建立单元整体结构 促进数学理解学习

摘 " "要：章起始课是初中数学单元整体教学的基础，教师可通过追本溯源、关注逻辑等方法，对其进行整体设计，引导学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.在设计章起始课教学时，教师既要为整个单元提供知识框架，又要揭示知识间的内在联系.在后续实施中，教师要根据章起始课的教学重点，关注学生用怎样的思维方式、思想方法来完成整个单元的学习，并全面揭示数学知识背后的育人价值，提升课程与教学的立意和价值取向.

关键词：章起始课；单元整体结构；理解学习；初中数学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立了核心素养导向的课程目标，强调课程内容组织的“重点是对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”，并在“教学建议”中指出“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联”.因此，教师需要在实践中通过追本溯源、关注逻辑等方法，对教学进行整体设计，引导学生学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养.《认识三角形》是浙教版义务教育教科书《数学》八年级上册第1章的起始课，它既是七年级所学线段和角的延续，又是后续学习全等三角形、四边形的基础，还是几何学习的逻辑起点.下面，笔者以其为例，阐述建立单元整体结构、促进理解学习的章起始课教学实施路径与反思.

一、建立单元整体结构、促进理解学习的章起始课教学实施路径

（一）游戏引入，激发学习兴趣

课堂引入的方式有很多，结合这节课的内容特点和学生的年龄特征，笔者采用了游戏引入的方式，既有效地激发了学生的学习热情，又自然地引出了这节课要研究的“主人公”——三角形.

师：同学们，我们先来做个小游戏.下面给出的两幅图形（图略）都有一部分被遮挡，你们能猜一猜它们是什么图形吗？

［学生活动］学生积极讨论、发言，有的认为都是三角形，有的认为是三角形和平行四边形，有的认为是长方形和三角形.

设计意图：以游戏的方式引入教学，可形成轻松、愉悦的学习氛围，有利于调动学生对新知的学习，并为学生后续积极探究三角形的类型判断打下基础.

（二）旧知回顾，唤醒已有经验

现行各版本初中数学教材对于该节的内容编排都比较偏向基础（三角形的定义、表示方法、构成要素、性质及应用），知识点基本上都是小学接触过的，这容易造成尖子生“吃不饱”的现象，因此如何让学生在小学基础上对三角形有新的认识是这节课的重点之一.

师：说起三角形，想必大家都不陌生吧！下面就来看一下大家对三角形的认识有多少.

生：三角形内角和180°，三角形具有稳定性，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的分类……

师：是的，我们对三角形的认识确实很多，但不知道大家有没有发现，之前我们是通过解决一个一个具体问题来学习数学的，以后我们要逐渐向一类一类描述、解决问题过渡，并且要从实验论证向推理论证过渡.

设计意图：先唤起学生对三角形的已有认识，再揭示小学和初中研究问题的不同之处，可引起学生认知上的冲突，为进一步学习新知设置悬念.

（三）分析问题，探寻知识本质

概念教学作为初中数学教学的重要组成部分，也是这节课的重难点之一.这节课，笔者采用“搭一搭”的方式，让学生亲身经历三角形概念的发生发展过程，再以一系列追问和举反例，引导学生完善、改进三角形的定义，并从点、线、角等方面寻找构成要素，为后续研究边、角作铺垫.

［活动一］现有三根长度分别为10 cm，16 cm，8 cm的纸棒，能搭成形如三角形的造型吗？

思考1：回顾搭建的过程，说说你们的“三角形”是怎样形成的.

思考2：据此，你们能给数学中的三角形下一个定义吗？

［师生活动］教师以一系列追问和反例引导学生讨论、反思，学生积极思考并相互辩论，最终师生一起得出三角形的标准定义.

思考3：观察图形（略），思考三角形有哪些构成要素？（引导学生从已经学过的几何图形中寻找）

师：同学们，角A有它的符号∠A，之前我们还学过哪些符号呢？

［师生活动］教师引导学生复习回顾，学生回答.教师展示：“角，符号为∠，读作‘角’.”“两直线平行，符号为a//b，读作‘a平行于b’.”“两直线垂直，符号为a⊥b，读作‘a垂直于b’.”

师：数学是一门追求简洁直观的学科，那么作为一个新的几何图形，我们能否也给三角形一个形象的符号表示呢？

生：可以用一个小的“△”符号表示.

师：非常好！当然“△”后面要跟上三个顶点字母，表示成“△ABC”才有意义哦！并且我们可以发现数学中的图形语言、符号语言、文字语言是可以相互转化的（如图1所示）.

设计意图：通过恰当的数学文字、数学符号、数学图形三种语言之间的相互转化引导学生理解概念，可让学生初步体会用符号语言解决问题的直观优势，为后续几何图形的学习打下基础.

