基于经验模态分解的直驱进给轴热误差组合预测*

□ 陈茂雷 □ 项四通 □ 李 浓 □ 刘永荣

1.宁波大学 机械工程与力学学院 浙江宁波 315211 2.宁波德凯数控机床有限公司 浙江宁波 315211

1 研究背景

直线电机驱动的进给轴能够实现直接驱动,具有精度高、速度快、效率高等优点[1,2]。然而,直驱结构会产生严重的热误差,导致进给轴的定位精度降低[3],因此有必要建立热误差预测模型。

目前学者们主要将滚珠丝杠系统作为热误差研究的重点[4-5],针对直驱进给轴热误差进行的研究则比较少。Kim等[6]在研究中测量全直驱三轴机床的热误差,并结合有限元法确定各轴的热误差构成要素和误差分配量。Uhlmann等[7]采用有限元方法模拟直驱高速切削加工中心的热行为,并且预测热误差。林献坤等[8]分析双直驱进给轴热误差产生的原因,并提出一种基于潜变量回归的热误差识别模型。Liu Shengsen等[9]提出一种基于改进贝叶斯神经网络的直驱进给轴热误差建模方法,以解决传统神经网络收敛速度慢、欠拟合等问题。然而,热误差具有时变特点,纯静态模型不能完全反映热变形过程[10],因此以上单项模型的预测精度难以控制,鲁棒性较差。

为解决单项预测模型存在的问题,一些学者提出热误差组合预测方法。林献坤等[11]提出一种核偏最小二乘法和模糊逻辑相组合的直驱进给轴热误差在线补偿方法,但并没有对实时采集的温升数据进行预处理,导致模型稳健性较差。Abdulshahed等[12]提出一种灰色系统理论和神经网络相结合的机床热误差建模方法,将原始数据转换为单调序列数据,以降低数据的随机性。Liu Jialan等[13]分析主轴系统热误差产生的机理,建立变分模态分解、灰度算法、长短期记忆神经网络相组合的预测模型,但这一模型忽略了高低频数据的影响,预测的准确性受到限制。

基于上述问题,笔者将直驱进给轴作为研究对象,建立基于经验模态分解的热误差组合预测模型。经验模态分解可以将温升序列分解并重构为频率不同的分量,根据分量的频率特征,分别使用长短期记忆神经网络、支持向量机、自回归滑动平均模型进行训练,并选择合适的权重进行组合。与其它单项预测模型相比,这一组合模型能够自适应对温升数据进行预处理,识别能力更强,预测精度更高。

2 直驱进给轴结构

直驱进给轴结构如图1所示,直线电机结构如图2所示。直驱进给轴由基座、导轨、运动平台、直线电机组成。与传统滚珠丝杠进给轴相比,直驱进给轴结构更加简单。直驱进给轴的运动平台与直线电机的初级连接,因此不需要转换电机的运动方式,就能在导轨上直接实现往复运动[14]。由于这种特殊的直驱结构,导致电机产生的热量会直接影响到直驱进给轴的定位精度。

▲图1 直驱进给轴结构▲图2 直线电机结构

3 经验模态分解

假设xi为第i个时间点测得的直驱进给轴温度,那么温升时序X可以表示为{x1,x2…xi…xn}。经验模态分解的具体步骤如下。

(1) 找出原温升序列X的所有极大值点和极小值点,分别用三次样条函数拟合为上下包络线,并计算平均包络线m。

(2) 将原温升序列X减去平均包络线m,得到新的序列h。考察h是否符合以下两个条件:① 序列的极值数和过零点数相等或相差1;② 序列的上下包络线局部对称。如果符合,那么h为一个本征模分量,记为Ci。如果不符合,那么用h代替前述的X,重复步骤(2),得到新的h,直至找到符合要求的新序列。

(3) 将原温升序列X减去已经得到的本征模分量Ci,得到Ri,为:

Ri=X-C1-…-Ci

(1)

(4) 用Ri替换前述的X,并且不断重复步骤(1)至步骤(3),直至Ri是一个不能继续分解的单调序列。于是有:

(2)

