基于μ分析的鲁棒控制器在磁悬浮轴承中的应用

曾磊，周瑾，崔刚，徐园平，金超武

（南京航空航天大学 机电学院，南京 210016）

磁悬浮轴承通过可控电磁力实现转子的稳定悬浮，与传统机械轴承相比，具有无接触、无磨损、无需润滑和主动控制的优点［1］，适合于高速、真空、超净等特殊环境，广泛应用于鼓风机［2］、分子泵［3］、心脏泵［4］等旋转机械领域。由于磁悬浮轴承的负位移刚度特性导致磁悬浮轴承-转子系统开环不稳定，为保证系统稳定运行必须引入反馈控制，但磁悬浮轴承-转子系统中存在许多非线性环节，例如电磁力与电流、位移之间的非线性以及位移传感器温漂现象引起的非线性，使转子悬浮时容易破坏系统平衡状态，导致失稳，建模时可将其考虑为参数摄动和建模动态不确定性。因此设计的控制器不仅要使系统能够稳定悬浮，还需使系统具有稳定性和鲁棒性，当系统受到不确定的外部干扰和被控对象参数发生变化时仍能保持稳定状态。

磁悬浮轴承的控制方法主要有PID 控制［5］、LQR 控制［6］和鲁棒控制等。目前，PID 控制被广泛应用于磁悬浮轴承-转子系统，但PID 控制下磁悬浮轴承支承转子的电磁力刚性不足，导致系统抵抗外界干扰能力较弱，虽然可通过增大比例系数提高刚度，但过大的比例系数会导致系统超调量大，且对于参数摄动和建模动态不确定性问题，PID需与其他处理方法配合使用；LQR控制是求解使性能指标最优化的控制，同样需要与其他方法配合使用以解决参数摄动和建模动态不确定性问题：这2 种控制器均未考虑参数摄动问题，使系统达到预期功能有一定困难。

鲁棒控制理论在设计控制器时考虑了数学模型与实际模型之间的差异，使模型在不确定性情况下仍有稳定性和鲁棒性。鲁棒控制方法主要包括H∞控制和μ综合控制。H∞控制方法在磁悬浮轴承-转子系统中应用广泛：文献［7］考虑了未建模的动力学对磁悬浮轴承-转子系统产生的同频扰动，设计出H∞和扰动观测器组成的混合控制器，与存在未知但有界扰动的单环控制器相比，提出的混合控制方案能够提高系统抗干扰能力；文献［8］设计了主动磁悬浮轴承的H∞控制器，对外界扰动具有良好的抑制作用；文献［9］为改善具有不确定性的能量回馈式主动悬挂系统的稳定性设计了鲁棒控制器，结果表明系统减振性能得到明显改善；文献［10］指出H∞控制虽然考虑了标称系统与摄动系统之间的不确定性，但是系统存在多个不确定性摄动源时，H∞控制由于忽略了结构特征而导致鲁棒性较差。μ综合与分析控制考虑了参数不确定性及其结构特征，不仅克服了H∞控制方法的保守性，还可对系统进行稳定性和鲁棒性分析。

针对磁悬浮轴承电磁力线性化和位移传感器温漂现象等不确定性，本文首先建立考虑参数不确定性磁悬浮轴承-转子系统的摄动模型；然后，基于该模型设计一种基于结构奇异值μ分析的鲁棒控制器并进行仿真分析；最后，在转子试验台上进行悬浮和激振试验，以验证所提控制算法能否有效提升系统的鲁棒性和抗干扰能力。

1 数学模型

1.1 磁悬浮轴承-转子系统基本原理

磁悬浮轴承-转子系统如图1 所示，主要由转子、电磁铁、控制器、功率放大器和位移传感器组成。位移传感器实时监测转子当前位置与参考位置的偏差；控制器根据偏差信号输出控制电压信号给功率放大器；功率放大器将电压信号转换为电流信号使电磁铁产生电磁力，进而调节转子的位移，实现稳定悬浮。

