由2022年高考数学开放题引发的思考

⦿ 广州市从化区流溪中学 刘 容

1 聚焦高考试题,明晰教学方向

《中国高考评价体系说明》明确指出:高考基本功能——服务选材;基础教育对高考的现实要求——引导教学.高考命题观念从“基础知识立意”“技能立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”过渡.2022年,教育部教育考试院命制了六套新高考数学试卷,包括全国甲卷文、理试卷,乙卷文、理试卷,以及新高考的Ⅰ、Ⅱ试卷(不分文理),六套考卷中有五套设制了开放式问题,按类型分为:结果开放、条件开放、条件和结果均开放(综合开放式).

考题溯源:人教A版选择性必修第一册第124页练习4“双曲线的渐近线方程为y=±2x,虚轴长为4,求双曲线的标准方程”,弱化条件可变式为“双曲线的渐近线方程为y=±2x,求双曲线的离心率”.此变式题仍是封闭题,再次弱化条件“渐近线”,抓住渐近线的特性,与双曲线无公共点,即衍生出此高考题.

聚焦点2:(2022新高Ⅰ卷填空题第14题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线方程______.

考题溯源:此题由人教A版选择性必修第一册第98页练习1“已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+y2-8x-6y+16=0,判断圆C1与圆C2的位置关系”演变而来.教材中,关于圆与圆的位置关系的例习题,出现得较多的是求相交圆的公共弦问题,对于相切问题仅要求会判断两圆的位置关系即可,此考题是对相切知识点的补充考查.

聚焦点3:(2022全国乙卷文、理填空题第14题)过四点(0,0),(4,0),(-1,-1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为______.

考题溯源:此题源自人教A版选择性必修第一册第86页例4“求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径”.

(1)求C的方程;

聚焦点3与聚集点4对应的考题是现在比较流行的开放题类型,问题的前提条件、处理方式和结果之间具有某种不明确的关联,从而使得问题的基本条件、解题方法与结论都呈现出非常大的开放性.因为学生思考问题的视角和知识能力有所不同,解题的方式必然存在差异,方法多样,得到的结论自然也不相同.此类题目学生可以自由选择个人比较喜欢的条件作答,赋予学生自主独立探究问题的余地,可以开阔他们的思路,培养创新和迁移意识.

2022年高考数学大看点:创新试题类型,进一步提高试题的开放性,指导学生应用创新性、发散性思维分析问题和解决问题.数学高考设置开放性试题并不是为了减少对数学学科基础知识和基本概念的考核,而是“以考促学”,指引学生注重训练思维的灵活性,充分把握知识点的内涵与外延,以及获取并迁移信息的能力.“考向即方向”,2022年高考题为一线教师指出了一个教学新方向,即在教学中有效开展开放题教学,为学生提供宽广的想象、探究和创新空间,有效训练学生提出问题、分析问题和解决问题的能力,开发学生发散、创造性思考问题的能力,进而培养“终身学习的能力”.通过考题溯源,聚焦点1～3的考题都可以在教材例习题中找到源头,契合“源于教材,高于教材”的高考命题思路,同时也让我们认识到教材例习题的价值.

2 挖掘教材例习题,引导编设开放题

本文中主要思考如何引导学生充分挖掘教材中的例题、习题,并将之改编为开放性试题.通过利用身边的题库——教材,引导他们“回归教材、关注教材”,充分发挥教材的应用功能.

2.1 条件开放,层出不穷

条件开放性数学题的设计比较简单,可以把课本中的例题、习题的条件弱化一个甚至取消一个,就能够改编为一个有意义的条件开放性问题.

如,人教A版高中数学必修第二册第158页练习2:已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是( ).

A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂β

C.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β

解决条件开放性问题,实质是探寻结论成立的充分条件.因而,此题只需把选择题改成填空题“已知直线a,b与平面α,β,γ,写出一个能使α⊥β成立的条件______”,即可得到一道思考方向非常广阔的条件开放性试题.

再如,人教A版高中数学必修第二册第54页第22题可改编成:

从下面三个条件中任选一个补充在问题中,使得三角形存在,并求b的值:

①(a+b)(sinA-sinB)=c(sinC-sinB);

此题三个供选择的条件还可以有多种变化,开放度非常大,但又不偏离教学内容.因此,可以让学生自己设计,然后自己解决,或者同学之间交换解决彼此出具的问题,这样不仅可以促进生生交流,让数学学习的氛围更加浓厚,还可以让教材的习题变成取之不尽的题库.

