核心素养视域下的拓展课设计研究——以“直线的轴对称和平移”为例

俞宏毓,尉劲松,胡 松,程一帆,4

(1.南京信息工程大学 教师教育学院,江苏 南京 210044;2.绍兴市柯桥区兰亭中学,浙江 绍兴 312041;3.南京市第二十九中学初中部,江苏 南京 210029;4.江苏省启东中学,江苏 南通 226200)

一、问题的提出

发展学生的核心素养是基础教育课程改革的主要导向。近五年国内数学教育界涌现出众多关于数学核心素养的研究,而如何发展学生的核心素养是其主要议题之一。“数学课堂教学是学生核心素养的形成和发展的主要载体”[1]246,改进课堂教学是培养学生数学核心素养的关键。关于如何改进课堂教学以发展学生的核心素养,喻平曾进行教学设计与实施研究并提供了很多典型的案例[2]。

拓展课是最近十年盛行的一种新课型,它强调对教材内容进行扩充、开拓、扩展、延伸和展开,以促进学生数学核心素养的发展。拓展课一般没有可参考的教材,对教师的学科功底、设计能力及教学水平都有较高的要求。通过对一些拓展课的课堂观察及研究发现,目前拓展课设计及教学存在一些问题,如有的拓展课缺乏目标性,盲目延伸和拓展,超出学生的能力范围,且拓展后没有原理或方法上的归纳和总结。目前关于拓展课的研究虽然涉及各个学段各个学科,但数量不多。已有相关研究成果主要出自一线教师,内容集中在拓展课的开发、拓展课设计与实施和拓展课教学案例三个方面。比较典型的研究如浙江省温州市温州大学城附属学校陈加仓的系列研究,其中有很多典型的小学数学拓展课案例[3]。为进一步研究如何设计好拓展课以促进学生数学核心素养的发展,课题组于2019年12月以“直线的轴对称和平移”为教学主题在浙江省绍兴市柯桥区KY中学进行了教学研究活动,下面对此予以介绍并作相关阐述。

二、研究概况

(一)参与人员与研究对象

浙江省绍兴市柯桥区KY中学目前有50个班级、150多名教职工,是一所浙江省示范初中,在浙江省有较高的知名度。参与该教学研究活动的专家有两位,一位是某重点大学从事数学教育研究的教师YHY(副教授,博士),另外一位是绍兴市柯桥区某中学校长YJS(中学高级教师,教学经验丰富)。YHY的四名数学教育方向外籍硕士研究生也参与了本次教研活动。本次教学实验的两位执教者即教师Z和教师Q均为数学与应用数学专业本科毕业,教龄分别为12年、7年,均为中学二级教师,属于经验教师。本次实验班级为八年级四个平行班,各班学生学习基础相当[4]。

(二)研究材料

“直线的轴对称和平移”是“一次函数的图象”的拓展课。该校使用的是浙江教育出版社2013年版教材,“一次函数”安排在八年级上册第5章。在第4章“图形与坐标”中,已经学过“坐标平面内图形的轴对称和平移”,该部分主要涉及的是“点的轴对称和平移”。

(三)研究思路和过程

“直线的轴对称和平移”是“点的轴对称和平移”内容的延伸和拓展,实验目的即通过拓展课的学习使学生实现从点的轴对称和平移到线的平移和轴对称的延伸,初步掌握函数图象的对称与平移规律,为二次函数以至高中函数图象的对称与平移学习打下基础。这在一定程度上可以促进学生抽象能力、几何直观、推理能力、创新意识等核心素养的发展。

整节课主要有两部分内容:从点的轴对称延伸到直线的轴对称、从点的平移延伸到直线的平移。根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的“教师要发挥主导作用,处理好讲授与学生自主学习的关系,引导学生独立思考、主动探索、合作交流”[5]的教学理念,教师教学可以通过复习点的变换,引导学生探索直线的变换。从点的轴对称延伸到直线的轴对称可以通过复习点的轴对称、找点确定直线、通过点的坐标确定直线的方程,找点是找特殊的点,对于直线来说一般是与对称轴的交点。而直线的平移可以让学生自主探索,首先是直线的上下平移,学生可能会出现两种思路:第一种思路是类比直线的轴对称,通过平移后特殊点的坐标来求直线方程;第二种是根据平移直接改变原直线方程中的b值。教师需要指出这两种方法的原理是一致的,都是由点延伸到线,而且平移所得直线与原直线是平行关系k值相等,所以由点坐标来求只需要一个点。直线的平移也可看作左右平移,可以简单处理。为加强学生对图象变换问题的理解、拓展学生的思维,教学不应局限于点和直线变换,应在最后总结函数图象变换的通用规律。

