对网络中的所有线路都采用相同的计算方法，就会出现一些重复且无意义的计算工作，导致计算效率较低。对此，本文通过判断电力系统中各母线和线路在暂降域中的被包含情况，对网络中的所有线路进行分类，从而针对性地采用不同的数值分析方法进行临界点位置的精确计算。

在进行线路分类时，本文引入了一些判定向量及判定规则，具体分析过程如下。

计算各母线短路故障时敏感负荷节点S的电压暂降幅值，形成母线节点电压暂降幅值n维向量，并与敏感负荷电压暂降阈值作比较，得到差值向量ΔUS。

式中：为母线i发生短路故障时敏感负荷所在节点S的电压幅值。

通过判断ΔUS向量元素的正负，便可知各节点是否处在敏感节点的暂降域之内，因此，引入节点判定向量B：

由式（14）可知，Bi=1 表示母线i在敏感负荷所对应的电压暂降域之内；Bi=0 则表示母线i在敏感负荷所对应的电压暂降域之外。由此，为判断每条线路在暂降域中的包含情况，引入线路关联向量L：

式中：Bi_F和Bi_T为连接线路母线暂降判定因子。

观察式（15）可知，Li的取值由连接线路i的两个母线暂降判定因子的代数和决定。因此，Li可取值0, 1, 2，其代表的物理意义如下：

1）Li=0，表明线路i所连接的两条母线都在电压暂降域之外，则可知线路i也完全位于暂降域之外，且线路i上没有临界点。

2）Li=1，表明线路i所连接的两条母线中，有一条位于电压暂降域之内。如图3 所示，则可知线路i部分位于暂降域之内，且线路上存在唯一的临界点。

图3 Li=1 时临界故障点示意图Fig. 3 Critical fault point schematic diagram with Li=1

3）Li=2，表明线路i所连接的两条母线均位于电压暂降域之内。Li=2 时的临界故障点示意图如图4所示，由图可知，线路i将部分或全部位于暂降域以内，也就意味着线路i存在2 个或0 个临界点，此时先求得电压暂降幅值曲线的最大值，再将其与电压阈值Uth比较大小，即可确定线路上的临界点个数。

图4 Li=2 时临界故障点示意图Fig. 4 Critical fault point schematic diagram with Li=2

因此，只有当Li取值1 或2 时，才需要进一步计算线路上的临界点，从而减少了计算时间。

3.2 电压暂降域识别方法及改进

由上述分析可知网络中所有线路上临界点的个数和分布情况，本文为在保证算法精度的前提下提高计算速度，采用了多种数值分析方法进行临界点位置的精确计算，从而快速地识别出电压暂降域，算法流程图如图5 所示。

图5 电压暂降域求解算法流程图Fig. 5 Flowchart of sag domain solving algorithm

电压暂降域具体计算步骤如下：

1）暂降幅值计算。根据给定系统网络参数，通过追加支路法或导纳矩阵求逆计算网络各序节点阻抗矩阵，并用式（1）～（4）得到各节点发生不同类型短路故障时敏感负荷所在节点电压暂降幅值。

2）线路分类。由步骤1 得到敏感负荷所在节点电压暂降幅值向量USf，按式（13）～（15）计算得节点判定向量B和线路关联向量L，并对所有线路进行逐条遍历。若Li=0，表明线路不在电压暂降域内，直接计算下一条线路；若Li=1，表明此线路首末节点中有1 个节点在暂降域内，则可知线路i部分位于暂降域内，且线路上存在唯一临界点；若Li=2，表明此线路首末节点均在暂降域内，则先采用黄金分割搜索法求解电压暂降幅值曲线的最大值Umax，并将其与敏感负荷电压暂降阈值Uth进行比较。若Umax＜Uth，说明此线路完全处于暂降域内，不存在临界点，则直接计算下一条线路；若Umax≥Uth，说明线路i部分位于暂降域内，且线路上存在2 个临界点。

3）临界点计算。只需对步骤2 中Li=1, 2 的情况进行临界点的计算。Li=1 时，直接使用（0,UF）、（0.5,U0.5）和（1,UT）3 点作为插值点，通过牛顿二次插值法获得电压暂降幅值解析式U(p)以及故障电压方程Uth=ap2i+bpi+c；Li=2 时，改用（0,UF）、（pmax,Umax）和（1,UT）3 点作为牛顿二次插值法的插值点，求取电压暂降幅值解析式和故障电压方程。然后将上述故障电压方程的根pia作为正割迭代法的初始迭代值，通过迭代求得精确的临界点位置。基于正割迭代法的临界故障距离迭代表达式如下：

其收敛条件为

正割迭代法是一种逼近准确根的算法，且其不需要计算敏感负荷电压暂降幅值方程的微分，因此比牛顿迭代法更加高效。此外，在实际计算过程中，存在线路临界点计算难以收敛的情况，故本文将故障点法作为补充算法，以计算有求解困难线路的临界点。

4）识别出暂降域。重复步骤1～3，直到完成配电网络中所有线路的遍历和迭代，就可得到给定网络参数和敏感负荷阈值时的电压暂降域。

4 算例分析

4.1 系统模型分析

为检验上述电压暂降域刻画算法的有效性，以IEEE30 节点标准测试系统进行仿真验证。该系统由6 台发电机组、30 条母线、37 条输电线路以及4 台变压器组成，设置母线20 和母线29 为敏感负荷接入点，敏感负荷电压暂降阈值Uth为0.743p.u.。通过本文所提算法，确定各种短路故障情况下3 条母线的电压暂降域。限于篇幅，此处仅列出单相接地短路（A相接地）与三相短路时，敏感负荷对应的所有临界点 和电压暂降域，分别如图6 与图7 所示。

