高阶思维结构图：高中数学解析几何深度学习的有效路径

汪佳婕|浙江省海宁市南苑中学

高中数学解析几何教学有一个非常显著的特点：先基于具体问题，构建平面直角坐标系；再在几何问题和图形特点的作用下，通过代数表达和运算将几何问题以代数的形式展示出来；然后通过对几何问题的分析，找出一条正确解答问题的途径；最后通过代数法，将代数问题得出的结论用几何语言的方式展示出来.但在实际学习中，学生往往对解析几何内容感到困难，其原因在于“知其然而不知其所以然”，即学生不能将所学知识灵活地运用到解题中，不能将解析几何的一些条件结论进行迁移.笔者认为，教师可借助高阶思维结构图帮助学生进入深度学习状态，进而发展数学核心素养，下面具体阐述.

一、构建高阶思维结构图应遵循的原则

高阶思维结构图是基于分析、评价和创造等思维，形成有效解决策略和认知思路的思维可视化表达方式，它具有图文结构化的特点，是思维过程显性化的有效载体，能帮助学生完善认知体系、加深记忆，实现有效应用.在以学生发展为中心的深度学习课堂中，高阶思维结构图的构建应遵循以下原则.

（一）“图”联——整体性原则

整体性原则指根据知识在整个系统中所处的位置，以及课标要求的知识点之间的内在联系，把散落的信息进行归类与整合.如此，学生能快速提取主要内容并进行纵横对比，围绕“有什么，是什么，求什么，需什么，怎么做”进行高阶思维结构图的联系，从而多角度地分析条件和结论的关系，学会选择并优化解题方案.

（二）“图”导——启发性原则

启发性原则指遵循知识的发生和发展规律，由浅入深、循序渐进地引导学生自主思考，培养学生自然领悟及灵活运用多种方法解决问题的能力.以“问题引导，探究交流”为主要方式进行高阶思维结构图导航，将已知条件进行转化，能帮助学生逐层递进地剖析数学模型，逐步加深认知，提升数学思维能力.

（三）“图”创——生成性原则

生成性原则指既要关注数学学习的目标性知识，也要把握解决问题的规律，使学生在解决实际问题的过程中悟到问题的本质和内涵.以“学解一道题—学会解一类题”为目标进行高阶思维结构图的创新，深入挖掘题目并举一反三，可使学生在学习数学知识的同时，实现对数学知识的迁移和发散.

二、在高中数学解析几何教学中构建高阶思维结构图的实践

解析几何主要聚焦学生对重要的数学概念、方法、定理、思想的理解与应用，强调基础性、综合性，教师可借助高阶思维结构图，体现分析、推理、组织、分类等高阶思维，帮助学生发展数学核心素养.

（一）建立对比联系结构图，促进数学知识的深度组织

解析几何的综合题一般都是以点在曲线上或者直线与曲线相交为背景，“设而不求”是解决解析几何问题的一般策略.很多学生在面对“先设点还是先设线”时会产生困惑，选择正确与否直接决定了接下去能否解决该问题.教学中，教师可引导学生抓住题目中核心元素的特点，建立对比联系结构图.具体步骤为：（1）分析图形的关系条件，找出设点和设线分别能求出哪些结果；（2）对比设点和设线各自的难点和突破口在哪里；（3）总结两种设法的联系及优缺点，选择最合适的解题路径.对比联系结构图主要用于关键信息特征明显的题目，它能突出解析几何“设”的重要性，可让学生对知识的关联性有全面的认识，进而补充与完善认知结构.

例1：已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心率为且过点，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值.

【探】解此题既可以设点也可以设线：设点P的坐标，变量有两个，难点是如何消元转化；设直线PB方程，难点是如何进行几何转化.教师可引导学生建立此题的对比联系结构图（如图1所示），让学生弄清楚知识结构，不断完善认知结构.

图1 对比联系结构图示例

【思】解答问题时要合理地运用对比联系的方式，通过设点、设线等方式计算问题，关键在于理清“主”和“辅”之间的联系.教师要以目标和既定的解题方案为路径，运用对比联系结构图突出知识点之间的内在联系，引导学生在进行对比时，将分散的琐碎信息整合到一起，从而快速提取主要内容并进行纵横对比，最终促进知识的深度组织.

