折纸大冒险：未来建筑的几何危机

6月4日" "星期二" "天气：小雨

美术课上的烦恼

今天的美术课课堂非常热闹，相比于平时大家自顾自地画画，折纸好像更有趣。大家三三两两地凑在一起，炫耀着自己的作品。有的同学折出了栩栩如生的飞鸟，有的同学则精心塑造出精巧复杂的花朵，还有的同学设计出了立体的纸机器人……教室里洋溢着创意与欢乐的气息。

然而，陆小豆却独自坐在角落，桌上放着几团皱巴巴的彩色纸，眼神中流露出困惑与无奈。他看着同学们手指灵活地折叠、剪裁，不一会儿就制作出了各种精美的折纸作品，而自己却怎么也学不会。

“为什么我就是不会折纸呢？”陆小豆沮丧地想，“我明明很想做出漂亮的作品啊。”

陆小豆不太好意思询问同学们，只能悄悄地打开书包，原来学霸精灵正在里面休眠。陆小豆晃了晃书包唤醒了学霸精灵。

看到陆小豆一脸沮丧，学霸精灵问：“你这是怎么了？”

陆小豆低着头说：“我做不好折纸。”

学霸精灵翻了个白眼说：“折纸是一门需要技巧和空间想象能力的艺术，其中涉及数学中一个很重要的分支——几何。”忽然，学霸精灵好像想到了什么，然后双目中流动起了数据。

奇形怪状的大楼

“果然，你又捅大娄子了！”学霸精灵无奈地说道。

“切，我也不过是折纸的水平不太行，我才不信会对未来有什么影响呢。”陆小豆不服气地说道。

“折纸事小，但暴露了你不熟悉各种基本的平面图形和立体图形，对简单的几何图形剪拼和立体图形展开也一窍不通，空间想象能力很糟糕。这样的你，如果去规划未来城市，可不就是捅了大篓子了。”说罢学霸精灵也不废话，马上从双眼投射出全息投影，一幅未来都市的景象展示在陆小豆面前。

画面中高楼林立，各种高架桥纵横交错，形成了繁杂的建筑群和立体交通网络。陆小豆把画面放大，仔细观看各种楼房，发现很多建筑都奇形怪状、七扭八歪、混乱不堪，很多房屋出现了结构错误。摩天大楼因为头重脚轻，动不动就倾斜摇晃，很是危险。

“你看看吧，这些建筑物还不光是表面不美观，其中很多结构还非常不稳定，又或者非常的不实用，施工成本高，施工困难……这都是你的错！”学霸精灵毫不客气地说道。

“这……这也太危险了！快，我要好好学习一下几何图形的知识了！”陆小豆已经轻车熟路了，马上按下学霸勋章，变身成了学霸。

平面图形识别和运用：

识别和使用正方形、长方形、三角形等基本平面图形。

通过组合平面图形创造更复杂的造型。

空间图形理解：

理解平面图形在三维空间中的展开和折叠。

预测折叠后的立体造型。

掌握立方体、柱体、棱锥等基本立体图形的特点。

难度：

下面的图形中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？

答案：三角形有2个：④⑦；长方形也有2个：①②；平行四边形有4个：①②③⑥；菱形有2个：①⑥。

解答：用示意图来表示三角形与特殊三角形，四边形与特殊四边形之间的关系：

难度：

有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米。不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形（经过旋转或翻转后相同的平行四边形算同一种）？

答案：3种

解答：要把2个三角形粘成平行四边形，就必须把其中长度相同的2条边粘在一起。

①把2条长为3厘米的边粘在一起，可以得到：

其中图1是一个三角形，不是题目所求；图2是平行四边形，对边长分别是4厘米和5厘米。

通过类似的尝试可知，把2条长为4厘米的边粘在一起，或2条长为5厘米的边粘在一起，能拼成如下2个平行四边形：其中图3是对边长分别是3厘米和5厘米的平行四边形，图4是长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形，是特殊的平行四边形。因此2个三角形一共能拼成3种平行四边形。

难度：

下面的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、B、C的对面分别标的是哪个字母。

答案：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标 有E。

解答：由已知条件可推断，标有C、D的两个面不能相对，那么或A的对面标有D，或B的对面标有D。

①如果标有D、A的两个面相对，那么“标有C、D的两个面不能相对”，“标有E、A的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足。

注意到当D在朝右的面，E在朝上的面时，F在朝前的面上，那么只能是标有E、C的两个面相对，而标有F、B的两个面相对。经检验，这种情况满足题目 要求。

②如果标有D、B的两个面相对，那么由于标有E、A的两个面也不能相对，于是标有A的对面就是标有F的面，而标有C的对面就是标有E的面。

此时D在朝后的面上，E在朝左的面上，F在朝下的面上。我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转到朝上的面，此时朝前的面上标的是A，而朝后的面上标的是F，与题意不符。

综上所述，满足题意的答案只有一个：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E。

难度：

这是一个立体图形的展开图，请问：原来立体图形的棱和面各有多少？

答案：16条棱，9个面。

解答：展开图中最下面的正方形就是原立体图形的底面，除了这个正方形余下的是由4个大小形状完全相同的图形组成，其中4个长方形构成一个六面体的4个侧面。而4个三角形构成一个四棱锥的4个侧面。因此原立体图形由两部分组成，如图所示：

立体图形的上半部分是一个四棱锥，其中四棱锥的4个侧面也是立体图形的面，8条棱也是立体图形的棱。

立体图形的下半部分是底面为正方形的平行六面体，其中5个面是立体图形的面，12条棱都是立体图形的棱。但是上底面的4条棱在考虑四棱锥的棱时已经计算过，不能重复计算，那么考虑平行六面体时新增加的棱就有12-4=8（条）。

因此，原立体图形有4+5=9（个）面，有8+8= 16（条）棱。

难度：

将一个正方体纸盒的某些棱剪开后，可以将其平铺成一个“平面展开图”，也就是由6个正方形连接起来的一整张纸片。那么正方体的平面展开图一共有多少种？请全部画出来。（注意：如果经过旋转或者翻转后，两个展开图可以完全重合，那么只能算作一种平面图形）

答案：一共有11种正方体的平面展开图。

解答：