圆锥曲线综合试题的直观化解题探究——以2023年“四省联考”第21题为例

张蕊娟

(云南省红河州蒙自市第四中学)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中提出六大核心素养,其中直观想象是发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的重要手段,是探索和论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.史宁中教授认为“很多数学问题是看出来,不是做出来的”,可见,借助几何图形以及式子的结构特征,把抽象、计算烦琐的数学问题转换成直观问题,达到缩减解题时间的目的,从而发展学生的核心素养.

一、试题呈现

(Ⅰ)求C的方程;

二、直观化解题探究

(一)试题第(Ⅰ)问

消b2得32(25-a2)-9a2=a2(25-a2), ①

化简整理得a4-66a2+800=0, ②

(a2-16)(a2-50)=0,

可得a2=16或a2=50.

又因为b2=25-a2>0,所以a2=16,b2=9.

解法2：设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-5,0),F2(5,0),

利用定义||AF1|-|AF2||=2a得

所以a2=16,可得b2=c2-a2=9.

(二)试题第(Ⅱ)问

图1

Δ>0,9m2-16≠0,

直观猜想1:弦长公式的应用

观察这四个式子,一是有根号,二是有平方,三是有5个变量,在有限时间内很难化简成可以使用韦达定理的式子,此时我们能想到的就是减少变量,不出现平方,避免根号.自然联想到优化过的弦长公式.

大部分学生做到此处会出现“卡壳”,无法进行下去.“卡壳”原因一:出现绝对值,破解方式:去绝对值;“卡壳”原因二:出现非对称韦达,即不是完全韦达定理的形式,破解方式:统一变量.

去绝对值

图2

图3

图4

统一变量

所以|GD||HE|=|GE||HD|,

直观猜想2:三角形相似

解法2：如图5,分别过点G,H作GN⊥AB,HC⊥AB交AB于点N,C,再过点D作DM⊥GN于点M,过点H作HF⊥x轴于点F,则有Rt△GMD∽Rt△GNE∽Rt△DFH∽Rt△HCE,

图5

直观猜想3:参数方程

Δ>0,9cos2α-16sin2α≠0,

由参数t的几何意义可知|GD|=|t1|,

则|GD||HE|=|t1(t2-t3)|=t1(t2-t3),

|GE||HD|=|t2(t1-t3)|=-t2(t1-t3),

所以|GD||HE|-|GE||HD|

=t1(t2-t3)+t2(t1-t3)

=0,

则|GD||HE|=|GE||HD|,

直观猜想4:平面向量

Δ>0,9-16k2≠0,

所以|GD||HE|=|GE||HD|,

三、解题反思

第(Ⅱ)问给出的弦长公式、三角形相似、参数方程以及平面向量是长期以来积累的解题经验,也是最直观的解题思维,不管利用哪一种思路,运算过程中都可能遭遇不去绝对值导致的韦达定理“卡壳”或去绝对值时的烦琐讨论的情况.本文从最直观的解法1出发,当无法把|y1|,|y2|,|y1-n|及|y2-n|去绝对值时,从|GD||HE|与|GE||HD|的对称性考虑整体去绝对值,也可直接把韦达定理代入,难点在于判断整体的正负.如何根据结构的特征找到破解的方法,可参考解法1.

巧妙地运用参数方程的思想把几何问题转化为代数直观解法,而平面向量不仅能把条件的几何关系转化为代数关系,还避免了去绝对值的烦琐讨论与不去绝对值导致韦达定理“卡壳”的现象,无疑是此题的好方法,也是官方参考答案的原因所在.