2024年新高考数学模拟卷(一)

李春林

(甘肃省天水市第九中学,甘肃 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西)

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

2.设集合A={x|x≤a},B={x|x≥2},(RB)∪A=A,则a的取值范围为( ).

A.a>2 B.a<2 C.a≥2 D.a≤2

A.10 B.40 C.30 D.20

4.已知数列{an}为等比数列,Sn为{an}的前n项和,且S3=1,S6=3,则a10+a11+a12=( ).

A.8 B.5 C.6 D.7

7.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如40=3+37.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ).

8.如图1,该几何体为两个底面半径为1,高为1的相同的圆锥形成的组合体,设它的体积为V1,它的内切球的体积为V2,则V1∶V2=( ).

图1 第8题图

二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)

10.如图2,△ABC和△DBC所在平面垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则( ).

图2 第10题图

A.异面直线AD与BC所成角的大小为60°

C.直线AD与平面BCD所成角的大小为45°

D.直线AD与平面BCD所成角的大小为60°

11.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2=1,点P为直线l:x-y-2=0上的动点,则( ).

C.过点P作圆C的一条切线,切点为Q,∠OPQ可以为60°

12.定义n-1阶导数的导数叫做n阶导数(n∈N*,n≥2),即f(n)(x)=[f(n-1)(x)]′,分别记作f″(x),f‴(x),f(4)(x),…,f(n)(x).设函数f(x)=axex,不等式f(2023)(x)>x2+2023x对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值可能为( ).

第Ⅱ卷(非选择题)

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

14.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图(如图3):

图3 第14题图

利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性,此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.设函数f(c)=p(c)+q(c),则函数f(c)在区间[95,105]取得最小值时c=____.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知数列{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,a3=1,S9=45.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.

18.如图4,在四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,侧面PCD是等边三角形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=2CD=2BC,M在棱AB上,且满足AB=4BM.

图4 第18题图

(1)求证:PM⊥CD;

(2)求二面角P-CM-A的余弦值.

19.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别是a,b,c,且bcosC+ccosB=3acosA.

(1)求cosA;

(1)求椭圆C的标准方程;

21.红蜘蛛是柚子的主要害虫之一,能对柚子树造成严重伤害,每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(℃)有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值(如图5).

图5 第21题图

(1)根据散点图判断,y=bx+a与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(℃)的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(2)由(1)的判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到0.1)

参考数据(z=lny)∑7i=1x2i∑7i=1xiyi∑7i=1xizix-y-z-5215177137142781.33.6

(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计,得到以下数据:平均气温在22 ℃以下的年数占60%,对柚子产量影响不大,不需要采取防虫措施;平均气温在22 ℃至28 ℃的年数占30%,柚子产量会下降20%;平均气温在28 ℃以上的年数占10%,柚子产量会下降50%.为了更好地防治红蜘蛛虫害,农科所研发出各种防害措施供果农选择.

在每年价格不变,无虫害的情况下,某果园年产值为200万元,根据以上数据,以得到最高收益(收益=产值-防害费用)为目标,请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案,并说明理由.

方案1:选择防害措施A,可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产,费用是18万;

方案2:选择防害措施B,可以防治22 ℃至28 ℃的蜘蛛虫害,但无法防治28 ℃以上的红蜘蛛虫害,费用是10万;

方案3:不采取防虫害措施.

22.已知函数f(x)=2lnx+ax(a∈R).

(1)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围:

(2)设g(x)=x3-f(x),x1,x2为函数g(x)的两个零点,证明:x1x2<1.

参考答案

1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B

8.D 9.BCD 10.BC 11.ABD 12.BD

17.(1)据题意,数列{an}为等差数列,则S9=9a5=45,所以a5=5.故2d=a5-a3=4.

所以d=2,则an=a3+(n-3)d=2n-5.

(2)bn=an·2n=(2n-5)·2n,

则Tn=(-3)×21+(-1)×22+…+(2n-5)

×2n,

①

2Tn=(-3)×22+(-1)×23+…+(2n-5)

×2n+1.

②

由①-②,得

-Tn=(-3)×21+2×22+…+2×2n-(2n-5)×2n+1

=-14+(7-2n)×2n+1.

则Tn=14+(2n-7)×2n+1.

18.(1)取CD中点N,连接MN,PN,

因为∠ABC=∠BCD=90°,所以AB∥CD.

又因为AB=2CD,AB=4BM,

所以CN=BM.

所以四边形BMNC是平行四边形.

而∠ABC=∠BCD=90°,

所以CD⊥MN.

又因为△PCD为等边三角形且N为CD中点,

所以PN⊥CD.

PN,NM⊂平面PNM,PN∩NM=N,

所以CD⊥面PMN,PM⊂面PMN.

所以CD⊥PM.

(2)因为平面PCD⊥平面ABCD,且平面PCD∩平面ABCD=CD,PN⊥CD,PN⊂平面PCD,

所以PN⊥平面ABCD,MN,ND⊂平面ABCD.

所以NM,ND,NP两两垂直.

图6 第18题第(2)问答案示意图

平面ABCD的一个法向量可取为m=(0,0,1),

设平面PCM的法向量为n=(x,y,z),

设二面角P-CM-A的平面角为α,

19.(1)由bcosC+ccosB=3acosA,可得到

sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosA.

即sin(B+C)=3sinAcosA.

因为B+C=π-A,所以sin(B+C)=sinA≠0.

则bc=3.

由余弦定理,得

20.(1)因为C△PF1B=|PF1|+|PF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,所以4a=8,a=2.

图7 第20题第(2)问答案示意图

(3m2+4)y2-6my-9=0.

21.(1)由散点图可以判断,y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型.

(2)将y=cedx两边同时取自然对数,可得

lny=lnc+dx.

由题中的数据可得,

所以z关于x的线性回归方程为z=0.3x-4.5.

故y关于x的回归方程为y=e0.3x-4.5.

(3)用X1,X2和X3分别表示选择三种方案的收益.

采用第1种方案,无论气温如何,产值不受影响,收益为200-18=182万,即X1=182.

采用第2种方案,不发生28 ℃以上的红蜘蛛虫害,收益为200-10=190万,如果发生,则收益为100-10=90万,即

同样,采用第3种方案,有

所以E(X1)=182,

E(X2)=190×P(X2=190)+90×P(X2=90)=190×0.9+90×0.1=171+9=180,

E(X3)=200×P(X3=200)+160×P(X3=160)+100×P(X3=100)

=200×0.6+160×0.3+100×0.1=178.

显然,E(X1)最大,所以选择方案1最佳.

所以当0

当x>e时,u′(x)>0,

所以u(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.

所以r(x)在(0,+∞)上单调递增.

又r(1)=0,所以当0

所以h′(x)<0.

当x>1时,r(x)>0,所以h′(x)>0.

所以h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.

因为h(x1)=h(x2)=0,

所以φ(x)在(1,+∞)上单调递增.