核心素养下的单元教学设计

刘亚敏

【摘  要】  本文基于数学核心素养对“等比数列的前n项和”进行单元教学设计，主要包括单元内容及其解析、教学目标及其解析、单元教学问题诊断分析、单元教学支持条件分析，同时给出“等比数列的前n项和公式”的课时教学过程设计.在课堂教学中引导学生发现、提出并解决问题，让学生构建整体认知结构，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养.

【关键词】  核心素养；单元教学；等比数列

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》实施建议中提到教师“不仅关注每一节的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标，明晰这些目标对实现数学学科核心素养发展的贡献”.单元教学设计就是教师根据学生现有的知识，对教学内容进行有机的重组和优化，作出一个整体的构思，让学生从宏观上构建条理清晰、层次分明的知识结构与思维框架，有利于学生在潜移默化中落实数学核心素养.

1  单元内容及其解析

1.1  内容

等比数列的前n项和公式的推导和应用.本单元教学建议用2课时：第1课时，等比数列的前n项和公式的推导；第2课时，等比数列的前n项和公式的应用.

1.2  内容解析

从在教材中的地位与作用来看，等比数列的前n项和是等比数列的又一重要性质，是进一步认识等比数列的函数特性的又一重要角色，是体会数学整体性的又一重要载体.等比数列的前n项和公式是数列单元中的重点内容.教科书在公式的推导中，采用了“分类讨论法”和“错位相减法”.“错位相减法”源于对等比数列的前n项和公式的观察和分析，利用了等比数列的定义，没有用到等比数列的其他性质.等比数列的前n项和公式不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如银行储蓄、分期付款、资产折旧、病毒传播、元素衰变、人口增长等实际问题的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、方程和函数等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.

基于以上分析，确定本单元的教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其应用.

2  单元目标及其解析

2.1  目标

（1）了解等比数列的前n项和公式产生的背景；

（2）推导并掌握等比数列的前n项和公式；

（3）在具体的问题情境中，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.

2.2  目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）學生通过课前自主查阅数学史料，了解等比数列的前n项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前人严谨的治学精神和数学文化的熏陶；

（2）掌握等比数列的前n项和公式的“错位相减法”以及其他推导方法，能分析等比数列的通项公式与前n项和公式的关系，描述等比数列的前n项和公式的特征以及它与相应指数函数的关系；

（3）学生能在具体的问题情境中，运用等比数列的前n项和公式解决相应的问题．

3  单元教学问题诊断分析

从学生已有的数学思维特点来看，其认知基础是等比数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等．“错位相减法”是一种带有技巧性又便捷的方法.这种方法源于利用等比数列的定义，并没有用等比数列的其他性质，故教科书直接让在的两边乘以公比q，得.然后通过消去两式中的相同项，就得到了等比数列的前n项和公式.其过程中怎样让等比数列的前n项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性的关键.为了有效突破这一难点，在推导过程中，从特殊到一般的问题情境中，通过观察分析每项之间的联系和规律，感悟“错位相减法”的形成过程，从而获得公式.

4  单元教学支持条件分析

4.1  知识上的支持

教科书借助多媒体引入古印度国际象棋的发明者向国王提出想要的麦粒作为奖励的故事，让学生经历“分类讨论法——错位相减法”的认知过程；也借助实物投影仪展示学生的小组合作学习成果，让学生经历化归与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深学生对求和公式的认知，对推导和应用过程的理解，完成本单元的教学目标.

4.2  教学策略分析

教学方法：以学生为主体，采用分组讨论、任务驱动式教学，精讲精练.

教学工具：三角板，直尺，多媒体辅助.

4.3  教学辅助媒体分析

黑板：板书教学内容、引导学生一起作图，重要例题的规范书写过程.

多媒体教学工具：显示教学各环节，展示问题背景及学生解答过程、结果，及时反馈.

5  “等比数列的前项和公式”（第2课时）教学设计

5.1  教学目标

在具体的问题情境中，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养.

5.2  教学重点与难点

重点：等比数列的前n项和公式的应用.

难点：综合与灵活运用等比数列的前n项和公式.

5.3  教学过程设计

环节1  复习公式，简单应用

引导语：同学们，请利用上节课学习的等比数列的前n项和公式完成下题：

例如  已知数列是等比数列，若求q与

设计意图  帮助学生复习巩固等比数列的通项公式和前n项和公式，强化方程的思想，提升数学运算素养.

环节2  理解公式，灵活运用

例10   （教科书第38页）正方形的边长为，取正方形各边的中点，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形，依此方法一直继续下去.

