巧用构造法解答数学难题

马沁芳

(福建省龙岩初级中学,福建 龙岩 364000)

构造法指的是当采用常规方法、按照定向思维无法处理某些数学问题时,可基于已知条件与所求结论的特殊性,从新角度出发,运用新观点去观察、分析与理解问题,把握已知条件和所求结论之间的内在联系,运用问题的数据、外形、坐标等特征,构造新数学对象,由此达到解题的目的.在初中数学解题训练中,针对一些难题,学生运用常规方法和定向思维很难解决,教师可指引学生巧用构造法,结合题设条件和结论构造新对象,最终解答数学难题[1].

1 巧妙构造方程,解答数学难题

方程是学生从小学时期就开始学习的一类数学知识,步入初中阶段以后,学生需学习更多有关方程的内容.除一元一次方程以外,还涉及一元二次方程、方程组、分式方程等知识,属于初中数学教学的一项重要内容,在解题中有着广泛应用.在初中数学解题训练中,有的题目难度较大,教师可指引学生结合题干中提供的条件和数量关系构造新方程,获得全新的解题思路,让学生结合方程知识转化问题,难题就迎刃而解[2].

例1 已知x,y,z是三个互不相等的实数,且x>y>z,满足x+y+z=1,x2+y2+z2=1,那么x+y的范围是什么?

分析题目中给出的方程关系较为特殊,是三元一次方程与三元二次方程形式,学生采用常规方法很难进行解题.此时,教师可指导学生运用构造方程的方法,将已知条件与所求结论联系到一起,利用方程知识求得结果.

例2 已知实数x,y,z满足x+y=3,z2=xy+y-4,求x+3y+2z的值.

分析这是一道比较特殊的代数式求值类问题.教师可要求学生先对题目中的条件展开变形,把原式转变成两个式子的求解问题,再观察两个已知式子的形式,通过变形以后构造新方程,然后让学生结合方程的相关知识求解.

解析根据题意可得(x+1)+y=4,(x+1)y=z2+4,通过观察易发现,x+1,y是一元二次方程t2-4t+z2+4=0的两个实数根,然后结合一元二次方程根的判别式确定方程根的情况即可解决问题,求解过程从略.

2 巧构造不等式,解答数学难题

不等式是用“>,<,≥,≤,≠”等符号表示大小关系的式子,学生在小学阶段也有所接触.在初中数学学习中,学生学习的不等式知识难度更大,深度也有所提升,涉及一元一次不等式、一元一次不等式组等内容,不少问题中都会用到不等式相关知识.在初中数学解题教学中,当遇到部分难题时,教师需提示学生注意题目中“最大”“最小”“不低于”“不高于”等关键词,引导其尝试构造不等式模型,然后利用不等式知识解答难题[3].

例3 已知某工厂存储有甲、乙两种原料,质量分别为360 kg和290 kg,现在准备利用这两种原料生产A、B两种商品共计50件,其中生产一件A商品需要甲、乙两种原料分别为9 kg、3 kg,利润是700元,生产一件B商品需要甲、乙两种原料分别为4 kg、10 kg,利润是1 200元.

(1)根据条件和要求生产A、B两种商品一共有多少种方案?

(2)设生产A、B两种商品获得的总利润是y(元),生产A商品x件,请写出y与x之间的函数关系式,且利用函数的性质说明哪种生产方案能够获得最大利润?最大利润为多少?

分析先把题目中的文字语言转变成规范的数学语言,根据已知条件利用构造法建立一个不等式组,再结合不等式知识处理函数问题,然后根据实际生产情况确定方案.

(2)根据题意可得y=700x+1 200(50-x)=-500x+60 000,根据一次函数的性质可知,该函数中y随x的增大而减小,所以当x=30时有最大利润,即生产A商品30件、B商品20件获得的利润最大,此时y=-500×30+60 000=45 000,最大利润为45 000元.y与x之间的函数关系式y=-500x+60 000,由此可知,(1)中的方案1获得的利润最大,最大利润是45 000元.

3 巧妙构造函数,解答数学难题

函数在初高中数学课程体系中占据着重要地位,学好函数知识能够为数学学习带来诸多便利.原因在于不少题目都能够借助构造函数的方法解决,即使无法直接求解,也能够打开解题思路[4].

图1 篮球的运行路线图

(1)篮球在空中运行的最大高度是多少?

(2)假如该篮球运动员在跳投时,篮球出手距离地面的高度是2.25 m,那么他距离篮筐中心的水平距离是多少?

分析对于问题(1),应该把整个函数图象构造出来,求出篮球在空中运行过程中距地面的最高点;对于问题(2),要构造平面直角坐标系,结合二次函数知识与图象的性质等求解问题,从而求出运动员与篮筐中心之间的水平距离.

(2)建立如图1所示的平面直角坐标系,审题后可以发现求出该运动员位置的横坐标就是问题的答案,篮筐处的高度是y=3.05 m,由此可知x=1.5 m;再根据该篮球运动员的出手高度y=2.25 m,此时x=-2.5(x≤0),则运动员距篮筐中心的水平距离是4 m.

分析因为本题中的分式恒有意义,这说明分母x2-6x+m的值永远不会是0.可据此构建一个二次函数y=x2-6x+m,把分式问题转变为一个二次函数取值问题进行研究,结合二次函数的性质来解题,找出y≠0的情况,以此确定m的取值范围.

解令y=x2-6x+m,根据题意可知,y的值永远都不等于0,由于该抛物线的开口方向是向上的,所以该二次函数的图像不会与x轴相交,则Δ=36-4m<0,解之得m<9,即为m的取值范围是m<9.

4 巧妙构造图形,解答数学难题

初中数学课程主要分为代数与几何两大方面的内容.用构造法解答数学难题时,不仅可以根据题意构造代数方面的式子,还能够构造出相应的几何图形,利用数形结合思想解题.在初中解题教学中,将“数”和“形”结合起来,不少难题就易于解答.

例6 如图2所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,而且AC与BD的长度相等,点E,F分别为对角线AB与CD的中点,EF分别同BD,AC相交于点G,H.求证:OG=OH.

图2 例6题图

分析在几何图形中出现多个中点,大多数情况下都要利用中位线的性质进行解题,所以本题可以先取BC的中点M,连接ME,MF,因为E,F,M分别是AB,CD,BC的中点,由此可构造中位线EM,MF,然后结合三角形中位线定理解题.先证明△EMF是等腰三角形,根据“等边对等角”,即可证明∠MEF=∠MFE,利用平行线的性质证明∠OGH=∠OHG,最后根据“等角对等边”即可解决问题.

解如图2所示,取BC的中点M,连接ME,MF.因为M,F分别是BC,CD的中点,则MF∥BD,MF=BD.同理可得ME∥AC,ME=AC.因为AC=BD,所以ME=MF,∠MEF=∠MFE.又因为MF∥BD,所以∠MFE=∠OGH.同理可得∠MEF=∠OHG,所以∠OGH=∠OHG,所以OG=OH.

5 结束语

在初中数学解题教学中,有的题目难度比较大,采用常规方法和思路很难解答.面对这些难题,教师可引导学生巧妙运用构造法,重新处理题目中给出的条件和结论.把问题与熟悉的理论知识联系起来,通过构造方程、不等式、函数、几何图形等数学模型把问题实质清楚地反映出来,架构起结论和条件之间的桥梁,让学生从中寻求解题问题的切入点,确定合适的解题方案,继而准确解答数学难题.