2.2 结论开放,百花齐放

教学时,只要在几个条件充足、结果明显而简单的问题中隐去结论,就可设置为结论多样化的开放性问题.如,人教A版必修第一册第214页第15题“已知函数y=f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,若f(0.5)=1,求f(1),f(3.5)的值”.学生利用周期和奇函数的定义不难得出f(1)=f(-1+2)=f(-1)=-f(1),即f(1)=0;f(3.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-1.解决此题还可以构造符合已知条件的函数来求值,满足定义在R上周期为2且f(0.5)=1的奇函数可以是f(x)=sin πx,由此得出f(1)=0,f(3.5)=-1,虽然作为解答题过程不严谨,但这样很容易引导学生将此题改编为“写出一个定义在R上周期为2的奇函数______”;再弱化条件“写出一个周期为2的奇函数______”.习题并不难,在教师指导学生编设的过程中,极易调动学生的学生兴趣,解决自己提出的问题会更容易让学生全身心投入到学习中.

这些由教材例题、习题改编的开放题,容易被学生接纳,每位学生都能根据个人的基础收获不同的成果,真正做到数学课堂,人人有所得,同时也让学生逐步养成热爱思考、热衷创造的良好品质.

善于发现问题并大胆提出问题比解决问题更关键.再如,学习了线面垂直的判定定理后,布置学生完成人教A版必修第二册第163页综合运用第14题:如图1,在棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能判定CD⊥AB,以及AC=BC吗?引导学生思考:(1)条件不变的情况下,是否还能得出其他结论?(2)能否弱化或删除某条件,改成条件开放题?(3)调换条件和结论的位置,命题是否仍然成立?

图1

在教师的启发下,学生编设了以下开放题:

(1)如图1,在棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,你能得出哪些结论?(从空间元素的位置关系、等量关系,以及空间角等方面进行思考.)

(2)如图1,在棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,你能增加一个条件,使得CD⊥AB吗?

(3)如图1,在棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,从下面三个条件①②③中选出两个作为条件,证明另一个成立:①AC=BC;②AB⊥VD;③D是AB的中点.

在课堂上指导学生编设开放题,促使他们积极思考“条件能不能改变或弱化”“还能不能得出其他结论”“结论是否能推广”“条件和结论之间是充分、必要还是充要关系”“还能不能探索出其他解法”等提升性问题.这样的方式可有效让学生变“被动式”学习为“主动式”学习,并帮助他们积极地创设新情景和问题,在新情景与问题中有效交流,进而深化对知识的理解与掌握.

3 开放教学过程,提升核心素养

数学学科的“六大”核心素养——数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.数学课程标准中提到,“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的”.新高考数学试卷中开放题出现得越来越频繁,我们也不难发现,新教材习题中设置的开放题所占比例也越来越大,因此要洞悉高考、教材的导向作用,顺应教育要求,加大开放题教学的程度.开放题教学可以设计在情境引入、新知识探究、知识应用等各个环节,但并不是每个环节都需要设计开放题,有效设计即可.

如,学习人教A版必修第二册第八章中“棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积”时,结合教科书中只要求学生知道公式,“会算”即可,推迟对“会证”的要求,以及高中课程方案中描述的“学”,即“具有强烈的好奇心、积极的学习态度和浓厚的学习兴趣”,教学时可以设计公式应用型的开放题组:构造三个多面体,使它们的体积均为24;构造三个棱长相同的不同多面体,使它们的体积均为24;构造三个棱长相同的不同多面体,使它们的表面积都是24.题目难度不大,但结果的开放程度较大,容易入手,极易激起学生的“好奇心”与解决问题的“学习兴趣”.在避免机械记忆公式的情况下,既能让学生有效、熟练掌握公式,提高学生主动参与学习的积极性,又能有效培养学生数学运算和建模(几何模型)素养.

再如,人教A版必修第二册中,探究直线与平面垂直的性质时,以问题为驱动设计教学环节:

问题已知直线与平面垂直,则该直线与这个平面内的所有直线是什么位置关系?

师生活动:在一般观念的引领下,先对已知直线与平面内的直线具有的位置关系有个整体了解,然后再添加新的直线、平面进行探究.

追问1:在研究直线与平面垂直的性质时,除了研究已有的线线关系,还可进行怎样的研究?

师生共同探究,确定“加入新的直线或平面,寻找不变的性质”.

追问2:如果在线面垂直的前提下加入新的直线或平面,如,已知a⊥α,b⊄α,β是与α不重合的平面,a⊄β,你能得出哪些结论?

学生自主探究,相互交流,得出一些结论.然后每组选一名代表发言,学生共同对学生代表提出的结论进行辨析并完善,错误的举出反例辩驳.学生提到了以下结论:

(1)若b∥a,则b⊥α;

(2)若b∥α,则b⊥a;

(3)若b⊥a,则b∥α;

(4)若b⊥α,则b∥a;

(5)若β∥α,则a⊥β.

此教学环节设置的追问1和追问2属于开放性问题,环环相扣,让学生经历了一系列线线、线面、面面平行以及线线、线面垂直的性质研究,从而逐步掌握怎样有逻辑地思考问题,分析问题,发现新问题,逐步培养和发展学生数学抽象、直觉思考和逻辑推理等数学素养.