数学教学中批判性思维的培养

尤娜　赵思林

摘 要：数学教学中的批判性思维主要是借助逻辑思维，对某个数学对象产生怀疑或困惑、提出问题、查找原因、证明或证伪，从而获得某些结论或观点的思维过程。批判性思维具有思维发展的创新价值、个人成长的育人价值和数学教育的内在价值等。在数学教学中培养学生的批判性思维，既要关注课前准备、课堂实施、课后反思的日常教学过程，做好渗透培养，又要关注批判性心力、批判性心智（包括反省、反思、反驳、反证技能，系统分析，综合评判，质疑创新，元批判性思维等）等相关思维要素，做好专项培养。

关键词：批判性思维；数学教学；批判性心力；批判性心智

批判性思维的概念源自杜威提出的“反省性思维”。随后，格拉泽（Glaser）采用“批判性思维”（Critical Thinking）这一术语拓展了其定义。由于研究角度的不同，导致批判性思维的内涵也不同，主要有以下几种观点：（1） 批判性思维是一种严密的、全面的、自我反省的思维方式［1］，具有审视问题、寻求解决方案、进行推理的高阶思维能力［2］；（2） 批判性思维是个体对某些结论或观点进行正确的评价与判断，也是个体在观察和交流中，对蕴含的信息和言论进行有技巧的、逻辑的、主动的解释和评估［3］；（3） 批判性思维是个体对做什么和相信什么作出合理决策的能力，核心是澄清能力、推论能力、演绎归纳能力和运用决策能力［4］，体现在评价、比较、分析、质疑和整合信息的过程中［5］；（4） 批判性思维是一种有目的性的自我调节性判断的思维过程［6］，是一种对我们自己和他人的思维加以全面审查的、主动的、有意识的、有组织的认识过程［7］；（5） 批判性思维是一种个体克服以自我为中心的情感倾向的思维活动，是在辩证理性和开放精神指导下的认知思维活动和过程［8］；（6） 批判性思维是批判性思维能力和批判性情感倾向的综合体，既是分析、整合、评估信息的能力和相关的能力倾向的综合体［9］，也是反省性质疑精神与相关的认知技能的综合体［10］。综上可知，已有研究对批判性思维的内涵尚未达成共识。

从数学学科的特点来看，数学思维主要是逻辑思维。因此，我们认为，数学教学中的批判性思维主要是借助逻辑思维，对某个数学对象产生怀疑或困惑、提出问题、查找原因、证明或证伪，从而获得某些结论或观点的思维过程。

一、 批判性思维的教育价值

正如康德所言，作为一种重要的思维方式和优良的思维品质，批判性不只是个别人或某个时代的特征，而成为人类精神生活中必要的基本素质。批判与求真、反省、反思、质疑、论证、反驳、扬弃、创新、超越等都有着密切的联系。批判性思维具有重要的教育价值，培养学生的批判性思维是数学教学的重要目标。

（一） 注重思维发展的创新价值

建设创新型国家，离不开创新型人才。批判性思维是培养学生创新能力有效路径和重要抓手。同作为重要的高阶思维，批判性思维和创造性思维相辅相成。批判性思维在于“破”，创造性思维在于“立”。［11］批判是创新的基础，通过对已有信息的质疑和反思，从中不断发现问题和解决问题，最后实现创新。创新是批判的取向，通过对已有信息的分析、判断，反馈已有信息的不足或错误，从而修正、完善或抛弃已有信息。批判性思维是创造性思维和创造性活动中不可缺少的因素。［12］批判性思维是对知识不断认识和增慧的过程，是对问题不断发现和探究的过程，是对真理不懈追求和探索的过程。真理不是新旧知识的交错，而是对已有知识的不断修正或扬弃。正如钟启泉先生所说的：脱离批判性思维的教学，创新精神的培养只能沦为空话。［13］

（二） 追求个人成长的育人价值

批判性思维是强调个性发展的思维。批判个性的形成，需要完善批判性人格，并逐步形成独立思考、辨别是非、选择和获取有价值的知识、分析并提取有意义的信息等能力。批判性思维有助于学生形成理性的思考习惯，以树立正确的价值取向（是非观念）。批判性思维的培养不仅是学生生存发展的重要保障，而且是学生个性化发展的认知基础。在网络时代，批判性思维技能的掌握是学生健康成长的需要。网络既给人们搜集信息和学习带来了方便，又给“三观”尚未完全形成和稳定的中小学学生带来了负面的影响。比如，面对网络上海量的虚假信息、错误信息、垃圾信息、不良信息，学生（甚至成年人）如果没有掌握批判性思维技能，很容易上当受骗甚至可能走上犯罪道路。

