对高中物理实验题中直线斜率计算的讨论

谭小虎 陈嘉聪 马 颖

(广州大学物理与材料科学学院,广东 广州 510006)

培养学生的实验探究能力是高中物理教学的重要目标,实验数据处理是实验探究的重要一环.课标明确提出学生要会用图像处理实验数据,能根据图像获得结论[1].

实验数据拟合直线斜率的计算是高中物理实验题常见的考查形式,这类题计算方法多、计算量大、出错概率高,且在教学中常常缺少明确的计算方法指导,成为学生不易攻克的难点问题.本文为寻求简便、准确的计算方法,讨论了最小二乘法、逐差法[2]、作图法[3]和常见不严谨解法在计算结果与过程方面的差异,希望能为实验数据拟合直线斜率计算题的教学提供一定参考.

1 问题提出与初步分析

以2019年高考物理江苏卷第11题第4、第5小问为例,对原题文字叙述和图表稍作调整后,问题呈现如下.

为测量Rx,利用图1(a)所示电路,调节滑动变阻器测得5组电压U1和电流I1的值,作出U1-I1图像如图1(b)所示.再将电压表改接在a、b两端,测得5组电压U2和电流I2的值,数据见表1,请根据已知数据绘制U2-I2图像,并计算Rx的值.

表1 U2和I2的值

图1 电路图及U1-I1关系图像

①

②

③

此题关键在于如何利用现有数据尽可能准确地计算U1/I1和U2/I2的值,两值的计算本质上都是实验数据拟合直线斜率的计算.由于计算U2/I2值所需数据已直接给出,下面将利用多种方法先对U2/I2的值进行计算并分析差异.

2 U2/I2值的计算与四种方法的比较

最小二乘法、逐差法和作图法是物理实验常用的数据处理方法,讨论它们在高中物理实验题中使用的可行性对于高中教学具有重要意义.对学生最常使用的不严谨计算方法进行简析,在教学中明确该方法的缺陷同样重要.

2.1 最小二乘法

最小二乘法是高中阶段精度最高的直线拟合方法,利用该方法计算U2/I2的值,并作为标准值,再比较其它计算方法与该方法的差异.

设(x1,y1),(x2,y2),…,(xi,yi),…,(xn,yn)是实验测得自变量x与因变量y的n组对应数据,处理实际问题时,误差较小的变量作为xi.本题没有对两电表的测量误差作明确叙述,因此认为两表测量误差相差不大,选取任一电表的测量值作为xi在计算中均可接受.以I2i作为xi,结合表1数据由最小二乘法公式得:

④

再由excel软件得到U2-I2图像如图2所示.

图2 U2-I2关系图像

最小二乘法可以精确地计算U2/I2的值,但计算量较大,步骤较多,花费时间较长.考虑到物理科考试时长的限制,并非所有学生都适合在物理实验题计算中采用最小二乘法,因此,还需对其他计算方法进行对比和讨论.

2.2 逐差法

学生在“测定匀变速直线运动的加速度”实验中首次利用逐差法处理数据、计算加速度,在此之后,应当理解和掌握逐差法.教师要让学生知道逐差法是数据处理的方法,而非加速度计算的专属方法,让学生在电路实验数据处理中使用逐差法,可实现知识的正向迁移.

⑤

以最小二乘法计算结果为标准值,联立④⑤得以上结果相对误差为0.58%,可见应用逐差法计算,准确性较高.

逐差法在计算量小、过程简单的前提下达到了较高的准确度.强调逐差法在多种实验情景下的使用,不再局限于计算加速度,可提升学生实验数据处理和知识迁移的能力.

2.3 作图法

作图法即基于实验数据描点手绘图线以后,若图线为一条直线,则在直线上另取两点坐标(x1,y1)、(x2,y2),通过以下公式计算直线斜率k:

⑥

应用作图法计算,结果较为准确,且选择离中值较远的两点数据代入计算时相对误差更小.不过,作图法的计算建立在人手画图的基础上,计算结果受人为因素影响较大,偶然性较强,应作为逐差法不适用时的备选方法.

2.4 常见的不严谨解法简析

部分学生由于基础不扎实或贪图计算方便,计算拟合直线斜率时,在已有的多组数据中只随意取用一组进行计算,此种计算方法不够严谨、科学,下文将该方法简称为单点法.为避免学生再使用单点法,与此同时利用单点法的不严谨性培养学生的科学思维,教师应向学生展示单点法计算结果的误差,给学生亲身体会其不严谨性,留下深刻印象.

在本题中使用单点法即将表1中5组电压和电流的值分别相除得到5组U2/I2值,计算结果及其与最小二乘法结果之间的相对误差如表2所示.

表2 单点法计算结果

由表2可知,5次单点法计算结果存在明显差异,具有较大的偶然性.教师要让学生明白没有充分利用数据,计算结果准确性将难以保障.单点法违背了利用多组数据以期望减小误差的基本实验原则,不利于学生实验探究意识和能力的提升.

综上,在高中物理实验题中计算实验数据拟合直线斜率时,逐差法应作为首选方法,而作图法则是逐差法不适用时的可选方法.

3 U1/I1值与Rx值的计算

计算U1/I1值需要在图1(b)中读取点迹的坐标,可确定图1(b)中点迹的横坐标即I1值是等间隔变化,而纵坐标U1值的准确读取则需要利用图1(b)中的小方格进行估读.

纵轴上得分度值为0.1V,因此读数时采用十分法估读到分度值后一位,读取图1(b)中的点迹坐标如表3所示.

表3 原题图2读数结果

⑨

利用逐差法计算U1/I1的值,舍弃U1值最小的那组数据进行计算,结合表3数据由逐差公式得:

⑩

联立③④⑨可得最小二乘法求得的待测电阻:Rx=23.25 Ω

联立③⑤⑩可得逐差法求得的待测电阻:

Rx=23.63 Ω

4 结束语

在计算高中物理实验数据拟合直线的斜率时,建议使用逐差法和作图法,其中逐差法为首选方法.当逐差法不适用时再选用作图法,选用时取用离中值较远的两组数据代入计算,相对误差更小.