培养创新意识 感悟思维之美——一道模考题的解法赏析与教学建议

毕玉峰

(山东省临沂市教育科学研究院)

思维不仅是数学教学的核心,也是数学核心素养培养的落脚点.《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》把数学核心素养定义为“学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的、有数学基本特征的思维品质和关键能力”.数学核心素养与数学思维有着密不可分的关系,而培养学生数学思维的有效途径是解答试题.本文通过赏析一道模考试题的多种解法,既呈现通性通法,也展示巧思妙解,以期对学生解题思维能力的培养与拓展起到帮助作用,并引发对解题教学的一些思考.

一、试题呈现

二、试题简评

本题为2023年5月临沂市高考模拟考试第20题,第(Ⅰ)问将向量的数量积与解三角形结合,第(Ⅱ)问给出两角差的余弦值,求三角形的面积,题目有较大的创新性,对学生而言有一定难度.笔者全程参与了命题、阅卷、统计和分析工作,经统计,全市平均分仅为2.89分,其中有14%的学生得0分,31%的学生得1分,但从全市考生的答卷来看,出现了多种解法,可谓精彩纷呈,远远超出了命题人的预想!

三、解法赏析

(Ⅰ)解法1：设BC=a,AC=b,AB=c,则c=4.

∴accosB=-12.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+42-2×(-12)=a2+40,

∴b2=b2-7b+16+40,解得b=8,

∴a2=24.

∴AC=8.

解法3：以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0).

设C(t,0),

解得t=8,

∴C(8,0),

【点评】此解法通过建立平面直角坐标系,将向量用坐标表示,进而将数量积、边长等坐标化,迅速求得结果,构思之奇妙,过程之简捷,令人叹服!

设BC=a,AC=b,AB=c,则c=4,b>4.

又由(Ⅰ)解法1,得a2=b2-7b+16,

即3b2-26b+48=0,

【点评】此解法将两角和与两角差的余弦公式展开得到两角的正弦积,再利用正弦定理将角的正弦关系转化为边长的关系,结合余弦定理,解方程求出b,最后套用面积公式求得结果.

设BC=a,AC=b,AB=c.

【点评】此解法将二倍角用两角和与两角差表示,利用公式展开,代入数值后求出二倍角的余弦值,再利用二倍角公式得到单角的正弦值,然后套用面积公式求得结果.将2B,2C的余弦值转化为B+C,B-C的正弦值和余弦值是此解法的关键.

解法3：由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及正弦定理,可得sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA.

∵sinB>0,sinC>0,

∵AC>AB,∴B>C.

∴sinB>sinC,

设BC=a,AC=b,AB=c.

【点评】此解法由余弦定理得到边角关系,再由正弦定理得到只关于内角的正弦值的等式,利用整体代换得到内角的正弦值,然后套用面积公式求得结果.利用正弦定理将边角关系转化为只含有内角正弦值的等式是此解法的关键.

解法4：∵A+B+C=π,

∴B=π-A-C,

∵AC>AB,

∴B>C,

∴0

又cos2C=1-2sin2C=2cos2C-1,

设BC=a,AC=b,AC=c.

【点评】此解法建立了2C与A的关系,利用两角差的余弦公式求出C的正弦值和余弦值,再用两角和的正弦公式得到B的正弦值,然后套用面积公式求得结果.

∴B=3C,

∴A=π-4C,

以下同解法4.

【点评】此解法根据三角函数值的大小确定角的范围,并发现角之间的关系,将A,B用C的倍角表示,求出B的正弦值,进而求得三角形的面积.A,B与C的倍角关系的处理是此解法的关键.

解法6：∵AC>AB,∴B>C.

如图,在AC上取点D,使得∠CBD=C,则∠ABD=∠ABC-C,

∴cos∠ADB=cos∠ABD,

∴在△ABD中,∠ADB=∠ABD,

∴AD=AB=4.

∴BD=2,

∴CD=BD=2,AC=AD+DC=6.

【点评】此解法通过作辅助线,利用等腰三角形找到与已知条件中的B-C相等的角,再利用两角余弦值相等得到两角相等,在等腰三角形中利用余弦定理求出边长,最后套用面积公式求得结果.由余弦值相等得到两角相等是此解法的关键.

解法7：∵AC>AB,

∴∠ABC>∠ACB.

在AC上取点D使∠CBD=∠ACB,则

∠ABD=∠ABC-∠ACB,DB=DC.

等式两边平方,化简整理得

3m2-28m+64=0,

∴AC=AD+DC=6,

四、教学建议

解题教学是高中数学教学的重要组成部分,要求学生认真分析问题、理解问题本质,言简意赅表达解题过程.通性通法的教学是解题教学的重头戏,体现了本原的数学思想方法,具有原创性,但只注重通性通法会约束学生的创新思维,从而出现“千生一面”的状况,扼杀了学生“灵活”的思维,使学生很难感受到数学的思维之美,没有创新意识.本题(Ⅰ)中的解法1,2都属于通法,利用定义将向量的数量积转化为三角形中边与角的关系,解法3技巧性较强,建立平面直角坐标系,将向量的数量积、边长等坐标化处理,大大简化了解答过程.(Ⅱ)中的解法1,2,3,4都属于通法,利用三角恒等变换、三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式来解决,解法5则根据三角函数值的关系得到角的关系,进而求得B的正弦值,解法6,7通过作辅助线找到已知条件中的B-C,利用等腰三角形性质解决问题,特别是解法7利用坐标化的方法解决数量积,充分体现了数形结合思想的应用.