巧用数学思想解决初中数学函数问题

徐建明

(漳州市长泰区枋洋中学,福建 漳州 363903)

函数与几何的综合性问题是近几年中考数学的重点、热点问题,通常以压轴题的形式出现,这类问题主要以函数的性质为基础,注重考查运动过程中几何图形的变化情况.解决这类问题,不仅可以使学生准确把握函数的相关知识,而且还能通过多种数学思想巧妙应用,帮助学生充分掌握相关解题思路与技巧,从而更加有效地解决函数与几何的综合性问题,提升学生分析问题和解决问题的能力,进而提升学生的数学核心素养.

1 巧用数形结合法解决函数问题

例1如图1,已知抛物线C:y=ax2-2ax+c过C点(1,2),且与x轴相交点A(-1,0)与点B.

图1 抛物线C:y=ax2-2ax+c图象

(1)求取抛物线C的解析式;

(3)如图2,将抛物线C的顶点平移至原点,得到抛物线C1,直线l:y=kx-2k-4与抛物线C1相交在P、Q两点,且抛物线C1上存在定点D,使∠PDQ=90°,求D点的坐标.

图2 直线l:y=kx-2k-4与抛物线C1相交的图象

2 巧用换元法解决函数问题

3 巧用分类讨论法解决函数问题

例3如图3,已知抛物线y=ax2-5ax+4与坐标轴分别交于A,C两点,过C点作BC∥x轴,与抛物线相交于C点,AC=BC.若点P是抛物线对称轴上一动点,且处于x轴的下方.请问,是否存有P点,使△PAB是等腰三角形?如果存在,请求出P点的坐标,如果不存在,请说明理由[3].

图3 抛物线y=ax2-5ax+4的坐标图

分析本题可通过分类讨论的思想加以解题,可将其分成两种情况,也就是AB为底或腰.当AB为腰时,则需注意顶角的位置,也就是∠A或∠B是顶角属于两种情况,此时可找出两个△PAB.当AB是底边时,△PAB的顶角必然是∠P,此时,也能找出对应的△PAB.

解如图4所示,依据P点的不同位置,将其分为三种情况进行探讨.

图4 点P不同位置图

4 巧用待定系数法解决函数问题

图5 例4题图

(1)试着判断哪条抛物线过A,B两点,并说出理由;

5 结束语

综上所述,数形结合法、换元法、分类讨论法、待定系数法是解决初中数学函数问题常用的数学思想.因此,在函数问题的解题教学过程中,教师需选择典型的例题,帮助学生理解与掌握数学思想在函数问题解决中的运用方法,以提高学生分析问题和解决问题的能力,使学生能够从容应对函数问题,切实提升学生的数学核心素养.