式中:Cj为从原温升序列X分解出的本征模分量;Rn为剩余分量。

经验模态分解方法的处理过程是完全自适应的,能将时序信号分解为多个具有不同频率特征的分量,使信号序列平稳化。

4 游程判定重构法

如果分解后的项数较多,不做任何处理直接预测,那么工作量和预测累积误差会很大。对此,可以考虑运用游程判定重构法将子序列C1至Cn重构。游程判定重构法能很好地反映各分量的波动程度和规律,并根据它们的波动程度选择合适的项数,将频率相似的分量分别叠加重构为高频项、中频项、低频项、趋势项。

5 热误差组合预测模型

组合预测指对各个单项预测模型得到的结果赋于不同的权重,进而组合为一个新的预测模型。假设某个问题可用k个预测模型预测,那么它们的组合预测模型可表示为:

f=∑(wifi)

(3)

式中:wi为单项预测模型的权重,一般可选用等权重法、最小方差法等;fi代表单项预测模型。

组合预测能够充分发挥各种预测方式的优势,从不同的角度挖掘出温升序列的内在信息,减少总体预测的不确定,提高热误差的预测精度。根据重构项的不同波动特征,选用长短期记忆神经网络、自回归滑动平均模型、支持向量机相组合的模型。

5.1 长短期记忆神经网络

长短期记忆神经网络是一种考虑时间序列影响的循环神经网络[15],由输入门、输出门、遗忘门组成,可以通过它们来控制历史信息对当前信息的影响程度,公式为:

ft=σg(Wfxt+Rfht-1+bf)

(4)

it=σg(Wixt+Riht-1+bi)

(5)

gt=σc(Wgxt+Rght-1+bg)

(6)

ot=σg(Woxt+Roht-1+bo)

(7)

ct=ftct-1+itgt

(8)

ht=otσc(ct)

(9)

式中:t代表时刻;ft为遗忘门;it、gt为输入门;ot为输出门;Wf、Wi、Wg、Wo为xt的权值矩阵;Rf、Ri、Rg、Ro为ht-1的权值矩阵;bf、bi、bg、bo为偏置因子;σg为sigmoid激活函数;σc为tanh激活函数。

遗忘门决定保留多少上一时刻的信息,输入门对输入信息进行筛选。

直驱进给轴热变形是动态的,其热误差不仅取决于当前的热环境,而且受之前热特性的影响。因此,长短期记忆神经网络非常适合这种动态模型的预测。笔者建立三层长短期记忆神经网络热误差预测模型,模型的输入为t时刻直驱进给轴的温升序列集合、环境温度T、位置y、运行速度v,输出为t时刻相应位置的热误差。长短期记忆神经网络结构如图3所示。

▲图3 长短期记忆神经网络结构

5.2 自回归滑动平均模型

自回归滑动平均模型是一种常用于平稳时间序列的预测模型[16],公式为:

xt=φ1xt-1+…+φpxt-p+εt-θ1εt-1-…

-θqεt-q

(10)

式中:p、q为自回归滑动平均模型的阶数;εt为白噪声序列;φp为自回归因数;θq为滑动平均因数。

当p为0或q为0时,自回归滑动平均模型分别为自回归模型和滑动平均模型。

模式识别和参数辨识是自回归滑动平均模型建立的关键问题,具体步骤如图4所示。

▲图4 自回归滑动平均模型步骤

计算序列的自相关因数和偏自相关因数,确定自回归滑动平均模型的特性,见表1。接着根据赤池信息定阶准则,计算出模型阶次。

表1 自回归滑动平均模型特性

确认模型结构后,可利用最小二乘算法和长自回归计算残差法辨识自回归因数和滑动平均因数。

5.3 支持向量机

支持向量机是一种机器学习方法,相较于神经网络,支持向量机具有更好的泛化和推广能力,适用于小样本数据[17]。

支持向量机用于预测时,通过一个非线性映射φ,将给定的训练集X从原空间映射到更高维空间,构造最优线性回归函数,公式为:

(11)

式中:w为权重;b为偏置因子。

根据风险最小化原则,选择风险函数J对式(11)中的参数进行估计。

(12)

式中:ξi为误差变量;c为正规化参数;n为样本总数。

最后可得预测结果为:

(13)

式中:αi为拉格朗日乘子;K(x,xi)为核函数。

支持向量机核函数的种类很多,笔者选择最常用的高斯核函数。

5.4 权重确定

模型权重的确定是组合预测的关键问题,选择最小方差法来确定模型的权重,公式为:

