2023年新高考Ⅰ卷第22题的五种解法

卢会玉

(西北师范大学附属中学,甘肃 兰州 730070)

自新高考施行以来,有很多学生吐槽数学题通常都是“满纸的不超纲,但就是不正常说话!”不难发现,命题者是想通过改变固定的命题模式,指导教师和学生实现两个转变:从解题到解决问题的转变;从死板的刷题到培养思维的转变[1].这是在大力推行核心素养的背景下进行的一次具有革命性的变化!2023年新高考Ⅰ卷第22题让我们再一次感受到了数学思维训练的重要性,下文从三角函数、直线的参数方程等五种不同的角度对该题进行了解析.

1 试题呈现

(1)求W的方程;

2 试题解析

2.1 第(1)问解析

解析设动点P(x,y),则由题意可得

2.2 第(2)问解析

解法1 (利用三角函数和放缩法解题)不妨设A,B,D在W上,显然矩形ABCD每条边所在直线的斜率都存在.因为此时AB⊥AD,则设AB的倾斜角为θ,所以AD的倾斜角为90°+θ.

由抛物线和矩形的对称性,不妨设0<θ≤45°.

所以xA+xB=tanθ.则xB=tanθ-xA.

所以矩形ABCD的周长为

因为0<θ≤45°,所以0

解法2(利用直线参数方程和放缩法解题)不妨设A,B,D在W上,显然矩形ABCD每条边所在直线的斜率都存在.

因为此时AB⊥AD,则设AB的倾斜角为θ,所以AD的倾斜角为90°+θ.

直线AD的参数方程为

t2cos2θ+t(2mcosθ-sinθ)=0.

以下同解法1.

解法3(利用常规根与系数关系和放缩法解题)不妨设A,B,D在W上,显然矩形ABCD每条边所在直线的斜率都存在.

所以xA+xB=k,则xB=k-xA,

所以矩形ABCD的周长为

又由抛物线和矩形的对称性可知,-1≤k≤1,k≠0,不妨使0

又根据|a|+|b|≥|a+b|(当且仅当ab≥0时取等号),

解法4(利用常规根与系数关系和分段函数解题)不妨设A,B,D在W上,显然矩形ABCD每条边所在直线的斜率都存在.

设直线AB的方程为y=kx+m,

Δ=k2+4m-1>0,

所以xA+xB=k,则xB=k-xA,

由抛物线和矩形的对称性可知,-1≤k≤1,k≠0,不妨使0

以下同解法3.

即(x1-x2)(x1-x3)+(y1-y2)(y1-y3)=0.

所以1+(x1+x2)(x1+x3)=0.

即(x1+x2)(x1+x3)=-1.

所以矩形ABCD的周长为

因为(x1+x2)(x1+x3)=-1,

所以不妨设(x1+x2)2≤(x1+x3)2,

所以2(|AB|+|AD|)

当且仅当x2+x3=2x1时取等号.

又根据|a|+|b|≥|a-b|(当且仅当ab≤0时取等号),

令m=x1+x2,由(x1+x2)(x1+x3)=-1,可不妨设m∈(0,1],

以下同解法3.

3 结束语

不难发现,以上五种方法有一个共同的特点,就是都利用了不等式性质进行了放缩运算,达到了减少变量的目的,最后基本都变换为一个利用函数单调性求最值的问题. 所以,遇到思维量较大的题目,我们一定要有明确的目标,有的放矢.