洞悉趋势 融聚未来——2023年创新仿真题多维分析选登(二)

郑祖宏 韦敏妍

(1.黑龙江省虎林市实验高级中学;2.广西河池市民族高级中学)

1.《九章算术》有这样一个问题:今有女子善织,日增等尺,四日织24尺,且第七日所织尺数为前两日所织尺数之积.则第十日所织尺数为?译为:现有一善于织布的女子,从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布,前4天织了24尺布,且第7天所织尺数为前两天所织尺数的积.问第10天织布为

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A.17 B.19 C.21 D.25

【答案】C

【考点】等差数列的通项公式+数学文化

【高考风向】本题是数学文化题,是近几年高考的一种重要题型,意在培养学生的数学应用能力和阅读能力,同时加强对中国古代数学文化的欣赏,达到立德树人的教育目标.

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【答案】D

【考点】相互独立事件同时发生的概率

【高考风向】本题以质量检验为情境,考查概率计算,意在培养学生的数学应用能力,是近几年高考的一个重要题型.

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【答案】A

【考点】三棱锥的体积+三棱锥的外接球+基本不等式

【易错警示】应用基本不等式求最值,需满足“一正,二定,三相等”.为了满足“二定”,常采用凑项法,忽视定值问题,将导致错误.

4.已知圆C关于直线y=2x对称,且过点B(3,1),则圆的一般方程为.(答案不唯一,写出满足条件的一个方程即可)

【答案】x2+y2-2x-4y=0(答案不唯一)

【考点】圆的方程

【高考风向】填空题设置开放性试题,试题答案较灵活,意在培养学生的开放性思维.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)设直线l与C交于A,B两点,与y轴交于点E,A关于y轴的对称点为D,直线DB与y轴交于点F,O为坐标原点,证明:|OE|·|OF|为定值.

【考点】椭圆的几何性质+直线与椭圆的位置关系

【思维导图】(Ⅰ)已知条件→列关于a,c的方程→求出a,c→b2→可得C的方程.

所以b2=a2-c2=1,

(Ⅱ)证明:由题知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx+m,m≠0.

消y整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,

Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)>0,

即4k2-m2+1>0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(-x1,y1),

且y2=kx2+m,y1=kx1+m.

令x=0,

【解题关键】将|OE|,|OF|分别转化为直线l和直线DB与y轴交点的纵坐标的绝对值,是解决本题的关键.

6.设函数f(x)=x2+alnx(a∈R).

(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.

【考点】导数的几何意义+利用导数研究函数的单调性与零点

【思维导图】(Ⅰ)求导→切线的斜率和切点坐标→切线的方程.

【全能解析】(Ⅰ)当a=1时,f(x)=x2+lnx,x∈(0,+∞),

所以f′(1)=3,f(1)=1,

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

当a≥0时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,最多只有一个零点,不满足条件,舍去;

当x→0+时,f(x)→+∞.

因为lnx≤x-1,所以ln(-a)≤-a-1(方法:不等式放缩法),

所以f(-a)=a2+aln(-a)≥a2+a(-a-1)=-a>0.

综上,当f(x)有两个零点时,a的取值范围为(-∞,-2e).

【方法技巧】判断函数有两个零点问题,首先需要研究函数的最值,并解出关于最值的不等式,其次要确定两个零点所在的区间.

【全能解析负责教师:郑祖宏 黑龙江省虎林市实验高级中学】

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A.n>m>tB.m>n>t

C.m>t>nD.n>t>m

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性

∴h(x)在(1,+∞)上单调递减,

∴h(x)

∴f(x)在(1,+∞)上单调递减.

∴f(2)>f(e)>f(3),∴m>t>n,故选C.

2.如图,在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,点E,F,G分别是棱CC1,CB,CD的中点,P为AD1上的定点(不含端点),K为DD1上的动点.

(Ⅰ)是否存在点K,使得PK∥平面EFG;

(Ⅱ)若直四棱柱中所有棱长均为1,求三棱锥A1-EFG的体积.

【考点】空间中直线与平面间的位置关系+三棱锥的体积

【思维导图】(Ⅰ)易得点K与点D1重合时,PK∥平面EFG.

(Ⅱ)连接A1C,B1C,

解：(Ⅰ)当K与D1重合时,PK∥平面EFG.

理由如下:如图,连接BC1,易知PK∥BC1.

又点E,F分别为CC1,BC的中点,

所以BC1∥EF,所以PK∥EF.

又EF⊂平面EFG,PK⊄平面EFG,

所以PK∥平面EFG.

由题可知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1为正方体,连接A1C,B1C,BC1,则B1C⊥BC1.

又EF∥BC1,所以EF⊥B1C.

易知A1B1⊥平面BCC1B1,

又EF⊂平面BCC1B1,

所以A1B1⊥EF.

又A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,EF⊄平面A1B1C,

所以EF⊥平面A1B1C.

又A1C⊂平面A1B1C,

所以EF⊥A1C,同理可得FG⊥A1C.

因为EF∩FG=F,

且EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,

设点C到平面EFG的距离为h,

因为VC-EFG=VE-CFG,