图6 单相接地短路时敏感负荷电压暂降域分布Fig. 6 Voltage sag domain distribution of the sensitive loads under SLGF

图7 三相短路时敏感负荷电压暂降域分布Fig. 7 Voltage sag domain distribution of the sensitive loads under 3LF

4.2 提高暂降域识别的精确度

为进一步验证上述算法识别暂降域的准确性，分别采用故障点法、传统插值法和本文所述算法求解节点20 在电压暂降阈值为0.743p.u.时的暂降域。关于故障点法，所采用的计算精度为0.1%，即对每条线路均匀设置1 000 个故障点。为了更直观地比较各算法的性能，下面将部分线路（含有临界点的线路）的暂降域采用数值区间的形式展现，结果如表1 所示。

表1 本文算法与故障点法、传统插值方法的部分计算结果对比Table 1 Calculation result comparison of the proposed algorithm with the fault point method and traditional interpolation method

由于本文设置故障点的方式，使用故障点法搜索临界点可将误差完全控制在0.1%以下，因此将故障点法的搜索结果作为评定算法计算准确性的标准。通过对比，发现在同等条件下，本文算法所得结果更接近故障点法的计算结果，因此本文算法计算临界点时的精确度更高。特别是当遍历到2-4 线路时，传统插值方法无法正确识别线路上的临界点，针对这种情况，本算法进行了优化，具体优化过程如下：

首先，计算出母线2 和母线4 上发生单相接地短路时，敏感负荷所在母线20 上的暂降幅值和，分别为0.617p.u.和0.468p.u.，均小于敏感负荷的暂降阈值Uth，所以B2和B4均取值1，线路2-4的线路关联向量L为2，表示母线2 和母线4 均在暂降域内，因此需要进一步根据牛顿二次插值曲线判断线路2-4 上临界点的分布情况。在传统插值方法的算法中，所有线路均使用p=0、p=0.5 和p=1 的3 点数据作为牛顿二次插值法的插值点，当线路2-4 上发生单相接地短路时，敏感负荷所在母线20 上的暂降曲线如图8 所示。

图8 线路2-4 的传统方法插值曲线与实际曲线对比Fig. 8 Comparison of traditional methods and the actual sag amplitude curves for line 2-4

如图8 所示，尽管线路上实际存在两个临界点，但使用传统插值方法拟合的二次插值曲线无法识别线路上的临界点，其原因是传统插值曲线的最大幅值低于实际曲线的，从而误将整条线路计入暂降域内。本文对于此种情况，首先通过黄金分割搜索法得到敏感负荷所在母线20 处的电压暂降幅值最大值点的坐标（0.359，0.745），即当pmax=0.359 时，取Umax=0.745p.u.；然后使用（0，0.617）、（0.359，0.745）和（1，0.468）3 点进行二次插值，得到新的电压暂降曲线，曲线经过了实际暂降幅值曲线的最大值点，如图9 所示。

图9 线路2-4 本文算法插值曲线与实际曲线对比Fig. 9 Comparison of the proposed method with the actual sag amplitude curves for line 2-4

由图9 可以得知，该方法可为正割迭代法求取临界点提供更合适的初始迭代值。通过迭代，得出临界点p1和p2分别为0.306 和0.423。因此，线路2-4 在暂降域内的两部分被准确地确定为[0, 0.306]和[0.423, 1]。若使用传统插值法，会误将约11.5%的线路长度计入暂降域。

4.3 提高暂降域识别的计算速度

3 种算法的性能对比见表2，可知在识别同一工况下标准测试系统的暂降域时，使用故障点法（达到0.1%精度）识别出暂降域需8.50 s，使用传统插值方法需3.62 s，使用本文所提算法则只需1.18 s。

表2 3 种算法的性能对比Table 2 Performance comparison of the algorithms

使用基于传统插值法的暂降域识别算法的确相比于故障点法有所提高，但是由于传统算法对每条线路均采用先插值后迭代求得临界点的方式，从而使得求取过程中可能出现一些试探性的工作，并且难以避免迭代不收敛或者出现根值无意义的情况。而本文所提算法在临界点计算前，引入判定向量和判定规则对线路进行分类，以提前确定各临界点的大致分布，从而系统地计算各临界点位置，达到降低算法整体复杂度的目的。此外，本文在最后使用故障点法作为算法补充，可以有效搜索出迭代不收敛、有求解困难线路上的临界点，虽然有可能对计算速度有轻微的影响，但是保证了算法的广泛适用性。

5 结语

本文提出了一种基于黄金分割搜索的电压暂降域快速识别方法，并通过实验验证其计算精度和算法收敛速度，该方法相对于传统方法存在以下优点：

1）将临界点的求解简化为二次解析式与敏感负荷电压暂降阈值的交点问题，使得其具有明确的几何意义，在此基础上引入多种计算方法系统性求解，避免对每条线路使用同种方法而导致的算法低效问题，大幅度提升了算法性能。

2）通过引入判定向量及判定规则，能更高效地确定各线路临界点分布情况，减少了重复性计算，一旦求得插值方程及拟合曲线，利用正割迭代法就可快速计算出线路临界点，并使用故障点法作为补充算法，用以计算有求解困难的线路，从而能适应大型复杂电力系统的临界点计算与暂降域识别的需要。