知识、素材、情境,创新的多样性:高考数学多选题的命制

⦿ 广东省大埔县虎山中学 刘蕊蓉

随着新课程改革的进一步深入,新高考在试题类型方面引入了创新性的多选题,它是一种正确选项数目通常多于1个的选择题题型,全部选对得5分,部分选对得2分,有选错的得0分,围绕并体现“破定势,考真功,分层次”的命题理念,全面考查学生的数学知识、数学思想方法、数学能力和数学核心素养等,充分体现选拔性与区分度,有效把握数学本质,启发数学思考,引领并改进数学教学与复习备考.

1 知识创新的多样性

数学中的相同知识模块或不同知识模块,以知识创新的多样性为背景创设多选题,是高考多选题中最常见的一类命制方式.借助方程、函数、不等式、数列等加以创新展开,从相关数学知识的不同层面、不同角度来考查知识的综合与应用等.

A.f(x)=f(x+π)

故选择答案:AD.

点评:三角函数的综合应用问题一直是多选题中的一大重要创设场景,可以很好地体现知识创新的多样性,涉及三角函数的定义、图象与性质以及三角函数公式等众多知识点,又可以联系起函数的图象、函数的基本性质、函数与导数的综合应用等问题,是高考考查的难点之一,要引起高度重视.

2 素材创新的多样性

数学中的不同表达方式与对象属性,以素材创新的多样性为背景创设高考多选题,也是高考多选题中的一类命制方式.借助一个表格、一个图象、一个图形、一段文字等数学素材加以创新展开,从素材的表面视角、深入挖掘、类比拓展等不同角度加以分析,合理融合,巧妙交汇.

例2(2023届浙江省宁波市高考数学一模试卷)如果定义在R上的函数f(x)满足:对任意x>y,有f2(x)≤f(y),则称其为“好函数”,所有“好函数”f(x)形成集合Γ.下列结论正确的有( ).

A.任意f(x)∈Γ,均有f(x)≥0

B.存在f(x)∈Γ及x0∈R,使f(x0)=2 022

C.存在实数M,对于任意f(x)∈Γ,均有f(x)≤M

D.存在f(x)∈Γ,对于任意x∈R,均有f(x)≥x

解析:选项A中,任意f(x)∈Γ,取y>x,由于f(x)≥f2(y)≥0,因此f(x)≥0,故选项A正确.

令n→+∞,得f(x0-δ)=+∞,这表明δ→0,f(x)在x0处无定义,与f(x)定义在R上矛盾,故选项B错误.

选项C中,反设结论得任意M∈R,存在f(x)∈Γ,使得f(x)>M,那么取M=2 021,存在x0∈R,使得f(x)=2 022>2 021,由选项B中的分析知有矛盾,所以假设不成立,因此原命题为真,故选项C正确.

选项D中,若此选项成立,则f(x)→+∞(x→+∞),与选项C中的结论矛盾,故选项D错误.

故选择答案:AC.

点评:在创新定义的函数素材问题中,关键是借助阅读理解能力、逻辑推理能力等建立不同数之间的有机联系,构建素材之间的联系与深化,通过创新素材与逻辑推理、代数运算等探索解决问题的思路,实现对多种数学核心素养的考查.

3 情境创新的多样性

数学中的不同学科融合、不同数学文化背景、不同创新信息(概念、运算、规则、性质等),以情境创新的多样性为背景创设高考多选题,是高考多选题中的一道亮丽“风景线”,也是高考改革与创新的一大亮点.借助一个创新定义、一个数学文化、一个学科交汇等数学情境加以创新展开,从情境的内涵、实质等层面加以分析,有效综合,巧妙类比,实现提升与拓展.

例3“苏州码子”发源于苏州,作为一种民间的数字符号流行一时,被广泛应用于各种商业场合.“苏州码子”0～9的写法依次为○、、、、、、、、、.某铁路的里程碑所刻数代表距离始发车站的里程,如某处里程碑上刻着的“○”代表距离始发车站的里程为0 km,刻着的“○”代表距离始发车站的里程为60 km.已知每隔3 km摆放一个里程碑,A点处里程碑上刻着“”,B点处里程碑上刻着“”,则( ).

A.从始发车站到A点的所有里程碑个数为14

B.从A点到B点的所有里程碑个数为16

C.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为987

D.从A点到B点的所有里程碑上所刻数之和为984

解析:由题意,可知A点处里程碑刻着数字39,B点处里程碑刻着数字84,里程碑上的数字成等差数列,公差为3.

故选择答案:ABD.

点评:解决此类基于问题情境的数学应用问题,关键是建立相应的数学模型,解题时需注意分析“问题中有哪些量,这些量之间的关系和规律是什么”,与对应的数学模型加以联系,借助数学模型所对应的基础知识来分析与求解,充分展示数学的创新性、应用性与美感.

高考多选题这一创新性试题类型,是新课标创新性变革的一大体现,相比单选题而言,其信息容量更大,数学知识点更多,数学思想更丰富,解题思路更广,为不同层次的学生提供了不同的发挥空间,更加精准界定数学考试的选拔功能,实现合理分层与有效区分.