（三） 体现数学教育的内在价值

《义务教育数学课程标准（2022年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求学生“发展质疑问难的批判性思维”［14］，“发展批判反思等共通性素养”［15］，“树立敢于（批判）质疑……的科学精神”［16］。目前，我国高中生虽然批判性思维倾向较高，但是批判性思维能力较低。［17］这说明，我国学生对批判性思维基本形成价值认同，但我国教育对学生批判性思维的培养明显不足。皮亚杰认知发展理论表明，10—18岁是批判性思维发展的关键期。因此，在中小学加强批判性思维的培养是落实数学教育核心目标的内在需要。

二、 数学教学中批判性思维的培养途径

批判性思维可以通过教学与练习来培养。批判性思维的培养主要有两种途径：一是借助一门学科单独培养；二是借助几门学科联合培养。已有学者对批判性思维的培养做了研究：通过建设批判性思维教学文化、创设“三位一体”培养环境、提升教师批判意识、改变评价模式与方法、建立系统培养体系、运用多样教学方法（问题驱动法、探究讨论法、直观演示法、自主学习法等）、训练学生批判性思维迁移、增强学生批判性思维精神（求真精神、怀疑精神、理性精神等）、加强学生元认知的自我监控力、引导学生反思与辨析等策略或方法，来培养批判性思维。［1822］这些策略與方法都有一些启发性和实用性，但是不够全面、系统。

研究表明，批判性思维的培养与学科内容相结合更为有效。［23］在数学教学中培养批判性思维，更具有优势：一方面，数学理论的严谨性、逻辑性与批判性思维的内涵非常接近；另一方面，数学学习经常伴随着质疑、纠错、探究、论证等批判性思维活动。依据数学教学的特点，全面、系统地培养批判性思维，既要关注日常教学过程，做好渗透培养，又要关注相关思维要素，做好专项培养。

（一） 在课前准备、课堂实施、课后反思中渗透培养

作为一种高阶思维，批判性思维的培养并非一朝一夕之功。在现有的以学科知识教学为载体，在问题解决过程中发展思维、培育素养的课程与教学安排下，批判性思维的培养可以片段式地渗透在日常的课堂教学中——实际上，日常课堂教学培养的扎实的数学“四基”和关键能力正是发展批判性思维的必要基础。这需要教师做好课前准备、课堂实施、课后反思的工作。

1. 课前准备

第一，制定批判性思维的教学目标。一是分阶段设定批判性思维目标，即让不同年龄对应不同的批判性思维要求；二是分要素设定批判性思维目标，即拆分批判性思维的要素，包括如何质疑、如何提出问题、如何查找问题存在的原因、如何证明或证伪、如何作出正确结论等；三是制定批判性思维目标时，重视思维的可迁移性，在学科教学内容中增加批判性思维的相关内容，把批判性思维目标植根于学科教学目标之中，构建含有批判性思维的课程目标和教学目标；四是将课程目标中已经明确的批判性思维要求在相应的教学中不断细化、优化，并付诸实施。例如，初中和高中都会教学函数的定义，都要确定相应的批判性思维教学目标，让学生通过对一些典型案例的辨析，即对函数各种“非本质属性”的批判来建构定义的“本质属性”——单值对应。

第二，精选或开发培养批判性思维的案例。案例是培养学生批判性思维的有效载体。在批判性思维教学目标的指向下，可以采用“微批判”的案例教学，即片段式培养批判性思维的教学。教师可以精选经典案例（典型例题、模糊概念、易错知识等），见缝插针地引导学生进行比较、辨析、反省、反思、质疑、论证等训练。例如，高中教学函数的定义时，可以让学生通过对“判断y=1是不是函数”的思考与探讨，认识到初中函数定义的局限性，从而对其进行批判，激发学习高中函数定义的动机。

