等腰三角形的存在性问题探究——以2017年贵州省安顺市中考数学第26题为例

郎春林

(北京新东方扬州外国语学校,江苏 扬州 225006)

存在性问题是指根据数学问题所给定的已知条件,探究是否存在符合要求的结论.存在性问题是探索型数学问题中一种非常典型的问题,其探索的方向是明确的,探索的结论有两种,即存在或不存在．与等腰三角形有关的存在性问题倍受命题者的青睐,等腰三角形与抛物线相结合的存在性问题在中考试题中经常出现,其具有一定的难度,“两圆一线定位置,边角相等分类列”是解决这类问题的基本思路与方法.本文以2017年贵州省安顺市中考的抛物线试题为例,呈现这类问题的求解思路,以期提高学生的解题能力.

1 问题呈现

(2017年贵州省安顺市中考数学第26题)如图1,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B,C两点,经过B,C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.

图1 中考题图

(1)求该抛物线的解析式.(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当0

2 探究实验

对于问题(2),如图2所示,拖动点M,观察△PCM三边长度的变化,是否存在等腰三角形的情形? 有几种情况?

图2 问题(2)实验探究图 图3 问题(3)实验探究图

对于问题(3),如图3所示,拖动点E,观察△CBE的面积S和点E的横坐标xE变化关系的图象,猜测S是xE的什么函数.

3 思路分析

对于问题(1),求出直线y=-x+3与x轴、y轴交点B,C的坐标,用待定系数法确定二次函数的解析式.

对于问题(2),可用两种不同方法求解.

方法1(几何法):由题意知,PC长度确定,PM,CM长度是变化的,并未说明PC是腰或底,因此需分MC=MP,CM=CP,PM=PC三种情况讨论.动点M在对称轴直线x=2上. 用“两圆一线”法确定点M的位置,即作出线段PC的垂直平分线,或分别以点C,P为圆心,PC长为半径作圆,与抛物线对称轴交于点M1,M2,M3,M4,如图4所示,所以满足条件的点M只有4个,再结合条件求出点M的坐标.

图4 等腰三角形的三种情形

方法2(代数法):设M(2,m),根据勾股定理,可利用含m的代数式表示出三角形三边的长,需分MC=MP,CM=CP,PM=PC三种情况列方程,可求得M点的坐标.

对于问题(3),过点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F,设点F(x,-x+3),E(x,x2-4x+3),用“宽高公式”表示出△CBE的面积,然后根据二次函数的性质即可求出面积的最大值.

4 解法探究

根据以上思路,可给出问题的具体求解过程.

(1)解因为直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B,C,易知B(3,0),C(0,3).从而易求得该抛物线的解析式为y=x2-4x+3.

(2)解法1 (几何法)存在点M.因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以该抛物线对称轴为直线x=2,顶点为P(2,-1).

图5 当MC=MP时 图6 当PM=PC时

③如图7所示,当MC=PC时,过点C作CF⊥PM4于点F,过点P作PE⊥y轴于点E,所以四边形CEPF是矩形,则PF=CE=4,易求得M4(2,7).

图7 当MC=PC时 图8 当CM1=PM1时

解法2 (几何法)存在点M.

①如图8所示,作PC的垂直平分线交PC于点D,交抛物线的对称轴于点M1,则CM1=PM1,所以△PCM1是等腰三角形,所以点M1为所求.过点D作y轴的平行线,过点C作x轴的平行线,两直线相交于点E,过点M1作y轴的垂线交ED于点F.

②如图9所示,以P为圆心,PC长为半径作⊙P,交抛物线的对称轴于点M2,M3,连接CM2,CM3,则PC=PM2=PM3,所以△PCM2,△PCM3都是等腰三角形.

图9 当PC=PM2=PM3时 图10 当PC=CM4时

③如图10所示,以C为圆心,PC长为半径作⊙C,交抛物线的对称轴于点M4,连接CM4,则PC=CM4.延长PC交⊙C于点D,连接DM4,则△PCM4是等腰三角形.易知M4(2,7).

解法 3(代数法): 因为y=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以抛物线对称轴为直线x=2,顶点为P(2,-1).设M(2,m),又C(0,3),所以MC2=22+(m-3)2=m2-6m+13,MP2=(m+1)2,PC2=22+(-1-3)2=20,因为△CPM为等腰三角形,因此分三种情况讨论:

①当MC=MP时,则有m2-6m+13=(m+1)2,解得m=1.5,此时M(2,1.5);

②当MC=PC时,有m2-6m+13=20,解得m=-1(与P点重合,舍去) 或m=7,此时M(2,7);

图11 问题(3)附图

5 结束语

对于等腰三角形与抛物线相结合的存在性问题,可以把解题方法总结为“两圆一线定位置,边角相等分类列”.这里的“两圆一线”法是已知等腰三角形一边长度确定(这边的端点至少有一个是定点),可以根据等腰三角形的性质作两个辅助圆,或已知边上的垂直平分线确定点的大致位置或解的个数,借助代数法求解,或利用定长线段所在直径所对的圆周角是直角构造“一线三等角”相似模型的求解方法.

通过探究这类问题的求解方法,能有效提高学生分析问题和解决问题的能力.