例析曲线的公切线问题的求解策略

张秋珍

(北京大学附属中学莆田学校,福建 莆田 351100)

曲线的公切线问题是高考和质检试题的热点问题,如2016年高考新课标Ⅱ卷理16、2019年高考全国Ⅱ卷理20、2022年高考全国甲卷文20等.本文从福建省2023届高中毕业班适应性练习卷压轴题谈起,从多角度进行剖析,并拓展归纳公切线问题的常见类型,探析并总结其求解策略.

1 题目呈现

题目(福建省2023届高中毕业班适应性练习第22题)已知函数f(x)=(x+a)ex,a∈R．

(1)讨论f(x)在(0,+∞)的单调性;

(2)是否存在a,x0,x1,且x0≠x1,使曲线y=f(x)在x=x0和x=x1处有相同的切线?请证明你的结论．

2 解法赏析

2.1 第(1)问解析

解析当a<-1时,f(x)在区间(0,-a-1)单调递减,在区间(-a-1,+∞)单调递增;

当a≥-1时,f(x)在区间(0,+∞)单调递增.

2.2 第(2)问解析

解法1不存在a,x0,x1,且x0≠x1,使得曲线y=f(x)在x=x0和x=x1处有相同的切线.

证明如下:假设存在满足条件的a,x0,x1,

因为f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程为

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),

所以(x0+a+1)(x1+a+1)=1.

由(x0+a+1)ex0=(x1+a+1)ex1两边同乘以ea+1,得(x0+a+1)ex0+a+1=(x1+a+1)ex1+a+1.

令t0=x0+a+1,t1=x1+a+1,则

故不存在a,x0,x1且x0≠x1,使曲线y=f(x)在x=x0和x=x1处有相同的切线[1].

解法2假设存在满足条件的a,x0,x1,因为f(x)在(x0,f(x0))处的切线方程为

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),

所以(x0+a+1)(x1+a+1)=1.

由(x0+a+1)ex0=(x1+a+1)ex1两边同乘以ea+1,得(x0+a+1)ex0+a+1=(x1+a+1)ex1+a+1.

令t0=x0+a+1,t1=x1+a+1,

令h(t)=tet,则h(t0)=h(t1),且t0≠t1.

由(1)知,当t>-1时,h(t)单调递增,当t<-1时,h(t)单调递减,又当t>0时,h(t)>0,当t<0时,h(t)<0,所以若t0,t1存在,不妨设t1<-1

以下证明

所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.

所以当x>1时,g(x)

所以(-t0)·(-t1)<1,与t0t1=1矛盾.

故不存在a,x0,x1且x0≠x1,使得曲线y=f(x)在x=x0和x=x1处有相同的切线.

3 常见类型

3.1 求两个函数在公共点处的公切线与条数(接触型相切)

例1已知函数f(x)=ex-ax+b,g(x)=x2-x,若曲线y=f(x)和y=g(x)在公共点A(1,0)处的切线相同,则a,b的值分别为____.

3.2 求两个函数(非接触型)相切的公切线与条数

例2已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-x+2.证明:恰有两条直线与函数f(x),g(x)的图象都相切.

由g(x)=x2-x+2可得g′(x)=2x-1.

当01时,F′(x)>0,所以F(x)在区间(0,1]单调递减,在区间(1,+∞)单调递增,所以F(x)min=F(1)=-2<0．

所以F(x)在(0,1)上有一个零点,则F(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点,故得证．

3.3 已知公切线的条数求参数范围

例3已和函数f(x)=lnx与g(x)=xa(x>0,a≠0),若存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,则实数a的取值范围是____.

设直线l为曲线g(x)=xa(x>0,a≠0)在点(x2,g(x2))处的切线,g′(x)=axa-1,

因为x1>0,x2>0,

记h(x)=lnx-xa(a>0且a≠1),则

4 结束语

一般地,两个函数和的图象的公切线问题,常采用设各自的切点分别为(x1,f(x1)) ,(x2,g(x2)),再写出各自的切线方程,比较系数建立方程组,并求解方程组的方法处理.