距离角度失配条件下的FDA-MIMO雷达运动目标检测算法

张顺生 李 鑫 黄栎冰 王文钦

（1.电子科技大学电子科学技术研究院，四川成都 611731；2.电子科技大学信息与通信工程学院，四川成都 611731）

1 引言

频控阵（Frequency Diverse Array，FDA）不同于常规相控阵雷达，通过在于不同发射阵元的载波之间施加一定的频偏，使得频控阵各个发射阵元信号的相位叠加关系与距离有关，波峰和波谷会出现在不同距离［1-3］。因此，频控阵雷达的发射波束不仅和方位角有关，而且与距离也有关，这一特点使得频控阵雷达在近年来得到了广泛的关注［4-6］。同时，为了进一步增加自由度，有学者将MIMO 雷达与频控阵雷达的概念相结合提出频控阵-多输入多输出（FDA-Multiple Input Multiple Output，FDA-MIMO）雷达的概念［7-9］。FDA-MIMO 雷达的不同天线发射不同载频且正交的波形，这令FDA-MIMO 雷达有MIMO 雷达的虚拟孔径特性，同时也具有距离依赖特性，使得FDA-MIMO 雷达在目标检测和参数估计方面具有优势［10-12］，且发射的正交波形克服了相干频控阵雷达回波信号处理难的问题［13-15］。因此，这些特性吸引了许多学者进行相关研究。

然而，距离维的自由度也给FDA-MIMO 雷达带来了新的问题。信号采样引起的延迟误差将导致FDA-MIMO 雷达的导向矢量失配［16］，进而导致检测性能严重下降。同时，目标的运动也会带来距离走动［17-19］和多普勒扩展问题［20-22］。因此，需要对FDA-MIMO 雷达在导向矢量失配条件下的检测方法，以及针对运动目标的信号处理和检测方法展开研究。

FDA-MIMO 雷达的频率分集特点带来了额外的距离维信息，然而采样误差同样带来了导向矢量失配的问题，不仅如此，角度误差的存在也会进一步加重导向矢量的失配，极大地影响检测器的检测概率。此外，目标速度过快也会对FDA-MIMO 雷达的目标检测产生影响。速度的影响具体表现在两个方面：一是目标的距离走动，从而导致不同慢时间的回波包络不能对齐，二是频率增量引起的多普勒扩展，使得不同发射通道的多普勒频率不一样，这会进一步影响检测性能。针对上述问题，本文针对距离角度失配条件下的运动目标检测问题，由于目标的运动会带来距离徙动和多普勒扩展效应，因此引入Keystone 变换进行校正，并分析了Keystone 变换对噪声协方差矩阵的影响，在此基础上，分析了距离角度失配情况下的自适应子空间检测器和子空间矩阵的构建方法，并提出一种基于Keystone 变换的子空间广义似然比检验方法，理论推导和仿真结果表明，相比于传统算法，该方法在距离角度失配条件下具有更好的检测性能。

2 信号模型

2.1 FDA-MIMO雷达运动目标的接收信号模型

设一个发射阵元数为MT，接收阵元数为MR的共置FDA-MIMO 雷达。发射阵列和接收阵列都为均匀线阵，发射阵元间距和接收阵元间距分别为dT、dR，并且假定第m个发射阵元的信号为

其中，fm为第m个发射阵元的载频，满足fm=f0+(m-1)Δf，Tp表示波形持续时间，ϕm(t)为第m个发射阵元的复基带信号，表示为

其中，u(t)表示基带脉冲，脉宽为Tp，带宽为B，TPR表示PRI，K表示快拍数。

此外，假设信号波形满足正交条件，则第k个PRI 的回波信号经过多通道匹配滤波后可以表示为［17］

2.2 基于Keystone 变换的距离徙动和多普勒扩展校正

由于FDA-MIMO 发射的是多载频信号，在目标速度较快的情况下，不仅会出现距离徙动，同时不同通道信号的多普勒频率也不一样，这会恶化检测器的性能。因此，下面将利用Keystone 变换理论，解决距离徙动和多普勒扩展。