图1 磁悬浮轴承-转子系统图Fig.1 Diagram of magnetic bearing-rotor system

1.2 四自由度磁悬浮转子建模

本文研究的磁悬浮轴承-转子系统的工作转速低于一阶弯曲临界转速，故将其视为刚性转子进行建模。不考虑轴向转动且忽略轴向与径向的耦合作用，只建立径向四自由度模型（图2），相关参数见表1。

表1 磁悬浮轴承-转子参数Tab.1 Parameters of magnetic bearing-rotor system

图2 磁悬浮轴承-转子系统模型Fig.2 Model of magnetic bearing-rotor system

由理论力学建立的转子动力学方程为

式中：xc，yc分别为转子质心c在x，y方向的位移；Fxa，Fxb分别为转子a，b端在x方向的受力；Fya，Fyb分别为转子a，b端在y方向的受力；α，β，ω分别为转子绕x，y，z轴的转角。

可将 （1） 式写成状态空间形式，即

式中：xa，xb分别为转子a，b端在x方向的位移；ya，yb分别为转子a，b端在y方向的位移；ixa，ixb分别为磁悬浮轴承A，B 在x方向产生的电流；iya，iyb分别为磁悬浮轴承A，B 在y方向产生的电流；ki，kx分别为磁悬浮轴承电流刚度、位移刚度的摄动值。

忽略四自由度之间的陀螺效应和惯性耦合，即将求解得到的矩阵非对角线元素数值均取0，得到本试验台一、二自由度传递函数为

式中：s为复数域，s=jω。

2 控制器设计

2.1 系统不确定性选取

系统不确定性指系统的数学模型与实际模型之间的差距，可分为非结构化不确定性和参数不确定性。本文主要考虑磁悬浮轴承电磁力线性化和位移传感器温漂现象带来的参数不确定性。文献［11］中选取电流刚度和位移刚度的不确定性为5%～10%，不确定性值过小会降低控制器的鲁棒性，过大会导致控制器阶数过高。本文选取电流刚度和位移刚度的参数不确定性为10%，传感器受温度影响的不确定性为5%［12］。为验证不确定性选取的合理性，利用v-gap 理论对选取的不确定量进行计算度量［13］，计算得到磁悬浮轴承受温漂现象摄动下的电流刚度v-gap 值为0.051，位移刚度v-gap 值为0.052，传感器受温漂现象摄动下的v-gap 值为0.025。v-gap 值一般为0～1，v-gap 值越小，代表摄动系统与标称系统的开环特性越接近，故本文的不确定性选取合理。

2.2 系统参数不确定性的描述

以试验台一、二自由度传递函数为例，即

式中：ki0，kx0分别为电流刚度、位移刚度的名义值。

磁悬浮轴承的电流刚度、位移刚度和传感器增益的摄动值为

式中：ks为传感器增益的摄动值；ks0为传感器增益的名义值， 20 000 V/m；δi，δx，δs分别为磁悬浮轴承电流刚度、位移刚度和传感器增益的相对扰动，-1≤δi≤1，-1≤δx≤1，-1≤δs≤1；wi，wx，ws分别为磁悬浮轴承电流刚度、位移刚度和传感器增益的不确定量，其值分别为0.1，0.1，0.05。

将ki，kx，ks进行上线性分式变换［14］，即

式中：Fu（Mj，δj）（j=i，x，s）为Mj和δj的上线性分式变换；Mj为广义传递函数；δj为不确定性。

考虑参数不确定性的广义被控对象模型如图3 所示，Gmds为广义被控对象，ui，ux，us分别为电流刚度、位移刚度、传感器相对扰动输入，u为控制器输出，kar为功率放大器增益，yi，yx，ys分别为电流刚度、位移刚度、传感器相对扰动输出，y为系统输出。