（二）建立方法模型结构图，促进数学模型的深度转化

解析几何中圆锥曲线离心率问题是高考中的一类重要题型，这是因为离心率是圆锥曲线的重要几何特征，且与其他基本量联系密切，容易产生知识交汇.椭圆、双曲线可以与平面几何中的三角形、四边形、圆等结合，由此会造成许多几何性质叠加在一起的情况，使学生难以找到突破口.教学中，教师可引导学生找到题目的通性通法，建立方法模型结构图.具体步骤为：（1）分析此类问题的基本思路，寻找关键点和切入点；（2）运用所学知识定位解题方向和解题工具；（3）挖掘题目背后蕴含的解题思想.方法模型结构图主要用于某些有方向有条理的题目，可让学生在分析时有目标导航的意识与思想.它能使复杂问题本质化、一般化，揭示出问题包含的思想和知识间的渗透，从而深化学生对知识的理解.

例2：已知椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，顶点B的坐标为（0，b），连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点M，连结F1M，若F1M⊥AB，求椭圆C的离心率.

【探】针对此类求离心率的问题，其关键是要得到a、b、c的关系，既可以从代数角度计算点的坐标列出方程，也可以从形的角度寻找几何图形的性质.此题由两直线垂直条件，用解三角形、三角函数、方程的知识求离心率，数形结合是转化解析几何问题的出发点.教师可引导学生建立此题的方法模型结构图（如图2所示），让学生从数和形两个角度分析问题，使学生综合运用知识的能力得到提升.

【思】把常见的基本方法以例题的形式展现给学生，通过观察、分析、比较等思维活动总结归纳，然后根据图形，用符号语言揭示出其中的规律，最终形成方法模型结构图.运用方法模型结构图，能让学生在遇到问题时有目标导航意识，迅速抓住问题的本质，并整体规划思维路径，从而在解题中做到有的放矢，实现思维的深度转化.

（三）建立发散思维结构图，促进数学经验的深度迁移

解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，特别是定点、定值、取值范围、最值问题一直是高考的热点和难点，这类题目往往贴近教材、解法灵活、背景丰富，为研究提供了广阔的空间.教学中，教师可引导学生从不同角度和维度深化问题，建立发散思维结构图.具体步骤为：（1）从一个目标出发，以最基本的知识点为支架搭建变式平台；（2）对已知条件按照顺向思维进行变式；（3）对所求结果按照逆向思维进行变式.发散思维结构图主要用于从多视角和层次研究一块知识点，让学生以不同的知识点为中心分别编织知识网，构建多个知识组块，这些知识组块相对于孤立的知识点具有更大的功能.教师要以低起点和不断提升的教学目标激发学生的思维活动，从而促进其数学经验的深度迁移.

例3：已知曲线，M为直线y=上的动点，过点M作曲线C的两条切线，切点分别为A、B，证明：直线AB过定点.

【探】过平面内一点引二次曲线的两条切线，两切点连线的直线方程即为曲线的切点弦方程.此题从圆的切点弦方程入手，对圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）等常见曲线的切点弦方程进行推导，再在原题的基础上进行变式.教师可引导学生挖掘抛物线与其切线的内在联系，运用特殊到一般的归纳思想得到切点弦公式，探究切线与相交弦之间的关系，然后在此基础上对条件和结论分别变式，进而建立发散思维结构图（如图3所示）.这既能让学生对切点弦方程的内容有更加深刻和深入的理解，又能构建探索性的学习空间.

图3 发散思维结构图示例

【思】此题从切点弦问题出发，引导学生逐步完成知识网的构建，并建立起多个不同的知识模块.相较于那些独立的知识点，这些模块具有更加重大的意义，能给学生更多的有序知识.运用发散思维结构图抓住本质多角度分析，学生能发挥主观能动性，提高宏观整体把握此类问题的能力，使思维深度迁移.

三、实践反思

（一）学习载体清晰，思维可视效率高

课堂上，教师以可视化的高阶思维结构图为学习载体，引导学生根据题目特点构建不同类型的思维结构图，不仅可以使学生直观地看到如何提取题目中的关键信息并将其转化为解决此问题的方法，还可以使学生由此进行思维的发散延伸.这样就能在降低解析几何问题难度的同时，明显提高课堂教学效率.

（二）教学过程整合，认知结构促完善

借助高阶思维结构图，并在其中体现分析、推理、组织、分类等高阶思维，让学生在解决几何问题时进入具体情境去演绎和归纳整个问题的过程，可强化其对通性通法的综合运用和数学知识的深度理解.同时，同伴之间相互探讨，有助于学生完善认知结构、提升数学经验.

（三）深度学习显化，知识迁移见本质

绘制高阶思维结构图，可以促进学生高阶思维的发展，帮助学生从知识、思想、方法三个角度去探究问题的本质特征，搭起解题的整体框架并织成知识网络.在层层递进剖析问题加深知识迁移的过程中，学生能有效地发展数学核心素养.