（四）解决问题，积累活动经验

教材在呈现数学知识的同时，蕴含了非常多的思想方法，教师要充分挖掘、精心设计有关数学思想方法的教学，借助概念、证明、习题等载体，让学生在知识学习的过程中潜移默化地体会、感悟，直至学会运用.如在得出三角形的概念之后，笔者从数学课堂的逻辑连贯性着手，在上一活动三根纸棒的基础上又发放了一根20 cm的纸棒，让学生任选三根进行搭建，将学生自然地引到对三角形“边”的性质的探索上，并设置了一个追问环节，让学生尝试用“叠合法”的思想进行验证，从“形”的角度理解三角形“边”的性质.

［活动二］现有四根长度分别为10 cm，16 cm，8 cm，20 cm的纸棒，任取三根都能搭出形如三角形的造型吗？

师：哪种情况不能搭成三角形造型？为什么？

生：10 cm，8 cm，20 cm三者不行，因为三角形任意两边之和应该大于第三边.

追问1：你能用已经学过的数学知识解释这一结论吗？

生：两点之间线段最短.

追问2：你还有其他的证明方法吗？（提示：我们以前曾用什么方法比较线段的长短？）

生：叠合法.

追问3：这里我们能用“叠合法”的思路进行验证吗？

设计意图：增加一根纸棒，旨在让学生充分体验三角形的性质，进而思考“四选三”的情况（即排除一根）.设置追问环节，则旨在引导学生在探索中感悟数学思想方法.

（五）一题多问，挖掘例题的广度

教学例题时，教师不能简单地就题论题，而要充分挖掘例题的内涵和外延，在不失例题本身价值的基础上对其进行变式拓展，使学生能够熟练掌握解决这一类问题的方法.如教学该课的例题时，笔者没有直接开始讲解，而是以“练一练”的形式让学生先做，并在随后的展示过程中适时进行追问.在此过程中，教师要引导学生重视例题的书写格式，以准确严密地表述解题过程.

［练一练］判断下列各组线段中，哪些能首尾相接组成三角形，哪些不能？

（1）2.5 cm，3 cm，5 cm

（2）6.3 cm，6.3 cm，12.6 cm

（3）1 cm，2 cm，2 cm

（4）6 cm，6 cm，6 cm

追问1：有没有一种简便、快速的方法判断三条线段能否构成三角形？

生：只要比较较短两条线段之和是否大于第三条线段.

追问2：三条线段相等的时候怎么办？如何确定较短线段？

生：任意两条线段都可以看作较短线段.

设计意图：采取先放手让学生做，再适时进行追问的方式，可更好地引导学生优化解题思路，归纳解题方法和思考途径，为自主学习打下基础.

（六）一题多变，挖掘例题的深度

在探究完“两边之和”的性质之后，可自然地将学生引到“两边之差”的性质探究上来，因为严格的证明需要用到不等式的知识，所以教材中也只是以“想一想”的形式给出.为了体现知识的逻辑连贯，笔者继续引导学生观察图形，尝试用“叠合法”的思想构造两边之差，进而验证猜想.验证完两边之差之后，笔者并没有戛然而止，而是创造性地追问学生还可以研究什么.

问题1：猜想三角形的任意两边之差与第三边有何关系？

问题2：你能用刚才的纸棒验证这个结论吗？

问题3：研究完三角形的任意两边之和、任意两边之差后，大家觉得还可以研究任意两边的什么呢？

生：三角形的任意两边之积，任意两边之商.

师：非常棒！三角形的任意两边之积与第三边存在什么关系？请大家课后查阅资料，探究完成.

设计意图：教师需要重视学生在课堂中的主体地位，引导学生运用相关思想方法来尝试解决问题，这可以培养其发现问题和提出问题的能力.虽然这节课没有解决“两边之积”“两边之商”的问题，但适当留白，让学生课后查阅资料、进行探究，可激发学生创新的积极性.

（七）新知运用，渗透数学思想

为解决第三边长取值范围的问题，笔者设置一系列具有“脚手架”性质的问题，并渗透从特殊到一般的思想方法，通过变式训练，引导学生解决问题，并积累基本的数学活动经验.当然，数学活动经验的积累是一个长期的过程，能否积累到经验、能够积累到多少经验，既取决于学生的参与度，也离不开教师的提炼总结.同时，教师要使学生明白，遇到复杂问题时，将其简单化可更容易找到突破口.

问题：若已知三角形有两边长6 cm，8 cm，则第三边长x有最大值吗？最小值呢？

生：没有最大、最小值，应小于14 cm，大于2 cm.

变式1：若将“边长6 cm，8 cm”改为“a cm，b cm”，你还能表示出第三边长x的取值范围吗？

生1：a - b lt; x lt; a + b.

生2：[a-b] lt; x lt; a + b.

师：第二个同学还考虑到了a lt; b的情况，真不错！

变式2：一个三角形，已知其中一边是5 cm，另一边是9 cm，这个三角形第三边a为整数，则a的取值有几种可能？

设计意图：以问题和变式的形式对知识进行分解，可引导学生逐步加深对知识的认识和理解，积累理解与运用知识的方法，学会深度学习.

（八）多维探究，探寻几何路径

这节课不论是性质的探究，还是三角形的分类，都是引导学生从“边”“角”两个维度展开，无时无刻不在传递研究几何图形的一般路径，以便学生掌握研究方法.而在设置练习时，笔者也有意从多种角度来引导学生.

