Abel公式在数学竞赛中的应用

李鸿昌

(北京师范大学贵阳附属中学,贵州 贵阳 550081)

Abel公式本身是一个恒等式,它源自大学的“数学分析”课程,在高等数学中有着广泛的应用. 例如,通过Abel公式,可以证明用来判断级数收敛的Abel判别法和Dirichlet判别法.另外,因为Abel公式只涉及两个实数组,而且方法是初等的,所以学生容易理解并接受[1]. 许多与求和相关的竞赛试题,都有Abel公式背景.若能熟练掌握Abel公式,则可看透问题的本质,迅速解决问题.

1 Abel公式

可简记为

证明因为b1=B1,bn=Bn,bk=Bk-Bk-1(k=2,3,…,n-1),所以(a1-a2)B1+(a2-a3)B2+…+(an-1-an)Bn-1+anBn=B1a1+(B2-B1)a2+…+(Bn-Bn-1)an=a1b1+a2b2+…+anbn.

2 如何使用Abel公式

3 Abel公式在竞赛试题中的应用

3.1 在代数不等式中的应用

由Abel公式,得

点评上式倒数第二步是逆用Abel公式.

证明由Abel公式,得

=nS(n).

我们将其推广,可得到一般性命题:

于是,由Abel公式,得

我们将其推广,可得到一般性命题:

这个不等式显然成立,因为

证明由题设,可知

a1c1+a2c2+…+ancn≥a1b1+a2b2+…+anbn.

由均值不等式,对k=1,2,…,n,有

又因为ak≥ak+1(k=1,2,…,n),所以由Abel公式,得

证明由Abel公式,得到

因为y1

应用Abel公式,可得

3.2 在三角不等式中的应用

因此,由Abel公式得

再进一步推广,可得:

3.3 与数学归纳法结合的妙用

当n=1时,结论显然成立.

假设对于1≤k≤n-1,有Ak≤[kx],则由Abel公式,得

所以,由归纳假设及[x]+[y]≤[x+y],有

=n[nx],

故An≤[nx].

4 结束语

Abel公式可导出一系列有价值的命题,而且也为数学奥林匹克的命题提供了理论依据.从上文的案例来看,不难发现有许多的奥林匹克竞赛试题的命题背景均与Abel公式有关.

应用Abel公式,可以较好地解决一些较复杂的、带有约束条件的、涉及数列求和的不等式问题,而这些问题用其他方法是不易解决的.通过学习Abel公式,可让学生熟悉求和符号∑的用法,培养学生的恒等变形能力与数学抽象素养,提高运算效率与解题能力,尤其是解决竞赛中的不等式问题.