第三届跨区域命题征集活动成果展示(一)

本刊编辑部

【原创创新试题组】

【原创1】在孟德尔遗传理论中,D为显性遗传因子,d为隐性遗传因子,则称DD,Dd为显性个体,dd为隐性个体,用基因型为Dd的小麦进行连续自由交配并逐代淘汰隐性个体,an为Fn(子n代)显性个体中杂合子的比例,其可用列举法或配子法进行计算.比如:

列举法计算F1的基因型:

DdDd14DD,12Dd,12dd子一代淘汰隐性个体后基因型为14DD,24Dd子一代显性个体中,杂合子比例a1=23

配子法计算F1的基因型:

12D12d12D14DD14Dd12d14Dd14dd子一代淘汰隐性个体后基因型为14DD,12Dd子一代显性个体中,杂合子比例a1=23

(Ⅰ)计算a2的值;

(Ⅱ)求an的通项公式;

(Ⅲ)一批小麦中有子六代、子七代、子八代显性个体,其比例为2∶3∶5,现从中取一个麦子,如果它是杂合子,计算它是子八代的概率.

【原创2】已知{an}为等差数列,{bn}为等比数列,满足b1=2a1=2,b2=2a2,a3+b3=11.

(Ⅰ)求{an},{bn}的通项公式;

【答案详解及创新点分析】

【原创1】

【解题思路】本题前两问主要依靠生物学中的列举法和配子法找出数列{an}的递推公式,根据数列的递推公式的结构特征找出隐藏的等差数列,从而求出数列{an}的通项公式;或者依据数学归纳法求解数列{an}的通项公式.本题的第三问主要考查全概率公式和贝叶斯公式,以实际问题为背景,以数学为工具进行求解.

【解析】(Ⅰ)解法一:列举法

13DD23Dd13DD19DD19DD,19Dd23Dd19DD,19Dd19DD,29Dd,19dd子二代淘汰隐性个体后基因型为49DD,49Dd子二代显性个体中,杂合子比例a2=12

解法二:配子法

23D13d23D49DD29Dd13d29Dd19dd子二代淘汰隐性个体后基因型为49DD,49Dd子二代显性个体中,杂合子比例a2=12

(Ⅱ)解法一:列举法

(1-an-1)DDan-1Dd(1-an-1)DD(1-an-1)2DD(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Ddan-1Dd(1-an-1)an-12DD,(1-an-1)an-12Dda2n-14DD,a2n-12Dd,a2n-14dd子n代淘汰隐性个体后基因型为a2n-14-an-1+1()DD,an-1-a2n-12()Dd子n代显性个体中,杂合子比例an=2an-12+an-1

解法二:配子法

2-an-12Dan-12d2-an-12D2-an-12()2DDan-1(2-an-1)4Ddan-12dan-1(2-an-1)4Dda2n-14dd子n代淘汰隐性个体后基因型为2-an-12()2DD,an-1(2-an-1)2Dd子n代显性个体中,杂合子比例an=2an-12+an-1

解法三:数学归纳法(拓展)

假设当n=k(k∈N*)时,①式成立,

当n=k+1时,

k+1k+2D1k+2dk+1k+2Dk+1k+2()2DDk+1(k+2)2Dd1k+2dk+1(k+2)2Dd1(k+2)2dd子n代淘汰隐性个体后基因型为k+1k+2()2DD,2(k+1)(k+2)2Dd子n代显性个体中,杂合子比例an=2k+3

则当n=k+1时,①式成立.

(Ⅲ)设事件A1:麦子为第六代显性个体,事件A2:麦子为第七代显性个体,事件A3:麦子为第八代显性个体,事件B:任取一个为杂合子,则

【创新点分析】题干材料设置:题干改变传统跨学科试题中出现的冗长、生硬、脱离实际、难懂等问题,以经典的孟德尔遗传理论为背景,将生物学中通过找规律得出的结论进行设问;

设问考查角度:本题问题主要考查学生综合运用生物知识严谨地解决数学问题的能力以及通过生物的已知结论,借助数学归纳法求出通项公式的能力.其次,考查学生将实际生活中生物学与概率学统一运用的能力.

