稀疏度自适应匹配追踪的欠采样BTT信号重构方法

张继旺, 唐 雨, 丁克勤, 张 旭, 陈 光

(1.中国特种设备检测研究院,北京 100013; 2.中国石油西南油气田分公司 安全环保与技术监督研究院,成都 610000)

高速旋转叶片是航空、电力、石化等行业关键动力设备的核心部件,一旦发生失效断裂将导致灾难性后果,因此对其运行状态进行监测与分析具有重要意义[1]。传统的旋转叶片检测监测方法主要通过在叶片表面粘贴应变片法来测量其变形及振动状态,但该方法存在安装复杂、在线测试难、寿命短的不足[2]。近年来叶尖定时技术的提出和发展为解决高速叶片的在线监测提供了一条可行的方法,已成为领域的研究热点[3]。该技术是利用安装在旋转叶片端部设备机壳上的传感器来记录叶片到来时刻,并通过对这一系列的到达时刻进行分析处理来间接获取叶片振动状态的方法[4-5],由其测量原理可知,每个叶片在旋转一周内单个传感器仅能测的一个振动值,叶片振动频率又远大于设备转频,这就导致所测取的数据属于严重的欠采样信号,成为限制了该技术应用的关键因素之一。

目前针对叶尖定时信号的处理方法有速矢端迹法、多传感器均布法、差频法、“5+2”分布法等[6-7],其中,矢端迹法要求不断改变转速进行采样,因此无法适用于实际测量中;多传感器均布法、差频法和“5+2”需要安装的传感器数量较多,且这些方法均需借助先验知识才能最终确定叶片振动频率大小,从而限制了应用范围。上述研究均为对叶片振动频率参数进行辨识的方法,而目前对叶尖定时时域信号开展的研究较少,公开文献仅调研到天津大学提出了采用B样条插值法的叶片振动信号恢复算法,但由于核函数的选取及相关系数如何准确确定依然是一个难题,同时该方法恢复结果有一定不可忽略的误差,难以满足叶片振动状态参数准确辨识的需求[8]。

针对传统叶尖定时信号处理方法中存在的不足,近年来稀疏重构理论为其提供了新思路,拟通过该理论利用所采集的欠采样信号恢复出满足采样定理的时域信号,解决因信号欠采样带来的信号分析难题。同时论文针对实际测量中稀疏度不确定性问题提出了稀疏度自适应的匹配追踪(sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)算法对传统的稀疏重构算法进行改进,提高重构的效果。

1 基于叶尖定时的欠采样信号分析

1.1 叶尖定时测量法的基本原理

叶尖定时法是一种非接触式的叶片振动测量方法,其本质是通过记录旋转叶片通过静止安装在机壳上传感器的时间间隔,并将其转化为叶尖振动位移来实现对叶片振动量的测量[9]。基于叶尖定时的叶片振动测量系统示意图,如图1所示。

图1 叶尖定时技术原理示意图

将若干个定时探头(如图1中的S1,S2和S3)安装在叶尖外围的机壳上,通过记录叶片端部通过时的时间信息(如图1中测量信号的脉冲信号序列),如图1中的脉冲信号,当叶片一旦发生振动,则旋转叶片每圈通过这些传感器所需的时间将会产生变化,从而产生一系列的时间差值序列{Δt1,Δt2,Δt3,…},通过对这些时间差序列进行处理,即可得到对应叶片的振动信息。图1中的SZ是转速同步传感器。设叶片的到达时刻与无振动时叶片的到达时刻的差值为Δt,转速为Ω,则可得叶片的振动位移y为

y=Ω·Δt

(1)

由叶尖定时技术的测振原理可知,单个叶尖定时传感器的系统采样频率即为叶片的转频,由于此类设备结构的限制,旋转叶片外围机壳一般无法安装过多传感器,但叶片振动频率又远高于其转频,所测得的叶尖定时信号的采样频率远小于叶片的振动频率,无法奈奎斯特采样定理要求,所获取的信号属于严重的欠采样信号。如果直接对这些欠采样信号进行时频变换,所得到信息仅为叶片真实振动频率的差频信号,难以得到叶片的真实振动信息。如果能利用这些少量的欠采样信号在时域进行重构,还原出满足采样定理要求的叶片振动信号,再进行相关分析处理,将能够准确获取叶片振动信息,从而实现叶片振动状态的判别。

1.2 基于叶尖定时的欠采样模型

为了更直观表示叶尖定时技术的采样原理,用数学模型对采样过程进行描述,旋转叶片的振动模型的可视为多个单自由度简谐振动的组合[10],用余弦函数表示为

(2)

式中:A,f,φ和C分别为振幅、频率、初始相位和系统偏移常数;Q为振动的总阶次;fi为第i阶次叶片振动的频率。

由叶尖定时采样原理可知,系统在单位时间内可采集到每个叶片的振动位移点与所布设的传感器数量成正比。以叶片一阶振动为例,结合工程实际假定旋转叶片转速为6 000 r/min,振动频率为800 Hz,振幅为1 mm,初始相位为0。那么叶片完整的振动波形,单传感器、2均布传感器和3均布传感器采样点如图2所示,因同步振动会导致所采样的信号点重复,不在本文讨论范围内。