(四)研究过程

教学活动采取的是简化的行动教育模式,简化了第二阶段,首先是教师原生态的第一次执教,第一次课后基于课堂观察的结果进行课后研讨,教师根据研讨的结果改进教学设计,然后针对改进的教学设计进行第二次研讨,教师再次修改教学设计后第二次执教[6]。为验证教学改进的结果,对学生进行前后测(测试题由专家YHY和YJS共同设计修订,并在正式使用前已选取部分学生进行过预测)。两次课堂教学及课后的研讨会议都进行了全程录像,两次课均对学生进行前、后测,收集了学生的课堂作业单、教师的教学设计及课件等数据资料。

(五)数据分析方法

运用录像带分析法对课堂教学和研讨会议进行了分析。对于学生测试卷、课堂作业单,首先做了量的统计,然后进行了质的分析。对教师的教学设计及课件进行质性分析。数据统计工具是Excel2007。

三、结果与分析

两位教师的原生态教学(即第一次课)主要为灌输式教学,执教者完全没有领会本实验的意图。经专家指导,两位教师的教学设计及课堂教学均发生了质的改变,教学重点落在了从点的变换延伸到图形的变换上,尤其教师Z真正实现了从灌输到引导学生探究的转变。下面以教师Z的教学为例,分析两次课教学理念及行为的变化并对测试结果进行分析。

(一)教师Z两次课堂教学比较

分析教师Z两次课堂教学录像发现,教师Z前后两次课在教学理念、主要教学内容和具体教学行为方面均有改变(表1和表2)。

1.教师Z两次课概况。从教学内容来看,第一次课仅涉及直线的平移,综合练习用了较多的时间。第一次课后研讨,两位专家指出本节课的重点是从点的变换延伸到直线的变换,关键在于对图象变换原理的理解,不需要太多的练习,而相对简单的轴对称内容可以放在一节课。第二次课,教学分别从点的轴对称延伸到直线的轴对称、点的平移延伸到直线的平移,最后安排了综合练习。

表1 教师Z两次课主要教学环节及用时

表2 教师Z两次课教学行为变化

表2 教师Z两次课教学行为变化(续)

2.教师Z第一次课教学行为。从教学行为来看,在第一次课上无论是直线的上下平移还是左右平移,都是通过具体实例来归纳平移的方法、推出平移公式(图1至图3),貌似有数与形的结合且经历了由具体到抽象的过程,但归纳的过程中仅限于数值的比较和公式的变形,没有充分利用点的轴对称和平移原理来解释直线的轴对称和平移,教学以教师传授为主且强调机械记忆,如左右平移让学生记住“左加右减”口诀。下面为左右平移小部分教学片段,从中可以看出教学过程中学生完全被教师牵着鼻子走而没有进行深入的思考。

图1 第一次课直线的平移公式推导 图2 第一次课直线左右平移的推导(1)

师:我要求是左右平移,把直线l向左平移到m这条直线,又该如何平移?把l平移到m,你觉得平移几个单位长度就可以了?

(学生没反应)

师:看不清吗?好,我们可以再来看看这几个点,你看看这几个点有什么异同?(边说边用手指图2上直线与x轴的交点)

(学生仍然没反应)

师:与谁的交点?

生:x轴。

师:与x轴的交点,你看移动了几个单位长度?

生:1个。

师:好,所以l到m只要移动几个单位长度就可以了?

学生:1个。

师:好,照这个样子,大家再想想右边这个要移动几个单位长度?(手指图2中最右边的直线)

生:2个。

师:正确。依此,左移1个单位长度得到y=2x+4,右移2个单位长度得到y=2x-2。根据这两个式子的变化,大家看看能否找到并说出左右平移的规律。

图3 第一次课直线左右平移的推导(2) 图4 第二次课求轴对称直线图形

3.教师Z第二次课教学行为。指导改进后的第二次课,教学逻辑非常清晰,首先通过求直线的函数解析式复习待定系数法,为用待定系数法求直线的函数解析式做好铺垫。从点的轴对称延伸到直线的轴对称环节,首先师生共同复习关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系,然后教师引导学生由点的轴对称过渡到直线的轴对称。下面为教师引导学生由点的轴对称过渡到直线的轴对称的片段,教师在教学中注重数与形的结合,从点延伸到“图形”也比较自然,对称直线让学生动手画图探究。轴对称直线的函数解析式也由学生求出,师生共同总结步骤。

师:做题时,可以记口诀,也可以通过图形找出两个对称点的坐标。对于对称图形,除了点的对称,当然还有图形的对称。这里有一条直线AB,你能画出直线AB关于y轴对称的直线吗?你会怎么画?