2. 课堂实施

课堂教学中，教师自身良好的批判性思维能力和对教学时机的适当把握，有助于提高学生批判性思维培养的有效性。

首先，教师要增强批判性思维能力。主要可以从两个方面入手。第一，加强对批判性思维理论的学习，包括对批判性思维通识理论的学习，对结合学科特点的批判性思维理论的学习，对以培养批判性思维为目标的学科教学应该重新建构的教学原则（如数学教学的数形结合原则、直观想象原则、逻辑推理原则等）以及教学策略与方法（如演绎法、实验法、探究法、启发法等）的学习，等等。第二，重视对批判性思维的实证研究。一方面，开展研究性教学，即总结教学经验，提炼教学理论，投入教学实践，验证完善教学成果；另一方面，进行量化的实证研究，即总结得到教学经验，提炼形成教学理论之后，系统设计实施教学，收集分析测量数据，获得研究结论。

其次，教师要把握批判性思维的教学时机，如兴趣的启发时机、知识的生长时机、思维的拓展时机和应用时机等。第一，激活学生批判性思维的兴趣点，即创设多样的教学情境，激发学生批判性思维；营造轻松的课堂氛围，激发学生批判的动机；融合美育与德育，激发学生批判的兴趣等。第二，关注学生批判性思维的生长点，即关注概念的症结点、知识的转折点和解题的关键点等，培养学生全面、客观、理性看待问题的思维能力。第三，把握学生批判性思维的拓展点，即创设序列化问题，拓展学生思维空间；巧设冲突化问题，引导学生发散思维；妙设层次化问题，引导学生深度思维等。第四，强化学生批判性思维的应用点，即开展研究性学习活动和主题辩论赛等，增强学生的批判意识，促进学生的批判性交流，提升学生的思维品质，让学生能以批判的眼光观察世界，用批判的思维思考问题。

例如，教学“充要条件”时，教师可以出示题目：关于x的一元二次方程x2-mx+m+3=0的两个实根都大于2，求实数m的取值范围。再出示解法：x1+x2=m＞4，x1x2=m+3＞4，解得m＞4。让学生判断是否正确。学生运用批判性思维，不难发现该解法不够严谨，从而得到解法：Δ=m2-4m-12≥0，x1+x2=m＞4，x1x2=m+3＞4，解得m≥6。这时，教师进一步引发学生质疑批判：取m=7，代入原方程，发现并不满足条件。经过进一步推敲，学生得到正确解法：x1x2=m+3＞4应该改为（x1-2）（x2-2）=x1x2-2（x1+x2）+4=m+3-2m+4＞0。

3. 课后反思

课后反思是学生对学习内容、方式以及过程的系统思考、反复思考、辨别式思考等。如何让学生学会反思？需要教会学生反思的对象、方法和角度等，并且带领学生进行反思。例如，高中教学函数的定义后，教师可以选择下面一些角度，带领学生进行反思：一是“对比”反思，即让学生对比不同版本的高中数学教材中函数的定义，从而产生各种疑惑；二是“阅读”反思，即让学生阅读相关文献，引导学生判断函数的定义是否符合下定义的规则；三是“讲述”反思，即让多个学生讲述定义，让全班对不同的讲述产生各种思考，引导学生检查对定义理解的全面性与准确性；四是“问题”反思，即围绕教学重难点设计问题串，引导学生辨析并弄清概念的本质属性等。

（二） 围绕批判性心力、批判性心智专项培养

人的心理加工活动是在心力与心智协同操作下完成的，心力操作即非认知操作，心智操作即认知操作。［24］心力操作是激活心智操作的动力系统，心智操作是实现心力操作的必要条件。批判性思维的培养，既离不开心力操作的激活，也离不开心智操作的提升。

1. 激活批判性心力

心力（即非认知）主要包括情感、动机、兴趣、态度、意志、性格等成分。［25］批判性心力是指激活、启动、维持和完成批判性思维过程所需的心力操作，主要包括积极的批判情感、强烈的批判动机、浓厚的批判興趣、正确的批判态度、坚强的批判意志和坚定的批判性格等非认知因素。激活批判性心力，需要良好的人文环境和积极的意向场。

