基于改进型双幂次组合趋近律的永磁同步电机无模型滑模控制

王柳亘，王 炜，曾红兵，彭天顺

（湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

新能源电车电机的选择需要考虑到可靠性、高效性和鲁棒性。近些年来，永磁同步电机以其结构简单、功率密度高、可靠性高、输出转矩大等优势深受国内外电动车电机厂商青睐[1]。因此，永磁同步电机的驱动控制也成为了当下的研究热点。

目前，在工业上大多数厂家仍然使用PI 控制作为永磁同步电机调速控制方法，因为PI 控制拥有算法简单、易于实现等特点[2]。然而考虑到永磁同步电机是一个非线性强耦合控制对象，以及外部环境扰动、系统参数变化等的影响，传统的PI 控制器对此并没有较强的抗干扰性能。因此，各国优秀研究者提出如模型预测控制[3]、无模型控制[4]、神经网络控制[5]、滑模控制[6]等控制方法解决传统PI 控制中存在的短板问题。其中，无模型控制[7-8]拥有对系统内外存在的扰动不敏感，以及能在系统未建模动态造成影响时保证较强鲁棒性的优点。而滑模控制方法在对参数变化不敏感及强鲁棒性等方面同样具有一定优势。因此滑模控制与无模型控制的结合能够更好地减小对电动机系统模型的依赖，降低由于系统参数变化和外部环境扰动所带来的影响。

滑模控制与无模型控制方法的结合，虽然降低了外部环境与参数变化带来的影响，但同样由于滑模控制方法的引入给系统带来了固有抖振。于是提高响应速度、减小抖振成为无模型滑模控制的研究热点。其中由高为炳[9]提出的用以减少系统抖振的趋近律方法应用甚广。在此基础上，梅红[10]、张瑶[11]等分别提出了双幂次趋近律与多幂次趋近律，通过引入幂次项加快趋近速率和减小系统抖振。而后，为了对系统不同阶段进行针对性调节，廖瑛等[12]在双幂次趋近律基础上提出双幂次组合趋近律，在此趋近律下，对于系统在不同状态下都有相对应能提高性能品质的趋近律函数。再之后，不同于趋近率方法，文献[13]通过利用扩张状态观测器将未知部分扩张成系统状态以提高未知部分估计精度，相较于传统观测器[14]也能有效减小抖振，但存在参数多、整定困难等问题。针对此问题，文献[15]设计了一种扩展的滑模扰动观测器，其能较好地弥补这些不足，并且获得了更好的鲁棒性。

针对参数摄动对PMSM（permanent magnet synchronous motor）控制系统鲁棒性产生影响的问题，本文提出一种改进型双幂次组合趋近律无模型滑模控制方法。首先，为提升滑模趋近阶段的趋近速率以及减小抖振，设计了一种新的双幂次组合趋近律。然后，基于无模型控制中转速环超局部模型与改进型双幂次组合趋近律设计速度环控制器，再通过ESMDO（extended sliding mode disturbance observer）观测系统未知部分对控制器进行实时补偿。因此，本方法能有效降低电机参数摄动的影响，提高趋近速率并减小抖振，达到提升系统鲁棒性的效果。最后通过半实物实验和Simulink 仿真验证此方法的有效性。

2 PMSM 系统模型

对于现有的大多数PMSM 数学模型，通常都是假设其定子铁芯饱和，电动机不受外界影响且不考虑电动机内部参数发生变化时得到的数学模型。若是考虑到因电动机温度、使用时间过长等条件下发生参数变化的影响，则PMSM 其d-q坐标系的电压方程为

式中：ud、uq为d-q轴电压；Rso为定子相绕组电阻的标称值；id、iq为d-q轴电流分量；Ldo、Lqo为定子绕组d-q轴电感的标称值；ωe为转子电角速度；ψro为转子永磁体磁链的标称值；Δud、Δuq分别为电动机参数变化时在d轴、q轴所引起的不确定量，其表达式为

其中，Rs是电动机电阻，Ld、Lq是定子电感参数摄动量，Δψr是永磁体磁链变化量。

电磁转矩方程为

d-q坐标系中的机械运动方程为

式中：TL为负载转矩；J为转动惯量；B为转矩阻尼系数；Bωm为阻尼转矩。

联立式（3）、式（5）可得PMSM 在参数摄动下的转速状态方程为

3 控制器设计

3.1 改进型趋近律设计

由文献[16]可知，双幂次趋近律的性能要优于由文献[9]所提出的等速趋近律、指数趋近律以及幂次趋近律。且双幂次趋近律表达式如下：

又由文献[12]可知双幂次组合趋近律性能要优于双幂次趋近律以及快速幂次趋近律，因此本文基于双幂次组合趋近律设计新型趋近律，其表达式为

式（7）（8）中：k1、k2、k3、ε1、ε2>0；0<α；λ2<1；1<β、λ1；sgn(s)为切换函数。

3.2 改进型趋近律趋近速率分析

设s初始状态为s(0)，且s(0)>1，则系统的趋近过程可分为两个阶段。

1）s(0)→s(T1)=1，设所需时间为T1。

对原式进行整理得：

对原式进行整理得：

因此，对于新型趋近律从s(0)到s(T1)所需时间T1有

2）s(T1)→s(t)=0，设所需时间为T2。

对原式进行整理得

对原式进行整理得

因此对于新型趋近律从s(T1)到s(t)=0 所需时间T2有

综上所述，可知新型趋近律趋近时间约为T=T1+T2≤t0+t2，双幂次组合趋近律收敛时间约为T3=t0+t2，且由文献[12]可知双幂次趋近律收敛时间T4+T3，于是可得T≤T3

