函数性质问题的等价转化突破口

史记祥 余继光

(1.江苏省姜堰第二中学;2.浙江省柯桥中学)

从“函数综合性质研究关键能力是什么”开始,通过具体微观案例分析,指明转化点与类型,进行痛点分析,微观研究最贴近学生的数学思维认知发展区,不仅告诉学生函数综合性质研究的思维过程“是什么”,而且告诉他们“为什么”这样思考,给学生函数学习送去思维干货,提升学生破解函数综合性质研究的能力.

在研究超越函数所具有的性质时,除了数形结合分析讨论外,一般离不开导数工具,即利用导数工具研究函数性质.对于函数与导数综合题,有人把此类问题的难点归结为导数难,实际上是函数性质综合性强、结构复杂而导致突破难,其中难点(痛点)就是函数性质的逻辑转化,导数是助力函数研究的运算工具,通过微观研究积累经验是一条智慧之路.

1.函数性质问题等价转化关键能力

等价转化涉及到对给定函数信息的识别,需要准确采集到重要的关键点,最关键的是对给定的信息进行结构判断,以及对问题的综合状态进行分解转化,一旦在信息识别环节、结构判断环节和分解转化环节出现数学思维故障,求解就可能中止并且产生数学思维痛点.

1.1 信息采集

信息识别意识与采集能力要求学生会根据问题给定的情境,合理地组织、调动各种相关知识与能力,完成关键信息获取活动,系统化、多层面、多角度地对新信息的进行加工处理,准确把握新信息的实质,把握新旧信息的联系,形成对新信息的准确判断、分析与评价.

1.2 结构判断

任何数学问题都有结构,如代数结构、图形结构、三角结构等.结构判断能力要求学生对问题情境中的关键信息的结构特点进行仔细分析,抓住信息结构的关联性,把握信息结构的特点,进行有序的逻辑推理,从结构上判断函数综合问题的数学模型或类型.

1.3 转化分解

函数综合问题内在一定存在逻辑,根据结构判断结果进行分解转化,将知识与知识之间的关系理解透彻,常规的分解转化要熟练,创新的分解转化要积累经验.

对于函数综合问题,以上三点相互关联,缺一不可,要通过积累与训练加以掌握.

2.例谈函数性质问题转化关键能力之策

微观研究函数综合问题,必须通过实例剖析来丰富关键能力的积累,问题求解产生痛点的根本原因在于没有掌握函数综合问题信息采集、结构判断、分解转化能力,通过数学辅导发现学生思维痛点,以学生思维痛点为案例分析把握各转化点的内在联系,丰富学生的函数性质研究的思维链接.

2.1 函数单调性、极值与导数(方程)转化

【例题1】已知函数f(x)=-x2+ax-ln(x+1).

(Ⅱ)已知函数f(x)既存在极大值又存在极小值,求实数a的取值范围.

(第一个转化点:单调递减转化为一阶导数小于或等于0恒成立)

(第二个转化点:恒成立转化为变参分离后,求函数的最值)

故a+2≤3,a≤1.

(第三个转化点:函数存在极大值与极小值转化为导函数对应的方程有两个不相等的实根)

函数f(x)既存在极大值又存在极小值,故f′(x)=0在(-1,+∞)上有两个不相等的实根,

即-2x2+(a-2)x+a-1=0在(-1,+∞)上有两个不相等的实根.

(第四个转化点:二次方程有两个不相等的实根转化为二次方程根的分布充要条件)

由二次方程根的分布的充要条件,

【痛点剖析】(1)通过课堂学习,第一个转化点一般都能通过;第二个转化点有些技术与技巧,许多学生知道变参分离,但不会在结构上去分析,寻找变参分离的最优化;

(2)第三个转化点是对导函数对应的方程的转化,抬高了一个层次,有些学生可能想不到;

(3)第四个转化点对二次方程根的分布类型掌握不全或缺少完整性,导致列充要条件时,缺少某一个而失误,这是一个看似简单但错误率比较高的转化点.

2.2 函数不等式、存在性与导数转化

【例题2】已知函数f(x)=x+sinx,若存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,则实数m的最小值为

( )

A.-1 B.0 C.1 D.2

【答案】A

【解析】存在x∈[0,π],使不等式f(xsinx)≤f(m-cosx)成立,

(第一个转化点:利用导数判断单调性,即去掉抽象函数f的“外衣”)

f(x)=x+sinx,f′(x)=1+cosx≥0,f(x)在R上为增函数,

所以存在x∈[0,π],使不等式xsinx≤m-cosx成立,

即存在x∈[0,π],使不等式xsinx-m+cosx≤0成立,

(第二个转化点:函数存在性转化为值域,这是关键的一个等价转化)

即(xsinx+cosx-m)min≤0,

令g(x)=xsinx+cosx-m,即求g(x)的最小值.