图3 广义被控对象模型Fig.3 Generalized controlled object model

将广义被控对象写成状态空间形式，其输入向量为［ui ux us u］T，输出向量为［yi yx ys y］T。

2.3 加权函数选择

磁悬浮轴承中的转子容易受到低频干扰，为抑制外界输入低频范围内的扰动，控制器输入加权函数Wp（s）应具有低通特性，在低频段具有较大增益。经多次试验，Wp（s）为

为去除控制器输出的高频成分并防止功率放大器输出电流过大而损坏磁悬浮轴承线圈，控制器输出加权函数Wu（s）应当具备高通滤波特性，在高频段具有较大增益。经多次试验，Wu（s）为

磁悬浮轴承闭环控制系统传递框图如图4 所示，r为参考信号，e为偏差信号，K为控制器，d为扰动，z1，z2为加权函数输出。

图4 磁悬浮轴承闭环控制系统传递框图Fig.4 Transfer block diagram of closed-loop control system for magnetic bearing

控制器设计的目标是为保证系统在参数不确定性下的稳定性和鲁棒性［15］。灵敏度函数S指误差e与参考r之间的传递函数，补灵敏度函数T指控制器输出u与系统输出y之间的传递函数。为保证鲁棒性，加权函数需满足

即灵敏度函数的上界小于1/Wp，补灵敏度函数的上界小于1/Wu。在所选择的参数摄动下，本文选择的加权函数（图5）理论上能够保证系统的鲁棒性。

图5 加权函数分析Fig.5 Weighted function analysis

2.4 μ综合控制法

对磁悬浮轴承闭环控制系统进行鲁棒控制问题规范化，令

式中：Δ（s），Δp（s）分别为系统参数摄动和评价系统性能的不确定性块。标称系统P由广义被控对象与加权函数组成，其有3 个输入和3 个输出，其中（d1，z1）是对外界扰动的评价，（d2，z2）是对控制输入的评价，（u，y）为控制器的输入、输出［14］。磁悬浮轴承系统μ综合与分析的基本框架如图6 所示，M为广义被控对象P和控制器K的下线性分式，复数矩阵M∈Cn×n关于复数结构不确定性Δ的结构奇异值μΔ（M）定义为

图6 磁悬浮轴承μ控制规范化Fig.6 Standardization of μ control of magnetic bearing

结构奇异值是鲁棒分析的有效工具，定理1［14］体现了利用结构奇异值判断系统鲁棒性能的条件。

定理1：设γ＞0，对于所有满足||Δ||∞＜γ-1，图7的反馈系统是良定和内部稳定的充分必要条件为

图7 鲁棒性分析图Fig.7 Robust performance analysis diagram

式中：Gp为标称系统。

鲁棒性的综合问题可以理解为寻找一个稳定控制器K，使 （14） 式范数最小，即

但（14）式不能直接求解，可利用定理2［14］通过D-K迭代法求出结构奇异值的上下界完成控制器求解。

定理2：当2S+F≤3时（S，F分别为不确定矩阵中重复标量块矩阵和满秩矩阵的个数），有

式中：D为M的标度矩阵。

μΔp[Fl(P，K)]可通过选择标度矩阵D进行计算，因此μ综合问题变为

或

带标度矩阵的μ综合问题框图如图8所示。

图8 带标度矩阵的μ综合问题Fig.8 μ-synthesis problem with scale matrix

D-K迭代法的目标是求解（17）式的最优μ综合，其步骤为首先固定标度矩阵D1，求解使 （18） 式范数最小的控制器K，即

其次固定控制器K，求解使（19）式的H∞范数最小的标度矩阵D，即

若D1与D接近，则K为最优控制器。本文根据D-K迭代法思想，利用MATLAB 的鲁棒控制箱进行迭代求解［16］。

2.5 控制器求解及降阶

利用D-K迭代法求解得到的控制器为

控制器阶数越高，反馈控制越难实现，且高阶控制器面临难于求解和计算量大的问题。在保证最终性能损失在允许范围内的前提下，对控制器进行降阶并离散。本文采用均衡截断法［17］对控制器进行降阶，降阶和离散化后的控制器传递函数为

