如何用必要条件探路解决单参数恒成立问题

左小刚

(安徽省安庆市第二中学)

在数学教学中,转化与化归思想是数学中重要的思想方法之一,也是我们高考常考的思想方法,大多数数学问题我们需要进行等价转化,即寻找问题的充要条件,但有时探究问题的充要条件较复杂,不易求解,此时我们不妨退一步来探究问题的必要条件.著名数学家华罗庚指出:“善于退,足够的退,退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍”,又云:“先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去.”含参数不等式的求解问题是近几年高考考查的热点和难点问题,常与函数、不等式等问题结合考查,综合性强、计算量大、思维要求高,很多学生往往想到参变分离,但后面的问题往往力不从心、望而生畏.本文将通过五个典型试题阐述用必要条件探路解决单参数恒成立问题的五种方法.

一、利用端点处函数值满足不等式得到不等式成立的必要条件,再验证其充分性

【典例1】(2019·全国Ⅰ卷文·20节选)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导函数.若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.

【思路2】构造新的函数g(x)=f(x)-ax,将问题转化为求新函数的最小值,此题需要对参数分类讨论,学生不易找到分类的标准,难以求函数的最值.

【思路3】令g(x)=f(x)-ax,此时g(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立.

∵g(x)=2sinx-xcosx-x-ax,

∴g(π)=-aπ≥0,即a≤0是g(x)≥0在x∈[0,π]上恒成立的必要条件.

下证a≤0是g(x)≥0在[0,π]上恒成立的充分条件.

令h(a)=g(x)=f(x)-ax,当x=0时,显然h(a)=0.

当x∈(0,π]时,函数h(a)单调递减,故h(a)≥h(0)=f(x).

令t(x)=f′(x)=cosx+xsinx-1,则t′(x)=xcosx.

所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π]上单调递减,又f(0)=0,f(π)=0,所以f(x)≥0,故h(a)≥0成立.故而当a≤0时,g(x)≥0在x∈(0,π]上恒成立.

综上所述,a的取值范围是(-∞,0].

【评注】在解单参数恒成立问题时,可以先等价转化不等式为g(x)≥0或g(x)≤0,构造对应函数g(x),用区间端点值代入求函数值,此时满足不等式,进而得到不等式成立的必要条件,最后再验证其充分性.

二、利用定义域内特殊值的函数值满足不等式得到不等式成立的必要条件,再验证其充分性

【典例2】(2020·全国新高考Ⅰ卷·21节选)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅱ)若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范围.

【思路1】学生对解决单参数恒成立问题时容易想到参变分离法,但会发现无法分离.

【思路2】将问题转化成求f(x)的最小值,需要对参数分类讨论,学生不易找到分类的标准,从而较难求出函数的最值.

【思路3】由题可得f(x)的定义域为(0,+∞),则有f(1)=a+lna≥1恒成立.

又h(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增且h(1)=1,故而可得a≥1是f(x)≥1成立的必要条件.下证a≥1是f(x)≥1成立的充分条件.

易证ex-1≥x在x∈R上成立,当且仅当x=1时等号成立,lnx≤x-1在(0,+∞)上成立,当且仅当x=1时等号成立.

故而有ex-1-lnx≥1成立,

∴当a≥1时,f(x)≥ex-1-lnx≥1成立.

综上,a的取值范围是[1,+∞).

【评注】遇到lnx我们一般选x取特殊值1代入计算函数值,寻找恒成立的必要条件,此时可求参数的取值范围,再验证其充分性.

三、利用定义域内特殊值的函数值得到不等式成立的必要条件后缩小参数范围

【典例3】(2022·张家口一模·21节选)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(Ⅱ)若f(x)≥0,求a的取值范围.

【思路1】此题若采用学生常用的参变分离法,会发现无法对其分离.

【思路2】将问题转化成求f(x)的最小值,此题需要对参数进行分类讨论.