【题型选择】本题主要考查生物学与数学的综合运用能力,设定为解答题.

【考查维度】运算能力、数学抽象、逻辑推理、数学建模.

(原创命题人:刘芸 长沙市雅礼实验中学)

【试题评语】本题以孟德尔遗传理论为背景,考查学生阅读理解与学科交叉运用的能力,主要考查数列的通项公式、数学归纳法、全概率公式和贝叶斯公式,考查数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模核心素养,难度较大.

(评语教师姓名、单位:魏清泉 青岛市教育科学研究院)

【原创2】

又函数f(x)=x+4x在R上单调递增,且f(1)=5,则d=1,有q=2.

因此,{an}的通项公式为an=1+(n-1)×1=n,{bn}的通项公式为bn=2·2n-1=2n.

【创新点分析】(1)由于给定的已知条件是等差数列与等比数列的项的关系,自然而然地就想到设首项、公差(或公比),利用方程组思想,通过计算求得{an},{bn}的通项公式,但此题第(Ⅰ)问的方程组求解与以往有所不同,最后得到的方程为d+4d=5,只能利用函数的单调性计算求得.

(3)只有熟练掌握放缩的原则,运用合适的方法,才能够得出正确结论,完成解题目标.因此,我们在数学课堂教学中,大家要学会总结与反思,使自己的思维能够深化,能够准确放缩,当放的过大(小)时,能迅速调整放缩不等式,完成解题目标.

(4)放缩要恰当,这不是一天两天的功夫就能练成的,必须学会观察、尝试、反思、积累才能达到熟能生巧的目的,所以不等式的放缩要注意“度”,并不是要把每一项都放缩,要具体情况具体分析,有的是全部放缩,有的第一项不放缩,有的前两项不放缩,所以反复尝试、比较进行调整.

【评分标准】第(Ⅰ)问6分,计算出d=1和q=2各得2分,写出数列的通项公式得2分;第(Ⅱ)问6分,能放缩得3分,后面的计算求和得3分.

【方法技巧】

1.数列不等式的证明是高考数学中的重点和难点,在高考中屡见不鲜,同时也给考生带来了不小的麻烦.在数列不等式证明题中,放缩法是典型的处理方法之一.由于放缩法的灵活多变性和技巧性,多数学生在遇到这类问题时手足无措,少数同学能动笔,解题效率比较低.实践表明,“放大一点过大,缩小一点嫌小”,可见,在数列不等式证明中对放缩法“度”的把握至关重要.本题依据对数列不等式左右两边结构和实际数据的分析,破解放缩法在数列不等式证明题中对“度”的控制,使大家真正体会放缩法也是“有法可依”的,揭开其神秘面纱.

2.证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达到证明的目的,这种方法称为放缩法.

3.放缩的常见技巧:

4.放缩法在数列不等式证明中主要有两种技巧.技巧一:先求和再放缩;技巧二:先放缩(等差数列、等比数列、差比数列、裂项相消数列)再求和.

【方法示范】

方法一:先求和再放缩使用情景数列通项化简变形后求和比较方便(可以是等差数列求和、等比数列求和、错位相减、分组求和、倒序相加、裂项相消求和等)解题步骤先对通项进行化简变形,再对数列求和,再对最后的和式进行放缩,完成解题目标

(原创命题人:欧阳才学 长沙市雅礼实验中学)

【试题评语】这是一道数列题,主要考查了逻辑推理能力.第(Ⅰ)问较为常规,考查了数列通项公式的求解;第(Ⅱ)问考查了利用“放缩”证明数列不等式,思维含量较高.

【编者按】本专栏试题由教研团队基于多年教学经验和高考研究成果命制而成.所选试题紧密结合《中国高考评价体系》的“一核、四层、四翼”,契合高考改革动态,导向明确.试题的全能解析一方面剖析解题思路,使学生步步深入理解试题的内涵,知其然且知其所以然,系统掌握学科知识,锻炼灵活开放的辩证思维;另一方面深入细致地分析考查重点、点明试题亮点、阐释解题要点,引导广大师生理解和把握试题命题的依据和标准,准确识变、科学应变、主动求变,不断夯实学科关键能力、提升学科核心素养.