μ综合控制器降阶前后伯德图如图9 所示，控制器降阶前后在对应频率段内的特性基本保持一致。

图9 μ综合控制器降阶前后伯德图Fig.9 Bode diagram of μ-synthesis controller before and after order reduction

2.6 控制器的μ分析

判断控制系统是否满足稳定性和鲁棒性，需应用结构奇异值μ进行判断。图10a 中结构奇异值μΔ［M11（jω）］最大值为0.46，表明当不确定性达到设定的2.17 倍时闭环系统仍能保持稳定；图10b 中μ的上界和下界均小于1，表明对于所设定的参数不确定性，闭环系统均能满足控制性能要求。

图10 控制器的μ分析Fig.10 μ analysis of controller

3 仿真分析

3.1 磁悬浮轴承-转子系统起浮特性

为验证控制器降阶前后对转子起浮特性的影响，在MATLAB/Simulink 仿真平台上搭建仿真模型，给定转子参考位置为0.125 mm，降阶前后转子的起浮特性曲线如图11 所示：转子起浮时间均为0.05 s，超调量为58.3%，降阶前后转子都能稳定悬浮在平衡位置，故控制器降阶前后对系统的起浮特性无影响。

图11 转子起浮特性曲线Fig.11 Rotor floating characteristic curve

3.2 磁悬浮轴承-转子系统对正弦干扰的抑制

为研究降阶前后控制器对低频干扰的抑制结果，对系统施加幅值为1 mm，频率为11 Hz 的正弦干扰，给定转子参考位置为0.125 mm，降阶前后磁悬浮轴承-转子系统对低频正弦干扰的最大仿真结果如图12所示：控制器降阶前后转子的振动幅值为0.32 mm，小于正弦干扰幅值1 mm，故控制器降阶前后转子对正弦干扰有较好的抑制作用。

图12 系统对低频正弦干扰的仿真结果Fig.12 Simulation results of system to low frequency sinusoidal interference

4 试验分析

4.1 磁悬浮轴承-转子系统起浮特性

为验证控制器的有效性，对磁悬浮轴承-转子进行起浮试验，结果如图13所示：在μ综合控制下转子起浮时间为0.2 s，但转子起浮过程中存在0.5 s积分饱和情况。相较于PID控制，μ综合控制下转子起浮调节时间缩短了95%。

图13 PID控制和μ综合控制下转子起浮特性曲线Fig.13 Rotor floating characteristic curve under PID control and μ-synthesis control

4.2 磁悬浮轴承-转子系统对正弦干扰的抑制

为验证系统悬浮时所设计的μ综合控制器的鲁棒性，对磁悬浮轴承控制系统分别施加了0.5 mm ，40 Hz 和0.5 mm， 60 Hz 的正弦干扰，如图14 所示：与PID 控制相比，0.5 mm，40 Hz 和0.5 mm，60 Hz 正弦干扰下，μ综合控制下转子位移幅值分别降低了36.4%和40%，故μ综合控制对正弦干扰有更好的抑制作用。

图14 正弦干扰下转子位移响应图Fig.14 Rotor displacement response diagram under sinusoidal interference

5 结论

针对磁悬浮轴承电磁力线性化和位移传感器温漂现象等不确定性，设计了一种基于结构奇异值μ分析的鲁棒控制器，并进行了仿真和试验分析，得到以下结论：

1）结构奇异值上界与下界均小于1，在设定的不确定范围内闭环系统能够满足鲁棒性的要求。闭环系统结构奇异值μΔ［M11（jω）］最大值为0.46，表明在2.17 倍的不确定性稳定裕度内，闭环系统能够保持鲁棒稳定。

2）与传统PID 控制方法相比，μ综合控制下转子起浮调节时间缩短了95%，且在0.5 mm，40 Hz和0.5 mm，60 Hz 正弦干扰下，转子位移幅值分别降低了36.4%和40%，说明提出的控制算法能有效提升系统的鲁棒性和抗干扰能力。