基于跌坎压力自相似分布的明渠水深-流量关系推求

李乃稳，黄滟淳，陈小攀，李龙国，刘 超*

(1.四川大学山区河流保护与治理全国重点实验室，四川成都 610065；2.四川大学水利水电学院，四川成都 610065；3.河南天池抽水蓄能有限公司，河南南阳 473000)

渠道量水是灌溉、水资源高效配置及引供水用水管理的重要手段。目前常用的渠道量水设施有如下几种[1]：利用水工建筑物量水,如渠槽、堰闸、渡槽等；利用流速仪量水和特设量水设备量水，如各种量水堰（矩形堰、三角堰等）或量水槽（巴歇尔量水槽）等。这些量水设施存在要么影响渠道过流能力、流量系数确定难度大，要么通过泥沙、漂浮物能力差，或者量测精度低等问题。因此，寻求一种结构简单、测量精确的渠道量水设施则成为目前节水社会建设背景下明渠输水和量水技术研究及发展的重点目标。

在明渠中，跌流为常用的衔接上下游水利设施。当跌落水流不受跌坎下游水流影响时，定义此跌流为自由跌流，此时存在急流到缓流的流态转变，跌坎断面压力分布与静水压力分布规律之间存在巨大偏差[2–3]。但此时，跌坎水深与明渠流量之间存在直接对应关系，这种对应关系使得自由跌流可以用作明渠流量的计量。早在1936年，Rouse[4]就认识到了这种自由跌流的水力特征并提出了坎末水深比的概念，即跌坎水深与明渠临界水深之比，通过该值可计算渠道流量。之后，研究者为寻求准确适用的跌流流量计算方法，从理论分析、试验研究两个方面进行了大量研究[5]，提出了理论或经验或半经验流量计算公式[6–7]。基于自由跌流和薄壁堰流二者之间的相似性，一些研究者根据能量方程或动量方程[8–9]，提出了底坡为平坡和缓坡的近似理论计算方程。不同研究者提出的流量方程不同之处在于其在推求方程时，针对跌坎压力分布不再符合静水压力分布规律的问题，对能量方程或动量方程中跌坎断面竖向压力分布项采用不同的处理方式[10]，如基于跌坎断面零压力分布[11–12]，跌坎断面水流流线曲率的Boussinesq近似规律[13–15]，跌坎压力为上游平均流断面压力分布的折减系数[11,16]，跌坎断面压力二次抛物线分布[3,17–18]等。

显然，跌坎断面压力分布是理论或半理论推求其流量方程的关键，假定与实际压力分布之间偏差大小势必会造成流量计算值与实测值存在较大偏差，进而影响利用自由跌流对明渠流量进行计量。

本文利用试验和数值计算相结合的方法，首先利用动量方程，推求了明渠自由跌坎水深和流量之间的理论关系。之后，针对自由跌流水深-流量理论关系推求中的跌坎压力分布这个关键问题，在前期明渠自由跌流水力特性研究的基础上[19]，根据试验和数值计算，提出了其压力分布自相似规律方程。在此基础上，提出了明渠跌流流量的理论计算方程，并利用本文和其他研究者实测数据与其他研究者提出的流量计算方程进行了比较，结果表明，本文方程计算更精确，并且适用性更广，能够为利用渠道跌坎进行流量计算提供理论依据和方法。

1 跌坎水深-流量关系理论分析

水流在重力作用下在跌坎处跌落，形成自由跌落水流（图1（a）），其流态类似于薄壁堰流，水面线为典型的降水曲线，存在从缓流到急流、均匀流到非均匀流的流态转变，在跌坎临近出现临界水流。在跌坎处，水舌上方和下方均为大气压，即压力P=0，跌坎断面压力明显偏离明渠均匀流的静水压力分布规律，压力明显小于静水压力值[13]。

如图1所示，O-O断面水深为h0，跌坎e-e断面水深为he，h为水深，u为流速，P为断面压力，py为断面水深y处的压强。以O-O与e-e断面及沿渠底与水流自由表面所围成的空间作为控制体，将该段明渠水流看作1维水流，则沿水流方向的动量方程如下：