第一，各方协作，营造批判性思维的人文环境。良好的人文环境包括国家鼓励批判性人才、社会保护批判性行为、学校创设批判性文化、教师鼓励质疑批判的精神等。通过环境熏陶，激发学生浓厚的批判兴趣、引导学生树立正确的批判态度、训练学生坚强的批判意志等，全方位呵护学生批判性思维的萌芽与发展。

第二，师生合作，打造批判性思维的意向场。教师要优化批判性思维的教学方法，如采用启发式、探究式、讨论式、追问式等，激发学生的批判动机。学生要学习批判性思维的方法，如反省反思、理性质疑、勇于表达、逻辑证明等。

例如，教学“复数的绝对值（模）”时，可以采用如下方法激活学生的批判性心力（主要是批判性动机）。教师让学生联想实数x的绝对值的算法，即x=x，x≥0，-x，x＜0。由此，学生可能把实数绝对值的本质错误地理解为“分类讨论的算法”。这样理解貌似可以，但却无法得到a+bi的定义（算法）。进而，让学生对这种“错误”理解进行批判，得到“实数绝对值的本质是距离”的正确理解，即x=（x-0）2。在此基础上，得到复数绝对值的定义：a+bi=OZ=（a-0）2+（b-0）2=a2+b2，其中，O（0，0），Z（a，b）。不难看出，a+bi=a2+b2是在x=（x-0）2的基础上生成的。

2. 提升批判性心智

心智（即认知）系统是获取思维经验的重要基础，也是发展思维能力的必要条件。［26］批判性心智是指调动、维持、完成和反思批判性思维过程所需的心智操作，主要包括“四反”技能（即反省、反思、反驳、反证）、系统分析、综合评判、质疑创新、元批判性思维等高阶认知。

（1） 培养“四反”技能

“四反”是批判性思维的重要技能。

反省是一种诘问。［27］反省是对自己数学经验的一种追问，也是对自己数学认知状况和非认知状况的一种追问，目的是提升自己的认知能力和非认知水平——主要是了解自己的认知情况，包括知识的掌握度、方法的熟练度、结论的准确度等，在此基础上提升、更新、加强自己的认知能力。

反思是對话的产物。［28］反思是通过对自己的追问以及与他人或他物的信息交换，对已有信息产生的思考。反思的对象是多样的，比如教材、自己、同学、教师、权威等。思考的方法也是多样的，比如用简单思考复杂、用特殊思考一般、用具象思考抽象、用情境思考知识等。［29］

反驳是一种扬弃。反驳是用反例和事实对某些已有信息的批驳和局部性否定。例如，依据初中的函数定义，不少学生因为对应关系中未含有两个变量而认为对应关系不是函数。但若依据高中的函数本质（即单值对应），对应关系是单值对应，则此对应关系是函数。这就出现了认知矛盾。矛盾的出现并不是否定初中的函数定义，而是认为初中的函数定义不够完善，需要改造，由此可得高中的函数定义。

反证是一种证明方法。反证是通过假设结论错误（否定结论），推出矛盾，从而否决假设（证明结论）。使用反证法需要具备良好的逆向思维。培养学生的逆向思维可以从以下方面入手：一是结合概念，引导学生逆向思考，挖掘概念中的隐含条件和隐蔽性质；二是结合公式，引导学生逆写公式，掌握公式从左到右和从右到左的推导与应用过程，如正弦函数的二倍角公式sin2α=2sinαcosα、余弦函数的差角公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ的顺推与逆推、顺用与逆用等；三是结合例题，在教学过程中加强反例的应用和反证法的使用，渗透逆向思维解题的数学思想。

（2） 展开系统分析

系统分析是批判性思维的常用方法。系统分析将信息作为一个系统，对系统的要素和结构进行综合分析，探寻信息的可信性和处理信息的可行性。借助系统分析训练，启发学生深入思考，可以增加学生客观、辩证、理性处理信息的能力。任何信息都是由单个要素或多个要素组合而成的。比如，数学中的定义、结论、问题等由数学概念、数学符号、数学图表等要素组成。分析信息主要有三个角度：一是分析要素的现象，二是分析要素的本质，三是分析要素之间的联系。

