水平划分视域下初中生几何直观能力的培养策略

王焕然

(福建省厦门市槟榔中学,福建 厦门 361010)

在初中数学教学中,学生能力的培养离不开几何直观.几何直观能力不仅在“图形与几何”领域的学习中发挥着重要作用,而且也可以在“数与代数”领域借助图象的直观来研究函数的有关性质;在“统计与概率”领域可以借助统计图的可视化来解决实际问题;在“综合与实践”领域也可以通过数学化抽象出几何模型解决地理、经济中的跨学科问题.

1 几何直观的内涵及其形成的载体

《义务教育数学课程标准(2022年版)》新增了“增加代数推理,加强几何直观”的要求[1],由此可以看出几何直观的重要性.几何直观是由“几何”和“直观”两部分组成,而“几何”最早在古希腊时期实际所指的就是“土地”与“测量”[2],显然,几何直观与实际问题是息息相关、不可分割的.由此可见,培养学生几何直观能力,对于学生解决一些实际问题是有帮助的.反之,学生在实际问题的解决中也会进一步加深对几何直观的理解.

2 基于水平划分几何直观培养策略

《义务教育数学课程标准(2022年版)》对每个核心素养的表现作了精确的界定.分别对其从“内涵”和“表现”两个方面作出描述.表现又分为关键能力、必备品格、价值观念三个方面.学者喻平认为,对于关键能力表述可以把数学核心素养划分为三级水平:知识理解(水平1)、知识迁移(水平2)、知识创新(水平3),得到了下表具体描述[3].

表1 何直观能力的水平描述

基于以上划分,结合教学实践,可以提炼以下教学策略.

2.1 “看图”索骥,明确组成要素

例1如图1,四边形OACB的四个顶点的坐标分别为(0,0),(0,6),(4,6),(4,0),对角线OC与AB交点D,则D的坐标为____.

图1 例1题图

本题考查目标属于知识理解(水平1)层面,主要考查学生能否抓住关键条件解决问题,即在解决问题时要从四边形OACB的边入手.通过调查发现,学生缺乏这种问题解决意识,对坐标的意义理解不足,无法把坐标之间的数量关系转化为点之间位置关系.两者之间的转化,可以帮助学生在空间中更直观地理解和刻画点之间的相对位置.

在初中数学教学中,教师要注重培养学生系统性思维的习惯,引导学生能够将问题和信息放入一个整体框架中进行思考,关注问题之间的相互关系和影响,能够从整体和细节两个层面来分析问题.对于图形的初步认识,就是要先看到图形的基本组成元素,即要判断给定的图形是平面图形还是立体图形,是直线形还是曲线形.若为直线形,有几条边,有几个角.在教学中,教师要引导学生从整体和局部等不同角度去观察图形的特征、性质以及组成要素等,明确元素之间的位置关系、大小关系,用发现的眼光看图形,加强学生的观察能力和判断能力的锻炼.最后,根据图形特征对图形进行系统分类,有助于学生对图形的认识和理解.

2.2 “画图”分析,建立数形关系

例2已知点P(b,12-b)在第一象限内,且到x轴与y轴的距离相等,点B在y轴正半轴上,连接BP,过点P作BP⊥AP交x轴正半轴于点A,则OA+OB=．

本题考查目标为知识迁移(水平2)层面,解决本题时需根据已知条件画出符合要求的图形,由“数”到“形”,根据已知条件求出点P的坐标,然后利用全等三角形性质进行线段的转化与计算,最终求出OA+OB的长度.

画图是几何直观形成过程中必不可少的步骤之一. 在解决数学问题时,通过画图,可以有效提取题干中的数学信息,进而将文字信息加工成图形信息,然后借助图形处理、解决问题,这是培养学生几何直观的重要途径.正确画图是学生薄弱技能,在初中数学教学中,教师要引导学生仔细阅读题目,确保对已知条件中的相关信息有清晰的认识,然后根据已知条件绘制基本图形,添加细节,要引导学生细致、准确地绘制每个要素.最后进行校验和调整,把错误或不符合要求的地方,及时进行调整和修正,以确保绘制的图形与描述相符.

图2 例3题图

(1)求⊙O的半径;

(2)当n2=m2-2m+2时,在点P运动的过程中,点Q的位置会随之变化,记Q1,Q2是其中任意两个位置,探究直线Q1Q2与⊙O的位置关系．

本题主要考查知识迁移(水平2)层面,在问题(2)中探究点Q位置变化规律的思维过程有如下环节:①发现“垂径结构”,从而得到等腰直角三角形△OEC的边、角信息;②基于对等式n2=m2-2m+2 结构特征的观察,变形为n2=(m-1)2+1,再结合图形中的线段数量,联想勾股定理,找到Rt△OEP,从而发现OP=n=PQ;③发现“一线三直角模型”,并得到模型的性质;④观察与点Q有联系的线段长度或角度,发现QF=CF,从而发现点Q在定直线上.上述环节中,②④是探究过程的关键点,也是难点.同时也充分反映了“数”与“形”之间的联系:观察代数结构特征,解释几何关系.

2.3 “用图”解题,运用图形分离

例4 探究活动

(1)知识回顾.如图3,王芳把一块三角形的玻璃打成三块碎片,现要配出与原来一样的玻璃,则应携带的玻璃碎片编号是．

图3 三角形碎片示意图 图4 四边形碎片示意图 图5 全等四边形示意图

(2)直观感知.如图4,李明把一块四边形的玻璃打成四块碎片,现要配出与原来一样的玻璃,则应携带的玻璃碎片编号是．

(3)问题探究.在平面几何里,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的,我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．

已知:如图5,在四边形ABCD与四边形A′B′C′D′中,AB=A′B′,BC=B′C′,CD=C′D′,DA=D′A′,∠ABC=∠A′B′C′．求证:四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是全等四边形．

本题考查目标属于知识创新(水平3)层面.首先,需深入了解实际情境,对问题的需求和限制要有清晰的认识;其次,分析图形,建立数学模型,对于四边形全等的问题,需利用类比思想方法将陌生问题转化为熟悉的数学问题;最后,验证和解释结果,建立实际情境和数学模型之间的关系.

在图形之间相互转化的过程中,要通过分析已知条件,重新绘制几何图形,感受图形由单一的几何图形到多个图形形成的组合图形的生成过程,从而发现复杂图形中的基本图形,进而找到组合图形中单一图形的性质与规律.

3 结束语

几何直观能力的培养对于学生的认知发展、问题解决和创新能力的培养都具有重要的意义.水平划分为教师提供了一个新的模式,对学生的学业成就进行具体刻画,也为单元作业设计、考试命题提供了可行性的方法.但是,在教学中要与具体教学内容建立联系,引导学生通过“看图”索骥、“画图”分析、“用图”解题等具有可操作性过程体会几何直观.