（1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和；

（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

问题1  请问第2个正方形的面积和第1个正方形的面积有什么关系？第3个和第2个呢？

师生活动  构建一个数列使其各项分别表示第1个到第n个的面积数，然后分析推理出，

问题2  由这个规律我们可以直接得出吗？

师生活动  举例让学生明白这种归纳的方法不严谨，比如，某班1号同学是男生，2号同学是男生，3号同学是男生…则这个班的同学都是男生.

问题3  那我们应该怎样寻找任意两个相邻的正方形的边长之间的关系呢？

师生活动  设第k个正方形的边长为m，则第个正方形的边长为，则  ，   即可得出，从而得出是一个以25为首项，为公比的等比数列，然后再用等比数列求和公式算出.

设计意图  引导学生在实际情境问题中抽象出等比数列，并能对此数列进行推理论证，而后运用等比数列求和公式求解.

环节3  巩固内化，综合运用

例1  （教科书第38页）去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1萬吨）.

问题4  每年生活垃圾的总量之间有什么关系？通过环保方式处理的垃圾量之间有什么关系？

师生活动  从实例中抽象出数列的概念，构造数列模型，可知每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.

问题5  我们应该怎样进行模型构建呢？

师生活动  设从今年起每年的生活垃圾总量构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为.

问题6  怎样确定数列所对应的首项和公差或者公比呢？

师生活动  构造数列后要先确定基本量，比如此题等比数列中的首项是取20，还是取，公比q是，等比数列的公差d为1.5，但首项是取6还是取呢？写通项时这些都要考虑清楚.

设计意图  此题是等差数列与等比数列合并的一个综合题，因此求和时要作分组求和的处理.这个计算方法在教科书第40页习题4.3的第3题中的（1）中也进行了考查，前一节的课后练习有做知识方法铺垫.

例2  （教科书第39页）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为

（1）写出一个递推公式，表示 与之间的关系；

（2）（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中  为常数；

（3）（3）求的值（精确到1）.

问题7  请问和是什么关系？和呢？

师生活动  引导学生从具体的问题情境中抽象出和之间的递推规律，从而得到①，然后根据待定系数法得，设，则就是一个首项为，公比q为1.08的等比数列.设的前n项的和为，则，后面再根据分组来解决问题.

设计意图  强化学生的能力要求，提高学生的数学建模能力.

环节4  目标检测，检验效果

目标检测  教科书第40页练习1，2.

设计意图  检测学生对材料的阅读理解能力、提取有关信息并建立数列模型的能力，综合运用数列的相关知识分析和解决实际问题的能力.

环节5  小结提升，形成结构

教师引导学生回顾本单元的学习内容，并回答下列问题：

（1）概述本单元知识发生发展过程的基本脉络.

（2）等比数列的前n项和公式的推导过程是怎样的？其中蕴含了什么思想方法？

（3）我们是如何探讨等比数列的前n项和公式的？分了哪几个应用层次？其中用到了哪些数学方法？

设计意图  （1）使学生逐步掌握公式学习的基本路径，加深知识形成过程的印象.

（2）回顾在公式推导过程中涉及的“分类讨论”“错位相减法”，帮助学生灵活选择运用.

（3）落实抽象概念、推理论证、数学运算和数学建模素养的培养.

6  教学反思

6.1  学生所需具体的能力

对学生的能力要求有：（1）抽象概括能力，能在具体的问题情境中，抽象出具有递推规律事物的数学关系；（2）数学建模能力，能根据递推关系建立合适的数列模型；（3）逻辑推理能力，建立数列模型后能证明有关命题，并能有条理地表达；（4）数学运算能力，能合理运用常用的代数变换手段，简化复杂的数式运算从而求得结果.

6.2  教师需要做的铺垫

冰冻三尺非一日之寒，对学生而言这些关键能力不是一天两天能够快速提高到哪个程度，需要教师循序渐进地引导学生不断理解、加强、巩固、提高和掌握的.教学中提前准备小专题将数列求和问题划归为错位相减法，裂项求和法，分组求和法，构造新数列法等方法求解的问题一一突破，也需要一些带有探索性、存在性、开放性等方面的问题.

参考文献：

[1]普通高中教科书教师教学用书.数学：选择性必修.第二册：A 版/人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心编著.一北京：人民教育出版社，2020.6（2021.7重印）.

[2]彭海燕，曾庚平，张坤瑞.切实做好单元设计 落实数学核心素养[J].中学数学教学参考，2022（10）：21-24.

[3]马林.高中数列知识及教学问题探究[D].西北大学，2017.

[4]洪金坚.主题化教学设计的实践与探索——以“等差数列与等比数列”高考备考习题课为例[J].中学数学教学参考，2022（04）：21-23.

[5]刘姗.新课标下数列的教育教学价值研究[D].长沙：湖南师范大学，2021.