(14)

上述组合预测模型的结构如图5所示,将温升序列分解重构为不同的频率项,并使用组合预测模型进行预测。

▲图5 组合预测模型结构

6 试验验证

6.1 数据获取

以宁波某公司生产的MT140直驱进给轴为例,建立热误差模型,试验现场如图6所示。

▲图6 试验现场

直驱进给轴属于开放式结构,电机产生的热量会直接影响其它部件,尤其是导轨。对此,选择在导轨的首、尾和中间处分别布置三个Pt100热电阻,如图7所示。为更直观地反映直线电机的温度变化,在电机次级布置一个热电阻。利用MIK-R6000C记录仪实时记录热电阻的温度,测量结果如图8所示。

▲图7 热电阻布置

▲图8 温度测量结果

使用SIOS SP120激光干涉仪测量直驱进给轴的定位误差,测量结果如图9所示。MT140直驱进给轴的工作范围为0～800 mm,因此选取50 mm作为测量间隔。首先测量初始状态的定位误差,然后使直驱进给轴在工作范围内往复运动20 min、50 min、80 min、110 min、170 min、230 min后测出定位误差。将定位误差减去初始误差后,即可分离出热误差。

▲图9 定位误差测量结果

6.2 温升数据预处理

为满足模型的训练要求,需要获取足够多的测试数据。可以分别在不同速度和室温下重复上述试验,分30 d完成。将30组测数据按8∶1∶1分为训练集、验证集、测试集。

测得的温升数据需要经过经验模态分解,分解为不同频率的序列,以图8中的温升曲线x4为例,经验模态分解结果如图10所示。

▲图10 x4经验模态分解结果

高频项、中频项是波动范围在0.05 K以内的平稳噪声,可以认为这两项温度序列是由热电阻和温度记录仪的测量误差引起的,选用长短期记忆神经网络对高频项和中频项进行预测。低频项波动较小,可以认为是由环境变化引起的,选用支持向量机对中频项进行预测。趋势项是一条平稳的光滑曲线,剔除了仪器测量误差和环境变化的影响,能直观反映直驱进给轴的温度变化,选用自回归滑动平均模型对趋势项进行预测。

6.3 预测精度分析

将训练集输入组合预测模型,完成训练、验证、测试。测量结果和模型预测结果如图11所示。结果表明,预测曲线拟合光滑,并且很逼近实测曲线。

▲图11 测量结果和模型预测结果

模型的预测精度可以通过均方根误差QRMSE和拟合优度R2来表示。均方根误差越小,拟合优度越接近1,表示模型的预测精度越高,拟合优度越好。具体公式为:

(15)

(16)

模型预测均方根误差如图12所示。在直驱进给轴的行程内,模型预测的均方根误差范围为0.4～1.4 μm,具有较高的预测精度,能有效预测热误差。模型预测拟合优度如图13所示。经过多层组合训练后,模型具有较好的拟合优度,能自适应调整线性和非线性区间,可准确反映热误差变化的全过程。

▲图12 模型预测均方根误差▲图13 模型预测拟合优度

将同样的数据集输入自回归滑动平均模型和长短期记忆神经网络中进行预测,预测的精度对比见表2。结果表明,与普通单项预测模型相比,笔者提出的组合预测模型拟合优度更好,预测精度更高,充分证实了基于经验模态分解的直驱进给轴热误差组合预测模型的有效性。

表2 预测精度对比

7 结束语

以MT140直驱进给轴为研究对象,提出基于经验模态分解的直驱进给轴热误差组合预测模型,通过试验验证了模型具有较高的预测精度。

经验模态分解和游程判定重构法能够自适应地将温升序列分解重构为若干频率不同的分量,根据重构项不同的波动特征,可以分析温升序列的组成和特性。

基于经验模态分解的组合预测模型有较好的拟合优度,预测精度达到90.25%以上,最大均方根误差能够控制在1.4 μm以内,适用于直驱进给轴的热误差预测。

相较于单项预测模型,组合预测模型能够从不同角度去挖掘温升序列的内在信息。经过多层组合训练后,模型能够自适应调整线性和非线性区间,准确反映热误差变化的全过程。