生:作B关于y轴的对称点,对称点坐标是(-2,0),A点的对称点是它自己(0,3)。

师:一条直线的对称,我们可以先画一个点(B)的对称点,确定一条直线需要两个点,另外一个点是A的对称点,通过A、B两个点的对称点,就画出了AB关于y轴对称的直线。由此可见,一个图形的对称,我们往往把它看成是(特殊)点的对称。事实上,直线AB上的每一个点和它对称直线上的每一个点都关于y轴对称,直线的对称可以看成无数个点的对称,直线的确定需要两个点。

从点的平移延伸到直线的平移,第一步也是复习点的平移(图5),然后过渡到直线的平移。首先让学生作出上下平移后的直线,要求学生用一种以上的方法求出平移后直线的解析式。学生出现由平移后两个点的坐标求解析式和直接改变原直线解析式中b的值两种方法,教师适时对两种方法进行总结,如下为对两种方法总结点评的环节。

图5 第二次课复习点的平移课件 图6 第二次课求平移直线图形

师:下面回顾一下直线平移以后的函数解析式,我们是怎么做的?

生:第一步,先求两个点;第二步,求平移后的点;第三步,待定系数法。

师:这个思路和轴对称差不多。两直线平行,k如何?

生:k相等。

师:那么刚刚这道题,我们还需要代入两个点吗?

生:不用,只需要代入一个点就可以了。

师:有没有其他方法呢?

生:直线向下平移几个单位,就给b减去几个单位;向上平移,就给b加上几个单位。

师:你是怎么知道的?

生:因为点上下平移几个单位,纵坐标就加减几个单位,所以直线上下平移后y的值就加减。

师:两种思路都是由点的平移得出直线的平移,第一种思路是通过求平移后点的坐标来确定直线,第二种思路是根据平移原理直接求平移后的解析式,后者更简洁。

课堂小结环节,除师生共同总结求对称和平移变换后直线的思路和方法外,教师最后点出“其实不仅是直线,其他图象的变换问题也类似,都可以根据点的变换来求得”。教师最后这句总结性的话,成功地将问题拓展至一切函数图象的变换问题,发散了学生的思维。

(二)测试与结果分析

1.前测与学情分析。因为本节课是“直线的轴对称和平移”拓展课,设计思路要从点的变换拓展延伸到直线甚至其他图形的变换。首先需要考查学生关于点的变换的掌握情况,同时也需要考查学生对直线的轴对称和平移的了解程度,因此设计了如下七道前测试题:第1题根据坐标求点的对称关系,第2题根据对称求出点的坐标,第3题和第5题都是根据平移求点的坐标,第4题是点的对称和平移的综合运用,第6题和第7题是根据直线的解析式写出直线的平移或对称关系。

四个实验班总共122名学生,前测结果如表3所示。从前测结果来看,学生关于点的变换掌握情况较好,一般情况下不仅点的对称和平移正确率都在85.00%以上,且点的对称与平移综合变换以后正确率也在85.00%以上。而第3题将线段放到直角坐标系内,让学生自己找到点的坐标来确定平移关系,然后求一个用字母表示的任意点C(a,b)平移后的坐标问题,正确率则只有66.39%。不会做的题,学生要么空白,要么出现如图7所示的情况。还有一些采用如图8所示求出直线方程来做的,虽然结果对了但是走了弯路。这些都表明学生习惯解决确定性问题,在解用字母表示的任意点问题时存在一定的困难。由两直线解析式写出平移相对简单,比较两直线解析式容易得出结论,正确率比较高。第7题由两直线解析式写出对称不是那么明显,如果画出图象则比较容易看出,但通过画简图来确定两直线位置关系的仅有2人,说明学生没有数形结合的意识,这跟教师平时教学忽视数形结合有关。

表3 前测情况统计

图7 前测试卷剪辑1

2.后测及教学效果分析。为验证本次实验的效果,设计了后测试卷,共有7题。其中前三题为简单的直线平移和对称问题,第4题和第5题为复杂的直线平移和轴对称问题。为考查本节课对后续学习的影响,另设计了二次函数图象的简单平移和对称问题、简单的分段函数轴对称问题。后测结果从以下三个方面展开分析,从中可以看出,两位教师改进前后两次课的效果都发生了改变。