3.3 趋近律存在性及可达性分析

定理1当系统初始状态s(0)不在滑模面上时，则系统状态可在滑模趋近律（8）驱使下渐近收敛于滑模面。

证明设Lyapunov 函数为V=s2/2，根据式（8）可得到关系式：

3.4 转速环改进型无模型滑模控制器设计

3.4.1 无模型控制

基于超局部模型理论[18]，根据PMSM 转速环的输入和输出，建立转速环超局部模型

式中：α为待设计的q轴定子电流参数；F为系统已知部分及参数不确定部分。

3.4.2 改进型无模型滑模控制器

根据超局部模型[18]式（22），可设计转速环无模型控制器为

联立式（22）和式（23），可得：

将其中转速环反馈控制器设计为滑模控制器，可将无模型控制与滑模控制方法相结合。将IPMSM 转速误差作为状态变量：

联立式（24）和式（25），并且对式（25）进行求导，得

选取滑模面为

式中c为待设计参数，且c>0。

对式（27）求导并将式（26）代入，得：

为提高滑模趋近阶段趋近速率并减小滑动阶段的抖振，选取改进型双幂次组合趋近律设计控制器，因此，联立式（8）、（26）和（28）可得：

为了使所设计控制器具有稳定性，需满足滑模可达条件：

联立式（23）和（29），可得所设计PMSM 矢量控制系统转速环改进无模型滑模控制律：

3.5 ESMDO 设计

由控制律式（32）可知，系统存在未知部分F，因此设计一个扩展滑模扰动观测器对未知部分F项进行观测并补偿。PMSM 扩展超局部模型为

式中R(t)为未知量F的变化率；ζ、δ>0 为待设计参数。

对于式（33）系统设计如下扩展滑模扰动观测器

联立式（33）（34）可得观测误差为

为保证在滑模趋近阶段的性能，趋近律选择指数趋近律：

式中η1、η2>0。

则滑模观测器控制律usmo为

则将式（38）代入式（34），得

将式（40）所得F观测值代入式（32），可得转速环无模型滑模控制律：

综上，可得到PMSM 系统无模型改进滑模控制器如图1所示，控制器中反馈控制器uc由引入了改进后的双幂次组合趋近律的改进滑模控制器（improved sliding mode controller，ISMC）构成，扰动F则由扩展滑模扰动观测器实时观测。

图1 无模型改进滑模控制器Fig.1 Modle-free improved sliding mode controller

4 仿真实验

为了进一步验证 IMFSMC（improved modelfree sliding mode control） 算法的可行性与有效性，通过搭建Matlab/Simulink 模型， 将IMFSMC、MFSMC 以及PI 控制算法仿真结果进行对比验证。

图2 为PMSM 控制框图，表1 为系统仿真与实验使用的电动机参数。

表1 永磁同步电机参数Table 1 Permanent magnet synchronous motor parameters

图2 PMSM 控制结构框图Fig.2 PMSM control structure diagram

4.1 PMSM 在参数摄动下的仿真结果分析

设置电动机初始转矩为 5 N·m，在0.2 s 时转矩增大至15 N·m；设置电动机转子磁链初始值为0.062 Wb，在0.3 s 时转子磁链减小至0.042 Wb；电动机q轴电感在0.4 s 由0.47e-3 H 减小到0.29e-3 H；电动机d轴电感在0.5 s 由0.2e-3 H 减小到0.14e-3 H；电动机电阻Rs在0.6 s 增大至0.035 Ω。

图3～5 分别为PMSM 在参数摄动下IMFSMC 与PI 控制和MFSMC 对比的转速、转矩与d-q轴电流的仿真图。其中，图3 为转速响应对比图，图4 为转矩响应对比图，图5 为d-q轴电流响应对比图。

图3 参数摄动下的转速对比图Fig.3 Comparison chart of the speed under parameter perturbation

图4 参数摄动下的转矩对比图Fig.4 Torque comparison chart under parameter perturbation

图5 参数摄动下d-q 轴电流对比图Fig.5 Comparison chart of the d-q axis current under parameter perturbation