(第三个转化点:函数最值转化利用导数工具分析函数单调性)

(第四个转化点:函数最小值转化判断区间端点函数值大小)

g(x)min=min{g(0),g(π)}=min{1-m,-1-m}=-1-m≤0,

m≥-1,故选A.

【痛点剖析】(1)第一个转化点就有许多学生过不了关,剥去复合函数最外层,要通过外层函数单调性来实施,这是对单调性定义的三种形式的理解,许多学生只会背单调性定义的基本形式,另两种表现形式想不到或不会用;

(2)第二个转化点也有少数学生不知,对于“恒成立问题” “存在性问题”的区别不知道;

(3)第三个转化点是函数最值的基本思路;

(4)第四个转化点是对函数整体的把握,最小值点发生在区间端点处,许多学生在这几个转化点链接处思维受阻.

2.3 函数与方程性质利用数与形转化

(Ⅰ)若b=1,且f(x)是减函数,求a的取值范围;

图1

(第三个转化点:二次方程有两解转化为二次方程根的分布的充要条件)

(第五个转化点:如图2,两个不同交点转化为两个函数值的大小关系)

图2

【痛点剖析】(1)此问题没有用到导数,但是一道函数综合问题的难题,难在分段函数、绝对值函数与双参形式上.第一个转化点非常重要,对于一个分段函数的单调性,其充要条件要满足子区间上函数的单调性与分段点处函数值的大小关系;

(2)第二个转化点是复杂方程三个解的综合分解,许多学生过不了这一关;

(3)对于参数范围的分类讨论也是一个痛点,第三个和第四个转化点是二次方程根的分布,第五个转化点从形上寻找充要条件更是学生的思维痛点.

2.4 函数性质利用补集思想转化

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上不单调,求实数a的取值范围;

【解析】(Ⅰ)(第一个转化点:f(x)在(1,+∞)上不单调转化为函数单调思考,然后求参数补集)

所以f(x)在(1,+∞)上单调时,实数a的取值范围为(-∞,0]∪[1,+∞),

因此f(x)在(1,+∞)上不单调,实数a的取值范围是(0,1).

(Ⅱ)(第二个转化点:证明函数不等式转化为研究函数单调性)

因为x>1,所以F′(x)<0,即F(x)在(1,+∞)上单调递减,

(第三个转化点:由函数单调性转化为函数值的大小关系)

【痛点剖析】(1)“不单调”信息提示,第一个转化点就非常重要,补集思想的运用,许多学生想不到;

(2)第二个转化点是常规,证明函数不等式转化为函数单调性的研究;

(3)第三个转化点与函数单调性相匹配.

2.5 恒成立转化为研究函数最值

【例题5】已知f(x)=x2-4x+alnx.

(Ⅰ)a=-1,求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)已知函数f(x)有两个极值点x1,x2(x10恒成立,试求m的取值范围.

【解析】(Ⅰ)a=-1,f(x)=x2-4x-lnx,x>0.

(第一个转化点:求函数f(x)单调区间转化为研究函数f(x)的导数)

(第二个转化点:函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1

所以g(x)单调递减,g(x)>g(1)=-3,

【痛点剖析】(1)第一个转化点是常规的,起点比较低,大多数学生都能通过;

(2)第二个转化点也是常规的,函数有两个极值点到二次方程有两解,导数只是一个工具;

(3)第三个转化点虽是常规,但有数据处理技巧,为后续运算简化打下基础.

2.6 函数结构变形求最值

(第一个转化点:求函数f(x)单调区间转化为研究函数f(x)的导数)

(Ⅱ)(第二个转化点:x1,x2(x2

(第三个转化点:两元函数结构转化为一元函数)

(第四个转化点:函数最值转化为导函数性质分析)

【痛点剖析】(1)第一个转化点已经是学生比较熟练的,可以通过了,如果再错,就是基础太弱了;

(2)第二个转化点是近期考试热点类型,上面有几题也类似;

(3)第三个转化点是关键,具有两元函数转化为一元函数的意识与能力是非常重要的.

3.突破“等价转化”关键能力的思维链

总体上,学生经过教师的指导已经知道许多等价转化的方向,但是在问题求解中还是处处思维受阻,其根本原因在于缺少数学思维链接,从信息A到信息B的刺激力不够.

函数性质学习要从独立的知识点转向思维链接点,训练自己的发散性思维能力.