深入分析三次函数,多维思考巧解题

龙 宇 钱耀周

(1.广东省佛山市罗定邦中学;2.广东省佛山市教育局教研室)

笔者在教学的过程中发现,学生对于二次函数的图象及性质非常的熟悉,但是对于三次函数却较为陌生.其常见的处理策略是对函数进行求导,利用导函数为二次函数的相关性质来逆推三次函数的相关性质.但这样的推导过程都较为“冗长”,不便于小题的求解.笔者认为,有必要向学生介绍三次函数的性质,让学生直接利用性质求解.笔者梳理了三次函数的相关性质,并通过下文中的相关例题进行展示.

一、三次函数的图象及相关性质

设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),其图象特征如下表所示,类似于“对勾函数”,笔者将三次函数简称为“闪电函数”.对于“闪电函数”最基础的考查即是研究其单调性、极值等相关性质.

有极值无极值a>0a<0

【例题1】(2023·湖北十一校一联·11节选)已知f(x)=x3+bx2+x+d,b,d∈R,下列说法正确的是

( )

【答案】D

【评注】选项C,D是对三次函数的单调性与极值点的相关判断,体现了对导数的应用.

【例题2】若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1,x2,且f(x1)=x1,则关于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数是________.

【答案】3

【解析】对函数f(x)求导可得f′(x)=3x2+2ax+b,由题意知x1,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根.由3[f(x)]2+2af(x)+b=0,得f(x)=x1或f(x)=x2,即3[f(x)]2+2af(x)+b=0的根为f(x)=x1或f(x)=x2的解.如图1,2所示,由图象可知f(x)=x1有2个解,f(x)=x2有1个解,因此3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同实根个数为3.

图1

图2

( )

【答案】B

令h(x)=ax3-x2+4a,若a=0,则h(x)=-x2≤0,此时,函数f(x)的图象只经过两个象限.

若a<0,当x>0时,h(x)<0,由g(x)>0,可得f(x)<0,即当x>0时,f(x)的图象只经过第四象限,不符合题意,

所以a>0,由h(x)=ax3-x2+4a的导函数为h′(x)=3ax2-2x,

二、三次方程的韦达定理

【例题4】已知函数f(x)=x3-3x2+2x,设f(x)=t(t>0)的三个根分别为x1,x2,x3(x1

【答案】3

【解析】根据三次方程的韦达定理可得x1+x2+x3=3.

【例题5】设直线y=t与曲线C:y=x(x-3)2的三个交点分别为A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C

三、三次函数图象的对称性

【例题6】设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:

①若f(x)是(0,1)上的增函数,则f(x)是(3,4)上的增函数;

②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;

③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点.

其中正确的结论是________.

【答案】①②③

对于②,假设f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)单调递增,则有a·f(1)

对于③,对函数f(x)求导可得f′(x)=3ax2-12ax+c,则f′(2)=c-12a.当x0=2时,直线l2:y=(c-12a)(x-2)+f(2)为该点处的切线,点(2,f(2))是原三次函数的“拐点”,结合函数f(x)的“凹凸性”即可知该直线与原函数仅有一个交点.当x0≠2时,直线lx0:y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与直线l2平行.结合函数f(x)的“凹凸性”即可知直线lx0与函数f(x)有唯一的交点(x0,f(x0)),由此可知③成立.综上,正确的结论是①②③.

【例题7】设函数f(x)=x3-3ax2+2a2x(a≠0),若x1,x2(x1

①若λ∈(-1,0),则f(x1)

②若λ∈(0,2),则f(x1)

③若λ∈(2,+∞),则f(x1)

其中正确的结论是________.

【答案】③

四、三次函数的“凹凸性”

【例题10】已知函数f(x)=x3-x+1,过点A(0,1)作函数y=f(x)的切线,可作________条.

【答案】1

【解析】函数f(x)的对称中心恰好为A(0,1),根据其在两侧的“凹凸性”可知,过点A(0,1)作函数y=f(x)的切线有且仅有1条.

五、三次函数与三倍角公式

三倍角公式有正弦与余弦两种形态,其余弦形态如下:cos3θ=4cos3θ-3cosθ,注意到该公式两边的次数,分别是1次与3次.受此启发,当面对三次函数时,我们可以考虑利用三倍角公式进行化简.

【例题11】设函数f(x)=ax3-3x+1对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0,则实数a=________.

【答案】4

仔细观察可知,题干涉及的变量x的取值范围是[-1,1],所以可以借助三角换元进行研究.现结合三倍角公式验证其充分性.令x=cosθ,则f(x)=acos3θ-3cosθ+1.

当a=4时,f(x)=4cos3θ-3cosθ+1=cos3θ+1.根据cos3θ∈[-1,1],可得f(x)≥0.