师：同学们，探究完三角形“边”方面的性质，接下来需要探究哪方面的性质呢？

生：“角”的性质，三角形内角和为180°.

师：下面我们就来练习运用这个性质吧！

［练一练］

（1）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝30°，求∠C的度数.

（2）在△ABC中，∠A + ∠B＝∠C，求∠C的度数.

（3）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶6，求三角形各内角的度数.

师：做完了这三道题目，请大家回顾总结一下这三个三角形的特征.

生：分别是三种形状的三角形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

师：那你能给它们各自下一个严格的定义吗？

生：三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形……

追问1：如何快速地判断一个三角形的类型？

生：只要看最大的那个角.

追问2：还可以从什么角度对三角形进行分类？

生：“边”的角度.

设计意图：设置三种不同类型的三角形，是为后续学习三角形的分类作准备；追问1，是为帮助学生找到判定三角形类型的最优方法；追问2，是为引导学生从“边”的角度对三角形进行分类.如此，可开拓学生的思维，使其全方位地认识三角形，为后续学习特殊三角形作铺垫.

（九）因问导评，提升学力

小结是课堂教学不可或缺的一部分，它既要对这节课作总结和延伸，又要为后续学习打好基础、作好准备.为了充分体现课堂的逻辑连贯性，笔者设置以下问题，引导学生从知识、技能、方法等维度对这节课进行梳理盘点.

（1）这节课研究了三角形的哪些内容？我们是从哪些角度进行研究的？

（2）数学上的三角形与生活中的三角形有何关系？

（3）你在研究三角形的过程中获得了哪些技能与方法？

（4）今后我们还可能从哪些角度研究三角形？

（5）学习三角形对以后学习其他几何图形有何意义？

设计意图：采取问题串的形式进行总结，引导学生从知识层面、研究角度进行回顾，可使学生明确数学上的三角形是从现实生活中抽象而来的，帮助学生逐渐形成完整的知识结构.后两个问题还暗示学生以后可以研究三角形内部的一些特殊线段及其性质，以及这节课涉及的研究路径也适用于其他几何图形.这样的小结可起到唤起思维、激发求知欲、完善认知结构的作用.

二、建立单元整体结构、促进理解学习的章起始课教学反思

在初中数学教学中，知识内容学习是明线，思想方法渗透是暗线，能力培养是主线，素养提升是长线.在章起始课的教学实践中，笔者有以下反思.

（一）立足整体：章起始课教学的知识指向

章起始课的教学设计需要关注两个方面.一是要为整个单元提供知识框架，使学生对该单元涉及的内容做到心中有数，领会知识的概要，并对重点内容、思想方法有所了解，从而既见树木又见森林，激发探究欲望.二是要揭示知识间的内在联系，以便后续对每个子知识进行深度教学.以《认识三角形》为例，既要给学生呈现初中几何整体的大致走向——“点、线、面、体→角→三角形→四边形→多边形→圆”，使学生了解三角形是后续多边形与圆学习的基础，又要类比角的研究路径，分析三角形的研究要素——“定义、构成要素、表示、分类、性质（引导从边、角两方面考虑）及应用、全等、相似”等.

（二）关注方法：章起始课教学的思维导向

章起始课教学的重点不是教知识，而是教方法——教该章的研究方法.因此，章起始课的教学设计更应关注学生用怎样的思维方式、思想方法来完成整个单元的学习.如在《认识三角形》教学中，笔者让学生经历获得三角形的基础知识和研究几何图形的基本活动，掌握类比、数学结合、分类讨论等数学思想方法，并理解三角形虽然形状千变万化，但变化中总有不变的共性，从而为以后探索三角形全等和相似指明方向.同时，笔者鼓励学生用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达.

（三）提升素养：章起始课教学的价值取向

章起始课教学应强调学习的必要性，全面揭示数学知识背后的育人价值，提升课程与教学的立意和价值取向.如《认识三角形》一课，教师可先介绍三角形是一种最常见的几何图形，再展示图片，让学生发现生活中处处都有三角形的形象，进而揭示三角形性质在生活中的应用及三角形在后续几何图形学习中的应用.

教学的目的不仅是为了提高学生的学习成绩，更在于帮助学生理解数学的本质，并掌握数学的学习方法.如《认识三角形》一课，教师要尽可能地帮助学生建立研究几何图形的一般路径：背景—概念—性质—联系—应用.图形的性质不难但内涵丰富，对提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，发展学生的几何直观、逻辑思维和推理论证能力等都有很好的作用.只要将它们按一定的逻辑顺序加以组织，以环环相扣的“性质链”为线索形成系列化数学活动，就可引导学生顺利获得相关结论，并从中领悟研究一个数学对象性质的“味道”，还能激发学生的学习兴趣.

总之，章起始课是初中数学单元整体教学的基础.上好章起始课，可以初步建立全章内容框架，增加基本活动经验，渗透数学思想方法，激发学生探索新知的欲望，这既有助于培育学生的核心素养，又有利于提升教师的专业水平.