经过多通道匹配滤波的第n个接收阵元第m个通道的信号经过FFT后的表达式为

其中，ft表示快时间对应的频率。接着，Keystone 变换在慢时间维进行尺度变换

接着将式（7）代入式（6），有

采用sinc插值方法实现尺度变换，有：

最后，对式（9）沿快时间频率做傅里叶逆变换，有

根据式（10）可以看出，经过Keystone 变换后的信号的包络不再随着慢时间变化，距离徙动被消除，同时多普勒频率也被校正至同一位置。

3 基于Keystone 变换的子空间广义似然比检验

由于Keystone 变换改变了噪声协方差矩阵的结构，导致似然函数也发生变化，因此，需要重新推导GLRT检测器。下面将基于2步GLRT准则，分为全空时和仅考虑空域两种情况分别推导基于Keystone 变换的子空间GLRT检测器形式。

3.1 全空时处理

我们提出了一种全空时处理检测器，该检测器同时考虑了经Keystone变换后的噪声的时间相关性和空间相关性，因此将该检测器命名为Keystone-全空时处理检测器。为此，将K个快拍数据排列为向量

其中，n′表示经Keystone 变换后的K个快拍的噪声经列向量化后的噪声向量

其中，索引g和h与n，m和k均为正整数，满足下列关系

为了解决发射接收联合导向矢量的失配问题，引入子空间模型，则式（11）可以写为

其中，Aω表示子空间矩阵，由标称导向矢量和多普勒矢量决定，可得到Aω的表达式为

根据上式，目标检测的二元假设可以写为

因此，H1和H0假设下的观测数据的概率密度函数可以表示为

由概率密度函数，假设协方差矩阵已知条件下，自适应检测器由下式给出

对似然函数取对数，式（22）可以写为

对式（23）中a项求导并等于0，有

则a的最大似然估计可以写为

将式（25）代入式（23），可以得到协方差矩阵已知条件下的检测器可以表示为

最后，将协方差矩阵的估计值代入式（26），得到两步GLRT检测器为

3.2 空域处理

3.1 节提出的全空时处理方法同时考虑了空间相关性和时间相关性，协方差矩阵的规模很大，计算复杂度很高。为了降低计算复杂度，提出一种仅考虑空间相关性的检测器，将该检测器命名为Keystone-空域处理检测器。

根据sinc 函数的正交性质［23］可知，式（15）的非对角元素矩阵含有很多0 元素，因此为了降低计算复杂度，近似认为除了对角位置的矩阵，其余矩阵元素全部为0，即满足

尽管这一近似可能会令检测器的检测性能下降，但计算复杂度会显著降低。

根据式（30）可知，近似后的协方差矩阵表明噪声数据在慢时间是独立同分布的，但每个慢时间对应的噪声协方差矩阵不同，即表示第k个快拍对应的噪声向量。因此，接收到的第k个PRI的数据可以表示为

用K个快拍的数据构成数据矩阵Z进行联合处理，即

其中，N′的表达式为

同样地，引入子空间模型，假设真实的导向矢量属于一个子空间，该子空间与标称导向矢量有关，即

接收到的数据Z可以重写为

则目标检测的二元假设检验问题可以写为

在H1和H0假设下信号的概率密度函数可以写为

根据2 步GLRT 准则，假设协方差矩阵Rk已知的条件下，检测器由下式给出

对似然函数取对数，式（39）可写为

对式（40）左边中a项求导并取0，有

根据式（41），在H1条件下，a的最大似然估计由下式给出

将式（42）代入（40）并进行一些代数运算，可以得到协方差矩阵已知情况下的检测器可以表示为

第二步，用协方差矩阵的估计值。

对比式（44）和式（27）可以看出，经过简化的检测器的计算复杂度更低。下面将通过蒙特卡罗仿真对比不同检测器的检测概率和计算复杂度。

4 仿真分析

4.1 检测概率

FDA-MIMO 雷达的参数如表1 所示，采样率fs设置为60 MHz，采样点个数L=100，且假设训练数据是充足的。

表1 雷达参数Tab.1 Radar parameters

目标的标称角度θ*为42°，标称距离r*为50 km，距离的最大误差Δ/2 为1.25 m，距离误差Δr为1.25 m，角度的最大误差Δ′/2 为5°，角度误差Δθ为-5°，速度vs为512 m/s。为了对比不同检测器的检测概率，在Keystone 变换前引入噪声，假设噪声和杂波协方差矩阵为