单要素信息与多要素信息分析的方法也不同。一方面，对单要素信息，需要选取一些分析角度，不同要素的分析角度不同。比如，分析数学概念，可以从概念的含义、概念的发展史、概念的表述、概念的应用、概念的辨析等方面进行。另一方面，对多要素信息，需要系统分析。比如，对数学问题，可以从以下角度分析：一是问题的本质，即情境下的问题蕴含什么要素，这些要素考查什么知识，这些知识之间有什么联系等；二是解决问题的思路，即弄清问题涉及的内容后，结合数学方法和思想等，探究解题路径；三是问题的变式，即利用问题的本质，衍生变式问题，深化或加强问题。

（3） 进行综合评判

综合评判不是凭借直观的感受或观察随意评价，而是有根据、有条理地判断信息。通过评价，不仅能思考教材内容、教师教法、学生的自我认知，还能检查活动过程中存在的问题。评价的对象是多样的，如教材、教师、自己。不同对象评价的角度不同，主要从教学的结果与过程两个方面进行。一方面是以预期教学目标为参照的评判，即构建一套评价体系，诊断和评价教学成果，促进自我反思和自我评判的常态化。另一方面是对教学过程进行多层次的评判，即通过提问的方式对照教学过程中可能存在的问题。一是教材的内容，即数学概念、数学命题、数学问题等。对数学概念，思考概念的背景是什么、概念的本质是什么、概念的几何意义是什么等；对数学命题，思考命题的条件是什么、命题的结论是什么等；对数学问题，则思考问题的物理背景或几何意义是什么、问题的条件是什么等。二是教师的教学，即教师讲授方法是否正确、思路是否清晰、提问是否恰当等。三是自己的理解，即对教材内容的掌握和应用、对教师讲授的吸收和提炼等。对教材内容和教师讲授，反思自己的认知情况，如概念的运用、概念与其他概念的关系、解决问题的思路与方法、解决问题方法的简化、命题的证明、命题的推广等。

（4） 落实质疑创新

批判性思维往往是创新的“最近发展区”，并以创新为最终目标。这种创新被称为质疑式创新，它是一种希望通过质疑批判，发现或提出正确的新知识、新方法和新理论的思维。这里的“新”一般是相对创新，即与自己已有经验相比较，提出了新的概念和新的命题、数学问题解决的新策略和新方法。教师应该围绕课题提问，利用对话式（发现式）教学，引导学生反思、分析、判断、扬弃、建构，从而（相对）创新。数学教学中激发批判性思维的问题包括质疑性问题、反思性问题、诊断性问题、猜测性问题、探究性问题、开放性问题等。

例如，教师可以围绕“函数的本质是什么？”这一探究性问题，设计问题串：（1） 请举一个例子来说明怎样理解函数的对应关系。（2） 任意一个对应关系都能表示一个函数吗？（3） 应用高中的函数定义，判断y=1是不是函数。（4） 是否只能用解析式表示函数关系？（5） 函数定义中的对应关系有什么特点？这样的问题串意在让学生通过对函数定义的思考，在认知系统中逐步批判并剔除（消除）函数概念的各种非本质属性，从而达到认识函数概念本质属性的目的。需要说明的是，质疑式创新的结论可以再批判，即“批判—创新—批判”。在思维活动中，两者相辅相成，批判是创新的前期支架，创新是批判的内容来源。

（5） 开发元批判性思维

元批判性思维是批判性思维的核心成分，而元批判性思维的核心是元批判性思维监控［30］。开发元批判性思维是提升批判性心智的核心环节，也是培养批判性思维的重要途径。元批判性思维是对批判性思维要素和过程的一种“批判”，是基于理性标准反复审视思维要素的漏洞和过程的偏差，完善批判性思维要素和监管批判性思维过程。理性标准是元批判性思维的关键。元批判性思维贯穿批判性思维全过程，涉及反省反思是否合理、分类是否严密、评价是否准确、创新是否正确等。

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（尤 娜，内江师范学院教育科学研究院。主要研究方向：数学教育。赵思林，内江师范学院数学与信息科学学院，教授，硕士生导师。主要研究方向：数学高考、数学教育。）

*本文系四川省卓越教师培养计划项目（编号：ZY16001）、四川省教育科研资助金项目重点课题“差错诊断与差错控制——数学教与学解困新路探究”（编号：SCJG20A049）、内江师范学院横向科研项目“高中数学原创性命题研究与推广”（编号：HXL21111）的阶段性研究成果。赵思林为本文通讯作者。