式中：Po为O-O断面上总动水压力，Pa；Pe为e-e断面上总动水压力,Pa；为x=–L到x=0之间渠道对

图1 矩形明渠自由跌坎过流示意图Fig. 1 Schematic view of a typical free overfall

断面O-O水压力分布为静水压力分布，表达式为：

式中：g为重力加速度，取9.81m/s2；b为矩形渠道断面宽度，m。

断面O-O（x=–L）到跌水断面e-e（x=0）之间的总摩擦阻力为：

断面O-O和跌坎断面e-e之间的距离L，可由式（6）计算[19]：

如明渠底坡S≥Sc，Sc为临界底坡，则在跌坎上游存在均匀流。在明渠均匀流中，有：

由以上公式推导而知，对于式（1），关键是获得跌坎断面e-e的压力分布Pe。

2 跌坎断面e-e压力分布特征

图1中，跌坎断面e-e的压力分布不符合静水压力分布。假定跌坎处压力为二次抛物线分布[13]，对称轴为y=0.5he，压力最大值为khe，其中k为压力系数，其值与渠道断面形状有关。

结合边界条件，如在点y=0和ye=he处，有py=0，则跌坎断面处的压力分布方程为：

式中，y为距离跌坎边缘的距离，py为点y处的压力。

从式（9）可知，y=0.5he时，即在0.5倍跌坎水深处，py达到最大值，并且有压力最大值pmax=khe。根据文献[13]研究可知，对于矩形明渠而言，k=0.281。图1（a）中点化线即为由式（9）对应的压力分布。事实上，文献[2]试验和文献[22–23]数值计算表明，跌坎压力分布为严重扭曲形态，而非二次抛物线形态，其跌坎压力最大值点也不是在0.5倍跌坎水深处。

采用模型试验和数值计算相结合，本文对不同底坡和边壁糙率的矩形明渠自由跌流跌坎断面压力分布进行了详细研究，其试验和数值模型如图2所示，试验模型由钢化玻璃制作，并采用粒径分别为0.5～1.0mm，1.0～2.0mm，2.0～3.0mm和3.0～5.0mm的沙粒黏附于渠道边壁而获得不同的渠道曼宁糙率n值，经率定[24]，其糙率系数对应为n=0.0093，0.0125，0.0148，0.0171，0.0193；试验中渠道底坡S=–0.0112～0.0534，Q=5～100L/s，共计152个工况。

数值模型采用VOF结合RANSk-ε紊流模型[25–26]，基于紊流平衡假设，可以得到近壁处的紊动能和耗散率值[22–23]。模型中尼古拉斯等效砂高度ks由经验公式n=给出[21]。

图2 试验装置Fig. 2 Experimental installation

在跌坎附近不同断面的压力分布如图3～6所示。图3～6中，黑实线为式（9）计算得出的跌坎断面压力分布，x为跌坎断面e-e坐标0点时的横向坐标值（见图1（a））。图4（a）和图6（a）中，散点数据为模型试验数据。

图3 不同断面压力分布(S=–0.0 1 1 2)Fig. 3 Pressure distribution at section of S = –0.011 2

图4 不同断面压力分布(S=0)Fig. 4 Pressure distribution at section S = 0

图5 不同断面压力分布(S=0.0 1 1 2)Fig. 5 Pressure distribution at section S = 0.011 2

图6 不同断面压力分布(S=0.024)Fig. 6 Pressure distribution at section S = 0.024

从图3～6可知，底坡S和流量Q不同时，从跌坎断面至上游各断面，对应断面压力分布形状几乎一致。随着水流临近跌坎，受自由跌流影响，压力逐渐偏离静水压强分布。而在均匀流中，各断面压力分布符合静水压强分布规律。最终，在跌坎断面x=0 m处，压力分布完全不同于静水压力分布而呈现扭曲形态。从水面至最大压力点，压力从0逐渐增加至最大值，而后急剧减小至0，其分布形态也不同于式（9）所描述的二次抛物线形状。在大约0.20he处，压力达到最大值，而根据式（9），压力最大值应该出现在0.5he处。

对底坡S=–0.0112和S=0的明渠，由式（9）计算的压力最大值与数值计算值吻合良好，并且总压力值也与模拟计算值一致。但对于陡坡渠道（如S=0.0112和0.0240），随着渠道底坡的增加，由式（9）计算的最大压力值与数值计算的压力最大值之间的偏差迅速增加。例如，在渠道底坡S=0和流量Q=80.00L/s时，式（9）计算的压力最大值为393.76 Pa，而数值计算的压力最大值为372.71 Pa，二者偏差仅为5.3%。但当渠道底坡S=0.0 1 1 2和流量Q=8 0.0 0 L/s时，式（9）计算的压力最大值为343.43 Pa，而数值计算的压力最大值则为265.61 Pa，二者偏差为22.7%。当渠道底坡S=0.02 40和流量Q=8 0L/s时，式（9）计算的压力最大值为273.76 Pa，数值计算的压力最大值则为182.75 Pa，二者偏差达到33.2%。

