椭圆最值或范围问题的求解技巧

耿瑞照

(山东淄博淄川般阳中学)

椭圆是圆锥曲线的重要组成部分,新课标对椭圆的要求是“掌握”,比对双曲线、抛物线要求的“了解”层级要高.从高考的角度来说,以椭圆为背景的题目在各个题型中都可能出现.下面针对椭圆问题中的一个难点——最值、范围问题重点突破,希望这些常见的解题方法对老师们、同学们的备考有所启示.

1.利用三角换元求最值

【例题1】设实数x,y满足x2+4y2=4,则x+y的最大值为________.

2.利用数形结合求最值

3.利用函数思想求最值

(Ⅰ)求点P的坐标;

(Ⅱ)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

【分析】解决两点距离的最值问题的方法通常是给它们建立一种函数关系,然后利用函数的最值进行求解.

4.利用构造法求范围

【分析】点M的轨迹实际上就是以线段F1F2为直径的圆,因此不妨构造这个圆,再利用该圆在椭圆内求解,即利用b和c的大小关系求解.

5.利用方程思想求范围

【分析】联立椭圆与直线方程,得到一个一元二次方程,然后利用方程思想求解即可.

(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

由题意可知,Δ=4a2b2(a2+b2-1)>0,

则a2+b2>1.

设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

∴2x1x2-(x1+x2)+1=0,

6.利用基本不等式求范围

( )

【答案】C

【分析】若涉及椭圆上关于原点对称的两点,通常要把两点与椭圆的两个焦点顺次连接,然后可借助余弦定理和基本不等式求解.

【解析】设F,F′为椭圆的左焦点与右焦点.顺次连接A,F,B,F′.由椭圆及直线的对称性可知四边形AFBF′为平行四边形.∵∠AFB=120°,∴∠FAF′=60°.