(1)简单的直线平移和对称问题。表4为简单的直线平移和轴对称问题正确率统计。简单的直线平移和轴对称问题,两位教师改进前后的两次课正确率都大幅度提高,差异显著。

图8 前测试卷剪辑2

表4 简单的直线平移和轴对称问题正确率 %

(2)复杂的直线平移和对称问题。表5所示,学生对于复杂的直线平移和轴对称问题的回答的正确率,两位教师改进后的课比第一次课显著提高:关于“求经平移和对称两次变换的直线”,教师Z由第一次课的17.39%提高至第二次课的51.43%,教师Q由第一次课的33.33%提高至38.71%;关于“求关于直线y=1对称的直线”,教师Z由第一次课的0提升至17.14%,教师Q由33.33%提升至58.06%。

表5 复杂的直线平移和轴对称问题正确率 %

(3)对后续内容的影响。两次课后续内容的正确率(表6)表明,改进前后两次课对后续学习的影响是不一样的,无论是二次函数的图象变换还是求分段函数的轴对称函数,改进后的课学生都受到了更好的启发。如图9为后测试卷剪辑,掌握了方法和规律,学生对完全陌生的二次函数、分段函数的简单变换问题都可以解决了。

表6 后续内容正确率 %

图9 后测试卷剪辑

四、结论与建议

(一)教学设计与改进是促进学生核心素养发展的有效途径

数学核心素养不是学生数学学习的必然产物。核心素养是日积月累、自己思考的经验的积累,其形成依赖学生参与其中的教学活动、依赖学生的感悟与思维。全盘灌输和机械训练等教学方式不利于学生核心素养的发展。在这样的教学方式下,学生通常会死记硬背和生搬硬套,对教学内容的理解和把握往往也是片面或不正确的,所形成的技能也是死板的,相应的数学能力很难形成,伴随认知过程产生的情意大多也是消极和负面的[1]63。而灌输和机械训练等问题教学在中小学数学课堂中不仅长期存在而且屡见不鲜,如“长方形和正方形的面积与周长”实验中教师的机械训练和“就事论事”的片面教学,“面积与周长的关系”和“一元一次方程的解法”实验中教师的全盘灌输。但是,这些教学经成功设计和改进后都发生了本质的转变,教学效果差异显著[7-9],也就是说,教学设计与改进是促进学生数学核心素养发展的一个有效途径。本实验同样也说明了这一点。经指导改进后,教学成功地实现了从点的变换到图形的变换的迁移和拓展,学生也经历了思考和探索的过程。

(二)拓展课的设计与教学有章可循

拓展课是由执教教师自行选材并设计,必须要对教材内容进行扩充和拓展,一般无现成的教材和参考资料,因此对教师要求较高。拓展课的设计及教学只有把握正确的原则和方向,才不容易出现问题。

拓展课的设计首先要做到有的放矢。以教材为纲,教学目标要非常明确,这样才不容易出现教学内容随意化、教学要求把握不准、教学目标偏离等现象。本实验设计的目的非常明确,使学生实现从“点的变换”延伸拓展至“图形的变换”,经历参与教学活动、动手实践和思考探索的过程。

拓展课的难度要适宜。拓展课要求宽于教材和高于教材,但这个宽和高是有限度的,要考虑学生的思维水平和可接受能力。实际教学中,很多教师的拓展课容易出现难度过大的问题。理想的拓展课难度应该在学生的最近发展区内或者稍微超出学生的最近发展区。教师在设计拓展课时,要充分了解学情、考虑学生的可接受范围。本次实验,在“点的变换”的基础上拓展至“直线的变换”,而且适当延伸至“其他图形的变换”,这些均在学生可接受范围内。

拓展课教学应该是教师引导下的学生探究。拓展课因为是对教材内容的延伸和拓展,因此和探究课一样具有探索性和挑战性。实际教学中容易走极端,会出现教师全盘灌输或学生摸索迷失方向的情况。理想的拓展课应该是教师恰当引导下的学生的有效探究。教师如何做到恰当引导,需要其在教学实践中不断摸索。如在本实验的改进后的第二次课上,两位教师通过一连串启发式的提问引导学生由“点的变换”延伸至“直线的变换”,然后师生共同解决“直线的轴对称”问题,而“直线的平移”则由学生自己探索后点评。

(三)数与形的结合任重而道远

致谢!本研究得到绍兴市柯桥区柯岩中学的支持。