因跌坎断面压力分布存在相似性，本文引入无量纲数pˆ=py/pmax和θ=y/he，对跌坎断面压力分布进行无量纲化。将 θ作为X轴，作为Y轴，则-θ 之间关系曲线如图7所示。

图7 - θ断面分布Fig.7 -distribution on the end section

由图7可知，底坡S和流量Q都不同的矩形渠道，跌坎断面压力分布呈现非常良好的自相似特征，无量纲压力pˆ倾向于为一条实线分布。在图7中存在3个特殊点，即点A、B、和M，其分别对应pˆ(θ=1)=0,=0和=1，此处有θm=ym/he。也就是说，在点M处（y=ym），压力py达到最大值，此时。

引入由幂函数 θξ和尾迹函数(1-θ)γ组成的混合函数来表征图7中的无量纲压力分布，并假定存在如下函数形式：

式中， σ为系数， ξ 和 γ为指数系数。这些系数的值可以由图7中的数据确定。

利用式（15），可得图7中方程与数据的标准偏差、标准误差和相关系数分别为0.325、0.044和0.991。最大压力点为θm=0.209，此值与图7数据得值非常一致。由图7数据可知，当θm=0.202时，压力达到最大值。

由式（15）计算值与文献[2]、[22]的实验值对比如图8所示。

由图8可知，方程式（15）计算值与文献[2]和[22]的试验值吻合良好，说明本文提出由幂函数和尾迹函数组成的混合函数可以用于准确描述跌坎处压力竖向分布规律。图8中计算值与试验值出现一定量偏差，是由于文献[2]的试验水槽长度较短、或者较低流量时水位测针对水流的干扰，或者陡坡渠道小流量时水面的剧烈波动而造成。

试验测得跌坎断面e-e最大压力值pmax，其与跌坎水深he之间对应关系如图9所示，同时将文献[2]的试验值也一并列入。

由图9可知，跌坎断面最大压力值pmax与跌坎水深he间存在良好的线性关系，经线性回归，可得：

式（17）的相关系数为R2=0.937，说明pmax与he存在良好的线性关系。同时，由图9可知，由式（17）所得的最大压力计算值与文献[2]的试验值也吻合一致。

图8 式（15）与文献试验值对比Fig.8 Comparison between results of Eq.(15) and previous studies

图9 pmax(ρg)–1和跌坎水深he间关系Fig.9 Relationship between pmax(ρg)–1 and end depth he

将式（17）代入式（16），则可得跌坎断面压力py的计算公式：

跌坎断面e-e的总压力为：

则：

对式（20）进行积分变换并求解得：

3 跌坎水深-流量关系方程推求与应用

3.1 陡坡渠道

将式（2）（4）～（6）和（21）代入式（1），并积分整理得：

式（22）为Q和h0、he的隐函数，根据测量的he值并结合式（8）可迭代求取h0，进而利用式（8）计算不同底坡S和糙率n的明渠流量。

式（22）在推求过程中利用了渠道均匀流式（7），均匀流只有在渠道底坡为陡坡，即渠道底坡S≥Sc时，跌坎上游才会出现均匀流流态。而对于渠道底坡S

3.2 缓坡或平坡渠道

对于底坡S为缓坡、平坡或逆坡的矩形明渠，水流自跌坎自由跌落时，其流态存在缓流到急流的流态转变，因而跌坎上游出现临界流，逆坡渠道水流流态等同视为平坡。此时，O-O断面为临界流断面，断面水深为临界水深hc，则ho=hc。对于临界流，有：

此时，可以将自由跌流近似为堰高为0的薄壁堰流[9,13]，因此可以应用推导薄壁堰流流量计算公式的方法推求其流量计算公式，则有：

对式（25）积分并整理，得：

式（30）所得he/hc值与文献[4]的试验值（0.715）、刘清朝[27]、杨永森等[28]的数值计算值（0.720，0.716）基本一致。由式（30）可知，对于缓坡和平坡明渠，自由跌流处水深he与上游临界流断面O-O水深hc之比值he/hc，即水流垂直收缩系数Cc值为常数。因此，由式（30）和式（23）可得：