图2 叶尖定时采样原理示意图

由图2也可以看出,当叶片完成若干振动周期时叶尖定时传感器才能采集到一个叶片振动值,且采集点数随传感器数量增加而成倍增加,因此尖定时信号是属于严重的欠采样性。且采样频率由叶片旋转速度和传感器数量共同决定,难以满足采样定理的要求。

2 基于稀疏重构的叶尖定时信号处理方法

2.1 稀疏重构基本理论

与传统的Nyquist采样定理要求不同,稀疏重构的核心思想是直接采集信号的有效信息y(设数据长度为M),而不是必须满足采样定理得到的完整信号s(设数据长度为N),这样就可降低采样率,且打破了采样定理的要求,即M≪N。由于一维信号的实质就是一组一维向量,由线性代数可知,可以将其表示为一个特征向量和一个矩阵的乘积,这个过程可以用图3来表示[11]。图3中:Φ称为测量矩阵,大小为M×N;Ψ为稀疏基矩阵,如果信号本身是稀疏的,则不需要进行稀疏变换,这时Ψ=1,即Θ与Φ相同。

图3 一维数据稀疏表示示意图

上述过程数学表达方程如式(3)所示

y=Φ·Ψ·s=Θ·s

(3)

对于上述过程中,假设我们已知所测量的数据y,再构造合适的测量矩阵Θ,就可重构出原始的信号s,这一过程就称之为信号的稀疏重构,其核心就是在已知测量值和测量矩阵的基础上,反向求解欠定方程式(3)。由于Θ不是一个方阵(M

(4)

由于式(4)的求解是个NP难问题(在多项式时间内难以求解,甚至无法验证解的可靠性)。由于L1最小范数下在一定条件下和L0最小范数具有等价性,可得到相同的解。那么式(4)转化为L1最小范数下的最优化问题,如式(5)所示

(5)

当前对于该问题的求解有贪婪迭代算法、凸优化算法等[14]已被证明,在此不再赘述。

2.2 稀疏度自适应的匹配追踪算法

传统的稀疏重构算法需要已知信号的稀疏度K,而实际中稀疏度很难预先确定[15],而对于叶尖定时这种严重欠采样信号稀疏度的确定更加困难。针对这一问题,论文提出了采用稀疏度自适应匹配追踪算法进行叶尖定时信号的重构。该算法可以在未知稀疏度条件下实现对所有满足有限等距性质(restricted isometry property, RIP)条件的稀疏信号进行快速重构,SAMP算法核心是利用分步长step逐步实现对稀疏度K的逼近,从而实现稀疏度未知的条件下的信号重构。

SAMP算法的主要过程包括:

输入:M维测量向量y,M×N测量矩阵Φ(详见后续构建过程),阶段步长step ≠ 0;

输出:信号x的K稀疏近似

具体流程如下:

步骤1初始化r0=y,∧0≠Ø,L=S,t=1;

步骤2计算u=abs[ATrt-1](即计算,1≤j≤N),选择u中L个最大值,将这些值对应A的序列号j构成集合Sk(列序号集合);

步骤3令Ck=∧t-1∪Sk,Ay={aj} (for allj∈Ck);

步骤4求y=Atθt的最小二乘解

符号说明:rt为残差;t为迭代次数;Ø为空集;∧t为t次迭代的索引集合;aj为矩阵A的第j列;Ay={aj} (for allj∈Ck)为按索引集合Ck选出的矩阵A的列集合,为Lt×1的列向量;符号为集合并运算,<•,•>为求向量内积,abs[•]为求模值。

上述步骤中,输入参数包括测量向量y和测量矩阵Φ,其中y即为所测取的定时信号,是已知的,那么Φ的构造成为重构信号准确性的关键,参考文献[16]所提出的测量矩阵构造方法,旋转叶片的低阶振动表达方程见式(2),由于相位不影响频率和幅值,为了简化推导过程,此处将相位设为0,则式(2)能简化成式(6)

s(t)=A·cos(2π·f·t)+C1

(6)

式中, C1为系统偏移的一个常量。

假设采样了n个数据点,这些采样点按照采样的先后顺序记为y=[y1,y2,…,yn]T,则式(6)振动方程的系数表达式记为x=[A,C1]T, 则式(2)可以被表达为

y=H·x

(7)

式中,H为反应振动特性和采样点数的矩阵,简称构造矩阵,它只与旋转叶片的振动频率及传感器的数量相关,它的表达式可表示为

(8)

那么式(5)振动方程的系数表达式可以表示为构造矩阵的H的伪逆与采样点数据的乘积

x=H†y

(9)

由式(9)可知,未知参数仅有频率,这可以通过提前标定测试或数值仿真来获取。这样我们就构造出稀疏重构过程中的测量矩阵H†。

上述为叶片一阶振动的测量方程构造过程,对于多维振动,振动方程可以表示为

(10)

式中:Q为振动的阶次;fi为第i阶次叶片振动的频率,那么构造矩阵H可以表示为式(11)

(11)

