一个时间分数阶扩散方程的精确解和动力学性质

黎超玲，赵云梅

(1.重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331；2.红河学院数学与统计学院，云南蒙自 661199)

1695 年，洛必达在给莱布尼茨的信中问道：当n阶导数中的阶数为这样的分数时，导数怎么计算？有什么意义？自那以后，通过好几代数学家们的共同努力，并且经过300 多年的不断发展，分数阶微积分理论终于被逐步地建立起来了，而且分数阶导数的定义也多达一二十种.相比于整数阶微积分，分数阶微积分的发展比较缓慢，主要是因为分数阶导数它没有一个像整数阶导数那样的统一定义，而且早期的分数阶微积分理论也没能够与实际的应用背景相结合.自上个世纪60 年代以来，后面这种情况得到了极大的改善，人们逐渐发现一些自然现象，如反常扩散现象、记忆现象、粘弹性问题等均可以用分数阶微分模型来描述，而且其精准度往往优于整数阶微分模型.从而，分数阶微积分理论在应用方面得到了快速的发展.如今，分数阶微积分理论已经广泛涉及到许多自然科学领域和工程技术领域，如在热传导技术领域、粘弹性材料性能研究领域、生物科学研究领域、信号处理技术领域以及磁力学研究领域等[1-16].然而，跟整数阶非线性微分方程的求解相比，分数阶非线性微分方程的求解就显得十分地困难，这是因为整数阶非线性微分方程领域的一些有效方法无法直接地应用到分数阶非线性微分方程的求解中去，因此即便是一些非常简单的分数阶非线性微分方程，人们也很难获得其精确的解析表达式.

最近，文献[17]中，Sahadevan 和Prakash 用不变子空间法[18,19]研究了下列时间分数阶扩散方程：

其中u=u(x,t),0 <α<1,κ,δ为任意非零常数，为Riemann-Liouville 微分算子.在文献[17]中，Sahadevan 和Prakash 只有获得方程(1)的一个精确解.在本文中，我们将利用Rui在文献[20,21]中提出的半固定式变量分离方法与动力系统方法相结合的方式，重新研究方程(1)的精确解，将获得更为丰富的结果.

1.扩散方程的约化以及相应的非线性平面动力系统

本节，我们通过半固定式变量分离的方法，将方程(1)约化成一个非线性平面动力系统，然后讨论该系统的相空间结构以及相应的动力学性质.

设方程(1)的解为:

其中v=v(x)为x的待定函数，γ为待定常数.把(2)代入(1)得：

由(4)解得：

其中是一个参数.通过变换式(8)可以将奇异系统(7)简化为以下规则的平面系统：

无论函数v如何变化，此时方程(6)和系统(9)是等价的.显然，系统(7)和 (9)具有相同的首次积分.当δ≠-κ2 时，首次积分为：

这里h是一个积分常数.为了便于后面的讨论，我们将方程(10)和(11)改写成如下的形式：

根据平面动力系统理论，我们有以下两个引理:

引理1.设(vi,0)为系统(9)的任意一个平衡点，那么下列结论成立：

(i) 若平衡点的雅克比行列式值J(vi,0)<0,则该平衡点为鞍点；

(ii) 若平衡点的雅克比行列式值J(vi,0) >0且traceM(vi,0)=0,则该平衡点为中心点；

(i) 若a=b,则微分方程(6)的解v(x)是具有孤立波形状的同宿解；

(ii) 若a≠b,则微分方程(6)的解v(x)是具有扭结或反扭结形状的异宿解.

根据平面动力系统理论的相关知识可知，平面相图轨道分布中轨道的走向与分布取决于系统平衡点的类型，从而决定了方程(6)的解的不同类型与动力学行为，同时也确定了原方程的解的类型和动力学性质.

由上面的信息和引理，很容易看出系统(9)的平衡点O(0,0)可能是尖点或高阶平衡点，由于J(0,0)=0并且平衡点指数也为零，根据平衡点的特征，我们下面分别对当δ≠-κ2 和δ=-κ2 时绘出平面系统(9)的相图，并对方程(6)的解进行讨论.为了方便查看图形，在下面的图形（图1～图3）中，用黑色线条标记h=0定义的轨道，用红色线条标记h>0定义的轨道，用蓝色(或绿色)线条标记h<0定义的轨道.

图1.当δ≠-κ2 时，系统(9)在κδ>0时的平面相图（原点为尖点的情况）

2.扩散方程的各种精确解

根据上一节的分析，我们通过沿相图中相应轨道积分的方法来获得扩散方程的精确解.

当δ≠-κ2 且h=0时，由方程(10)定义的黑色轨道的表达式可化为：

取原点为初值点，将(18)式代入(7)的第一个方程后沿轨道进行积分，可得到：

完成(19)式的积分，可得常微分方程(6)的一个无界解：

将（20）和（5）式代入（2）式中，可得到方程（1）的一个精确解：

其中(21)是一个无界且随时间增加而衰减的解，显然当t→∞时，u→0.

当h<0,Ω0κ>0且δ=-κ时，系统(9)有无穷多个用蓝色（或绿色）标记的闭轨道，如图2（a）和（b）所示.在这种情形下，方程(10)可简化为：

图2.当δ≠-κ2 时，系统(9)在κδ<0时的平面相图（原点为高次平衡点的情况）

求解(23)，我们得到常微分方程(6)的两个周期解族如下:

将上述两个周期解和(5)代入(2)中，我们可得到方程(1)的两个具有周期性质的解:

尽管解(24)和(25)是两个周期解，但是解(26)和(27)却不是周期解，而是两个具有周期特征且随时间增加而衰减的解，当t→∞时，u→0.分数阶微分方程一般没有周期解，文献[22,23]中的研究表明，线性的分数阶动力系统不存在周期解.

对(30)进行积分，可得到常微分方程(6)的周期解如下:

这里δ=-κ2 满足图3(a)和(b)的条件，因此两个图中的轨道可以由(38)式定义，但这里无法通过(39)的积分计算出方程（6）的精确解，但是可以获得它的数值解，这里就不介绍了.

图3.当δ=-κ2 时，系统(9)的平面相图（原点为高次平衡点的情况）

为了能够直观地展示上述解的动态特性，作为例子，分别绘制了解(21)（26）（27）和(32)的三维坐标图形,见图4(a)（b）（c）和（d）.从图4可以看出，扩散现象是随着时间的增加而衰减的，大部分情况下，扩散现象在横向上发生周期性的振荡，但扩散物浓度（或热量）整体上随着时间的增加而衰减.

图4.解(21)（26）（27）和(32)的三维坐标图形