文献[9]假定跌坎处0压力分布，运用能量方程得到了矩形明渠流量计算公式：

Tiğrek等[30]在大量试验的基础上，采用量纲分析的方法提出如下流量计算经验公式：

从上述明渠跌水流量计算公式推求可以看出，对于陡坡渠道（S>Sc），流量除了和宽度b和跌坎水深he有关外，还与渠道底坡S和边壁糙率系数n均有关。而对于缓坡或平坡及逆坡渠道（S

根据本文试验获得的he，由式（8）和式（22）及式（31）（32）（34）（35）计算得到的流量计算值Qc和实测值QT之间的比较，结果如图10所示。

图10 不同公式计算得到的流量Q计算值与实测值比较Fig.10 Comparison of calculated and tested flow by different equations proposed by researchers

由图10可知，基于压力分布和动量方程提出的流量公式计算所得的计算值与实测值基本一致，对缓平坡（SSc），其相对误差91.5%的值控制也在5%之内，达到较高的计算精度。而式（32）（34）（35）则仅在缓平坡渠道中计算值较准确（5%内），而在陡坡渠道中，流量计算值与实测值偏差较大，最大计算误差甚至超过47.2%。

由上述理论和试验数据对比分析可见，对于跌坎断面压力分布如何处理是推求矩形跌流流量公式的关键，其不同的压力分布假定对流量公式计算精度具有重要影响。本文提出的跌坎断面压力分布规律方程对渠道糙率n和底坡S具有适用性，即在自由跌流流态下，跌坎断面压力分布规律具有自相似性，可由幂函数和尾迹函数构成的混合函数表述，不受渠道糙率n和底坡S变化值的影响。并且，本文试验中，渠道边壁糙率n值在0.009 3～0.019 3之间，底坡S在–0.011 2 ～ 0.053 4之间，公式具有较宽的应用范围。而文献[29]假定跌坎断面压力分布Boussinesq近似、文献[9]假定跌坎断面0压力分布，都与实际压力分布偏差较大，因而造成计算误差也较大，甚至达到60%。文献[30]中，n=0.009 1和n=0.014 7，n值较少，故其经验公式计算值与本文试验值也偏差较大，误差在30%以内。

为进一步证实本文明渠流量计算式（22）和式（31）的适用性，文献[31]和[24]的试验数据用来比较其测量值与式（22）及（31）计算值之间的差异性，结果如图11所示。

图11 式（22）和（31）流量计算值文献实测值对比Fig.11 Comparison of the calculated flow by Eqs.22&31 and tested from references

由图11可知，本文公式计算值与文献[24]和[31]实测值吻合良好。本文公式的计算值与试验值87.5%的误差在5%之内，只有极少数值的计算误差超过10%，表明本文提出的流量计算公式具有较高的计算精度。

4 结 论

本文通过理论分析、模型试验并结合数值计算的方法，对矩形明渠跌流的断面压力分布及流量-水深关系进行了深入研究，明渠流量范围为5～100 L/s,底坡范围为–0.0112～0.0534，边壁糙率系数为0.0093～0.0193，包括逆坡，平坡、缓坡和陡坡的粗糙明渠。主要结论如下：

1）跌坎断面受自由跌流影响，压力分布显著偏离静水压强分布规律，但具有高度的自相似性，而这种自相似性与明渠边壁糙率和底坡无关，并提出了跌坎压力分布方程。

2）利用动量方程推求了矩形渠道自由跌流的流量计算公式。本文公式相较于文献[9，29-30]流量计量公式具有更高的精度和更宽应用范围，并且与文献[24，31]试验数据一致。

3）本文公式不仅适用于逆坡，平坡、缓坡和陡坡明渠流量计量，而且还适用于光滑和粗糙明渠流量计量明渠自由跌流的流量计量，针对平坡或缓坡渠道（无论光滑壁面还是粗糙壁面），其流量计量更加准确（误差在2%以内），具有重要的工程应用价值。

4）因在推求过程中考虑了断面压力、阻力和重力，式（22）为流量Q的隐函数，形式较为复杂，同时式（22）不适用于平坡或缓坡渠道，因而应与式（31）结合，才可解决底坡和糙率变化的明渠自由跌流进行流量计量的问题，这可能限制公式的应用，因此，有必要在大量试验和理论分析的基础上，寻求更具有适用性的统一简化形式。

5）当跌坎下游水深增加到一定值，其对跌落水流形成壅托，造成临界水流消失，此时水流为非自由跌落水流，跌坎下游水深会影响跌坎水深和流速，进而影响流量计量，此种情况下的明渠跌坎流量变化及其计算需进一步研究。