如图3所示电动机速度曲线，可见电动机启动后IMFSMC 的响应速度要优于PI 控制及MFSMC 的响应速度，且不存在超调现象。其中，IMFSMC 的速度曲线仅需0.052 s 趋于稳定，PI 及MFSMC 控制的速度曲线则分别需要0.08 s 和0.06 s 趋于稳定，且PI 控制速度曲线存在0.7%的超调。在0.2 s 转矩增大时，IMFSMC 的速度曲线转速变化最小，仅有0.05 rad/min 的波动，且0.006 s 后重新稳定，相较于其他两种控制方法能更快恢复到稳定值，同时能看出，在0.2 s 时刻转矩变化时，PI 和MFSMC 控制方法分别需0.04 s 和0.012 s 才得以恢复。在0.3 s 转子磁链减小时，IMFSMC 速度曲线同样要优于PI 控制与MFSMC 速度曲线，IMFSMC 速度曲线在波动0.2 rad/min 后经过0.08 s 可趋于稳定，而MFSMC 与PI控制的速度曲线在波动0.8 rad/min 和1.8 rad/min 后分别需经过0.012 s 和0.04 s 才能趋于稳定，效果要次于IMFSMC。在0.4 s 与0.5 s 时q轴与d轴电感突然减小，IMFSMC 速度曲线转速变化变得更小，将其与PI 和MFSMC 两种控制方法的速度曲线波动情况相比较，IMFSMC 的速度曲线几乎没有波动，因此不难看出在转速控制上IMFSMC 比PI 控制和MFSMC 控制方法更加精准稳定。

观察图4 和图5。可以看出，在电动机启动过程中，基于PI 控制方法的转矩与d-q轴电流均不能够及时达到特定的转矩与电流稳定值。转矩在稳定前存在约0.6 N·m 的变化幅度，电流在稳定前则存在约1.5 A 的变化幅度。而且在转矩与电流稳定之后，IMFSMC 的转矩与电流波形的变化幅度要小于PI 控制和MFSMC 的转矩与电流波形的变化幅度。IMFSMC 稳定后的转矩与电流波形的变化幅度分别约为0.7 N·m 和1.5 A，变化幅度最小。PI 控制稳定后的转矩与电流波形的变化幅度分别约为1.5 N·m 和4.5 A，变化幅度最大。MFSMC 稳定后的转矩与电流波形的变化幅度分别约为1.15 N·m 和2.25 A，变化幅度次之。因此可知，无论是在电机启动后还是在电机参数发生变化过程中，IMFSMC 的转矩和d-q电流曲线比PI 控制与MFSMC 的转矩和d-q电流曲线脉动更小、收敛更快并且也更加稳定。

综上所述，在电动机参数发生摄动时，与PI 控制和MFSMC 方法相比较，IMFSMC 具有更强的鲁棒性和更快的响应速度等优点。

4.2 RT-Lab 实验结果分析

最后，利用RT-Lab 半实物仿真实验平台对所提方法的有效性进一步进行实验验证。

图6 为RT-Lab 半实物仿真实验平台配置图，图7a、图7b 分别为IMFSMC 与PI 控制方法在电机参数摄动下的转速和转矩实验波形。图8a、图8b 分别为IMFSMC 与PI 控制方法在电机参数摄动下的d-q轴电流实验波形。

图6 RT-Lab 实验平台Fig.6 RT-Lab experimental platform

图7 转速转矩实验波形Fig.7 Speed and torque experimental waveforms

图8 d-q 轴电流实验波形Fig.8 d-q axis current experimental waveforms

将参数设计及参数摄动时间与仿真实验参数保持一致，通过分析实验结果，对比图7a、图7b 可知，在电动机启动0.05 s之后转速稳定在1 000 rad/min时，IMFSMC 的转速波动仅有±0.004 rad/min，而PI 控制的转速波动为±0.03 rad/min，因此IMFSMC 的速度曲线要比PI 控制方法的速度曲线更加平稳、抖动更小。同样的，在转矩稳定在15 N·m 时，IMFSMC的转矩变化幅度为±0.5 N·m，PI 控制的转矩变化幅度更大，为±1 N·m，所以IMFSMC 的转矩实验波形变化幅度要比PI 的转矩实验波形变化幅度更小，鲁棒性更强。

对比图8a、图8b 的IMFSMC 与PI 控制d-q轴电流实验波形图，d-q轴电流在经过参数摄动并且电流达到稳定之后约0.45 s 时，IMFSMC 的电流变化幅度为±1.25 A，PI 控制的电流变化幅度为±2.5 A。所以IMFSMC 的电流实验波形变化幅度要比PI 的电流实验波形变化幅度更小。从图8 中可以看出，不管在电动机平稳运行时或者是参数发生摄动的情况下，IMFSMC 控制方法在速度、转矩以及电流实验波形方面都要优于传统的PI 控制方法。

5 结论

针对由于外部条件影响所导致电动机参数摄动情况，因此造成的控制系统鲁棒性下降问题，提出一种IMFSMC 算法。并通过数学与实验验证，得出如下结论：1）基于无模型滑模控制，利用改进后的双幂次组合滑模趋近律重新设计滑模控制器，所设计控制器能提高系统稳定性，减小使用传统趋近律时会产生的抖振。2）将ESMDO 与改进后的无模型滑模控制器相结合，利用ESMDO 对无模型控制中的未知部分进行实时估计，能更好地提高电动机系统的响应能力，且ESMDO 对未知部分的精确观测也能提高电动机的控制精度。