式中,t1,t2,…,tN为叶片到达传感器的时间序列。

与式(9)相似,求解式(11)矩阵的H的伪逆就可以构造了合理的测量矩阵,其维度与所测数据点相同。

3 所提方法可行性与有效性验证

3.1 数值建模信号重构分析

由叶尖定时采样原理可知,假定叶片旋转频率为Fr,布设了n个传感器,则系统的采样频率为n*Fr, 由于系统结构的限制,这些传感器无法均匀布置,假定以第1个传感器为基准点,第2个～第n个传感器分别以ω1,ω2,…,ωn-1,的角间隔布设,如图4所示。

图4 多传感器布设示意图

假定叶到达第1个传感器的时刻记为0时刻, 则第j个传感器对某个叶片所采样的振动数据表达方程如式 (12)所示

(12)

再将这些传感器的采样时刻进行插值处理就可得到叶这一组传感器的采样序列,但考虑系统的测量误差,我们可以在测量结果中加入一定能量的白噪声如式(13)所示

uj′=awgn(uj′,d)

(13)

那么所测得的采样信号如式(14)所示

yj′=A*sin(2π·f·uj′)

(14)

假定在机壳外围半周内均布了6个传感器,如图5所示。

图5 传感器布设示意图

参考试验台的参数,将叶片的转速设为3 000 r/min,振动幅值设为0.014 mm,叶片的低阶振动频率设为137.2 Hz(仿真建模所得),每个传感器采集25个数据点,按照式(14)获取理想状态的采样结果,如图6所示,对应的频域波形如图7所示。

图6 数值建模采样信号

图7 频域波形

由图6和图7可以看出,所采集的信号时域波形不完整,频域波形成分与实际不相符。然后基于所提出的方法进行信号重构,重构信号时域波形如图8所示,对应的频域波形如图9所示。

图8 重构信号时域波形图

图9 重构信号频域波形图

由图8图9可以看出,重构所得的完整信号时域波形与所假定的叶片完整振动波形一致,振动幅值为0.014 mm, 振动频率成分与设定数据接近,峰值频率为137.4 Hz(与理想值相差0.2 Hz,误差0.14%),表明所提方法对理想采样数据具有良好的重构效果。

考虑实际采样中有一定的测量误差,按式(14)在测量数据中分别加入信噪比为10 dB,20 dB,30 dB和40 dB的高斯白噪声,然后进行重构,重构所得到的时域采样结果如图10所示,相对应的频域波形如图11所示。

图10 重构信号时域波形图

图11 重构信号频域波形图

由图10可以看出,在考虑一定测量误差的情况下,所重构出的时域波形振幅与理想波形振幅存在一定的的误差,特别是信噪比小于20 dB时,误差较大,达到0.005 mm这一量级,但当信噪比大于20 dB时,误差减小至0.002 mm。由图11可以看出,测量误差对频域波形影响较小,均为137.4 Hz,说明所提方法具有一定的的扛干扰性,但测量误差较大时,会影响时域波形的重构效果,在工程应用中应保证测量精度。

3.2 试验验证

为了验证方法的可靠性,又利用试验台对所提方法进行了测试验证,试验台如图12所示,该试验台由包括电机、联轴器、齿轮箱、传感器、叶片垫板、底座和外径为300 mm的叶片,共有32个叶片,试验中在该试验台均匀布置了6个定时传感器(本特利330903型电涡流传感器),采集卡选用美国MCC公司的DT9857E,采样频率设为20 kHz,对任一叶片振动位移采集50个,实测的采样信号如图13所示。

图12 测试试验台

图13 实测采样信号

同时为了验证重构结果的准确性,采用动力学仿真软件ADAMS模拟了该叶片振动频率,为137.2 Hz,模拟效果示意图如图14所示。

图14 旋转叶片动力学仿真

然后基于所提的重构方法利用实测的数据进行重构,重构结果如图15所示,对应的频域波形如图16所示。

图15 实测信号重构结果

图16 实测重构信号频域波形图

由图15和图16可以看出,基于所提算法实现了实测叶尖定时信号的重构,时域波形最大幅值为0.142 mm,重构信号频率为137.3 Hz,与有限元模拟结果分别相差0.002 mm和0.1 Hz,误差率仅为1.4%和0.07%,这个误差量级在实际测试中处于可接受水准,表明为该方法对欠采样信号重构具有良好的效果。

4 结 论

论文主要针对叶尖定时技术因欠采样导致分析难的问题进行了研究,所取得的主要结论如下:

(1)提出了基于稀疏重构理论的叶尖定时信号重构方法,构建了适用于稀疏重构的测量矩阵,并对传统稀疏重构方法中因稀疏度进行了改进,实现了稀疏度未知条件下信号的准确重构。

(2)建立完善了叶尖定时技术采样过程的数值模型,推导了任意数量传感器及分布状态下的叶尖定时信号数值采样表达式。

(3)最后,采用数值建模信号和实测信号对所提出重构分析方法进行了可行性和有效性验证,结果显示所提方法所重构的信号与仿真建模结果时域波形误差1.4%,频率成分误差小于0.1%,处于可接受误差范围内,表明该方法具有良好的重构效果。