例谈求图形阴影部分面积的方法

吴婷

在《整式》这部分内容中，经常会遇到求图形阴影部分面积的问题，所求阴影部分通常为不规则图形，一般由三角形、四边形、弓形、扇形和圆等基本图形组合而成.在解答此类问题时，同学们要从图形中发现解题线索，通过观察和分析，对不规则图形进行分解和组合，然后再进行整式的加减运算，得出最后的结果.

一、分割法

分割法是将不规则图形分割成几个基本规则图形，先用代数式表示出几个基本规则图形的面积，再将规则图形的面积相加，通过整式的加法运算，计算出原不规则图形的面积.

例1  如图1，阴影部分的面积是（    ）.

A.    B.     C.4xy    D.2xy

分析：这是一个不规则的图形，但是，我们发现这个图形可以通过延长线段的方法，把原来不完整的图形分割成两个完整的长方形.这样阴影部分的面積就等于大长方形的面积加上小长方形的面积.

解：如图1，延长线段，把图形分割成两个长方形，

则大长方形的面积为：2y× 1.5x = 3xy，

小长方形的面积为：y×0.5x = 0.5xy，

所以，阴影部分的面积为：3xy+ 0.5xy= 3.5xy，故选A项.

二、补形法

若由于图形不规则造成阴影部分面积直接求解较为困难，可对图形进行合理的填补，将原来凌乱的、不规则的图形整合成一个规则图形，将阴影部分面积转化为几个基本规则图形面积的差来求解.运用整式的减法进行计算.

例2  一家住房的结构如图2所示，房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地板砖，至少需要多少平方米的地板砖？如果这种地板砖的价格为a元/平方米，那么购买地板砖至少需要多少元？

分析：这是一个不规则的图形，阴影部分的面积由三个不同的长方形的面积组成，如果一个一个的去求就会显得很繁琐.但是，我们发现这个图形可以通过延长线段的方法，把原来不完整的图形补成一个完整的长方形.这样阴影部分的面积就等于大长方形的面积减去右上角空白长方形的面积和左上甭空白长方形的面积.

解：如图2，延长线段，把图形补成一个长方形，则右上角空白长方形的长为2y，宽为2x，左上角空白长方形的长为y，宽为x，

所以，阴影部分的面积为：4x×4y-x×y- 2x×2y = 11冲平方米，

又因为这种地板砖的价格为a元/平方米，所以购买地板砖至少需要11xya元.

三、平移法

平移法也是求解不规则图形面积的一种常用方法.通过对图形的平移，可以使图形的位置发生改变，从而将不规则图形的面积转化为与它等面积的规则图形的面积来进行计算.利用平移解答图形阴影部分的面积问题，首先要把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，也就是列代数式，然后对整式进行运算与化简.

例4  （1）图3和图4是两个长和宽分别相等的长方形，两个图形中的阴影部分的面积的大小关系是______，用含a，b，c的代数式表示一个图形阴影部分的面积是______.（2）结合以上结论，推断图5中阴影部分的面积分别是______.

分析：（1）利用平移可把图4变形为图3，则可判断两个图形中的阴影部分的面积相等，然后利用大矩形的面积减去空白矩形的面积即可得到阴影部分的面积；（2）利用平行四边形的面积公式，可把图5转化为图4，阴影部分的面积不变，然后再转化为图3进行计算.

解：（1）两个图形中的阴影部分的面积相等，都是 ab - （a-c）（ b - c） = ac + c2;

（2）图5中阴影部分的面积是ac +bc-c2. 故答案为⑴相等，ac+bc-c2;

（2）ac + bc - c 2.

四、整体和差法

整体和差法是一种着眼于整体的解题方

法.对于一些结构复杂的图形，同学们要善于观察，分析出不规则图形是由哪些规则图形组合而成的，进而把分散的不规则图形重新组合成规则整体，再利用组合后规则图形面积的和或差来求得阴影部分的面积.

例5  如图6，已知正方形的边长为a，以各边长为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（    ）.

分析：通过观察得知阴影部分的面积等于4个半圆面积戒去正方形面积，再由正方形边长为a可列出代数式.

解：图6中各部分面积表示名称，如图7 所示，

∵S阴影=S1+S2+S3+S4，

4个半圆的面积是（S1+S2+S5）+（S2+S6+ S3）+（S3+S7+S4）+（S1+S8+S4）=（S1 +S2+S3+S4）+ （S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8），

正方形的面积=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8

∴S阴影=4个半圆的面积-正方形的面积

正方形的边长为a，且a为半圆的直径

∴S阴影=4×1/2π×-a2=a2-a2.

故选B项.

求阴影部分的面积问题形式多种多样，解题的关键在于通过对图形进行割补、平移，或将分散的图形整合集中，从而将不规则的图形转化为我们所熟悉的规则图形来求解.