【思路3】∵f(x)≥0在x∈R上成立,

∴f(0)=1-a≥0,

故a≤1是f(x)≥0成立的必要条件.

下证a≤1是f(x)≥0的充分条件.

f′(x)=(2ex+a)(ex-a).

当0

当a=0时,f(x)=e2x,因此f(x)≥0;

【评注】遇到ex我们一般选x取特殊值0代入计算函数值,寻找恒成立的必要条件,进而缩小参数的取值范围,有时会减少分类讨论的情况,化繁为简,优化解题过程.

四、利用端点处导数值取值特点得到不等式成立的必要条件,再验证其充分性

【典例4】(2023·合肥二模·21节选)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.

当a≤1时,h′(x)≥0,故函数h(x)在定义域上单调递增.

又h(0)=0,故h(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.

当a>1时,对x∈(0,a-1],h′(x)≤0,此时函数h(x)单调递减,h(a-1)

试验所用方钢管为Q235直焊缝钢管，□120×5.52、□150×5.52两种规格。再生混凝土配制原材料有海螺牌42.5R普通硅酸盐水泥、天然河砂、自来水、天然粗骨料和再生粗骨料。其中天然粗骨料为粒径5～20mm的连续级配碎石，再生粗骨料来源为实验室废弃混凝土试块，经二次破碎后人工筛分为5～20mm的连续粒级。所有再生混凝土配合比相同，水泥∶水∶砂∶粗骨料=1∶0.38∶1.11∶2.06(水泥用量540kg/m3)，再生粗骨料取代率改变时相应地调整再生和天然粗骨料的比例，总的粗骨料重量保持不变。预留钢管、再生混凝土的标准试样与试件同条件养护和高温试验，实测力学性能指标如表2、表3所示。

综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].

【评注】此种方法需要学生有扎实的数学基础,并且会对参数进行分类.

【思路3】f(x)-ag(x)≥0(x≥0)恒成立,不妨设h(x)=f(x)-ag(x),

则h(0)=0,且h′(0)=1-a≥0,

故可得a≤1是h(x)≥0在[0,+∞)上恒成立的必要条件.

下证a≤1是h(x)≥0在[0,+∞)恒成立的充分条件.

综上,实数a的取值范围为(-∞,1].

【评注】此类题型发现代入端点处的函数值满足不等式,但不能得到参数的取值范围,进而进一步探究发现此处的导数值取值范围,从而得到不等式恒成立的必要条件,再验证其充分性.

五、利用定义域内特殊值处导数值取值特点得到不等式成立的必要条件,再验证其充分性

【典例5】(2022·安徽安庆二模·21节选)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx且f(x)≥0.求a.

【思路1】学生对解决单参数恒成立问题时容易想到参变分离法,但此题分离还需分类讨论,而且对应的函数形式复杂.

【思路2】将问题转化成求f(x)的最小值,此题需要对参数进行分类讨论,不易找到分类的标准,难以求函数的最值.

【思路3】由题意可得,f(x)的定义域为(0,+∞),设f(x)=xg(x),其中g(x)=ax-a-lnx,则f(x)≥0等价于g(x)≥0.由于g(1)=0,故g(x)≥g(1)在(0,+∞)上恒成立.

下证a=1是g(x)≥0的充分条件.

综上,知a=1.

【编者按】新课标、新高考、新教材(“三新”)背景下,为帮助高中基础学科教师深化对新高考命题的理解和研究,教学考试杂志社联合北京布局未来教育科技研究院,继续组织开展第三届跨区域命题&说题征集活动,为一线教师提供培训、命题、实战机会,促进一线教师的快速成长,反哺一线教研、教学。本届活动通过专家评审的试题及点评计划分三期刊登展示。欢迎更多的教师关注教学考试杂志社组织的活动,杂志社提供更多的一线教学平台服务,愿与更多的教师共同成长、共享成果。