考虑单载波雷达信号，假设雷达载频为2.8 GHz，带宽为30 MHz，采样率为60 MHz。目标的速度为512 m/s，初始距离为50 km，脉冲重复频率为1 kHz，积累脉冲数为50 个。图1（a）的仿真结果为Keystone变换前的二维图像，图1（b）为对应的多脉冲积累结果。根据图1（a）和图1（b）可以看出，目标的高速运动产生了距离单元徙动，且能量发生散焦，将会严重影响积累性能，降低雷达的目标检测能力。经过 Keystone变换后，信号的二维图像如图1（c）和图1（d）所示。从图1（c）中可以看出，经过Keystone 变换后，信号的包络位于同一距离门，说明Keystone 变换可以校正距离单元徙动。可以看出，相比图1（b），图1（d）没有发生散焦。这表明经过Keystone变换后，信号的能量更加集中。

图1 Keystone变换前后的信号响应Fig.1 Comparison of the signal response before and after the Keystone transform

经过传统Keystone 变换的结果如图2（a）所示，可以看出，目标因高速运动产生的距离单元徙动被消除，但多普勒扩展现象仍然存在。接着，采用式（7）对应的尺度变换，得到的信号结果如图2（b）所示，可以看出，通道间的多普勒扩展已经被校正。

图2 校正多普勒拓展前后距离-多普勒响应Fig.2 Comparison of the range-Doppler responses before and after the Doppler spread correction

图3 展示了GLRT 检测器在不同角度误差和距离误差时检测概率随信噪比的变化曲线，其中角度失配量的单位是度，距离失配量的单位是m。可以看到，随着角度和距离失配量的增加，检测器性能受到严重影响。其中虚警概率设置为10-3，蒙特卡罗仿真模拟的独立试验次数为50/Pfa。

图3 角度距离失配时的GLRT检测器性能Fig.3 GLRT detector performance under angle or range mismatch

图4 展示了Keystone-全空时处理检测器、Keystone-空域处理检测器和GLRT 检测器随SNR 变化的曲线，其中子空间维数ps=6。图4（a）是频偏为30 MHz 的仿真结果。可以看到，Keystone-全空时处理检测器和Keystone-空域处理检测器相比GLRT 检测器有着更好的性能，这是因为Keystone变换改变了协方差的结构，而传统算法没有考虑对协方差结构的影响，因此会损失一定的性能，表明了Keystone-全空时处理和Keystone-空域处理检测器的有效性。此外，Keystone-全空时处理检测器和Keystone-空域处理检测器性能非常的接近，表明式（30）对应的近似处理是有效的，可以在一定程度上降低计算复杂度且性能损失不大。图4（b）展示了频偏为0 MHz 情况下的仿真结果，可以看出，三种检测器的性能非常接近。产生这种现象的原因在于，根据Keystone系数的计算公式可知，Keystone的系数项与频偏是有关的，频偏越小，不同发射通道的Keystone 系数越接近，Keystone 变换对协方差矩阵的影响越小。

图4 不同频偏条件下，不同检测器的检测概率随SNR的变化Fig.4 Comparison of detection probability with SNR for different detectors under different frequency offset

4.2 计算复杂度

假设发射阵元和接收阵元数为MT和MR，子空间维数为ps且ps＜MT。不同检测器的计算复杂度如表2所示。

表2 计算复杂度Tab.2 Computational complexity

假设MT=MR=K=Mc，则Keystone-全空时处理检测器、Keystone-空域处理检测器和GLRT 检测器的计算复杂度分别为图5 展示了不同检测器的计算复杂度结果，可以看出，传统的GLRT 检测器有着最低的计算复杂度，Keystone-全空时处理检测器的计算复杂度很高，而Keystone-空域处理检测器处于两者之间。

图5 不同检测器的计算复杂度对比Fig.5 Computational complexity comparison between different detectors

5 结论

本文主要研究了在高斯白噪声背景下距离角度失配时的FDA-MIMO 雷达目标检测算法。在同时考虑采样误差以及角度误差的情况下，研究了检测器和子空间的构建，仿真结果表明，相比仅考虑距离失配的情况，距离角度同时失配时，会增大子空间的维数。此外，还研究了FDA-MIMO 雷达中的运动目标检测。首先引入Keystone 变换算法，消除距离徙动和多普勒扩展，随后引入子空间模型以抵导向矢量失配的影响，为了得到性能较好的检测器，考虑了Keystone 变换的重采样过程对噪声的影响，并推导了对应的检测器。最后，数值仿真结果表明，基于Keystone 变换的自适应检测器相比传统方法，有更好的检测性能。