拉伸和弯曲载荷作用下含R槽方形壳角裂纹应力强度因子计算

李 龙

（西安科技大学 建筑与土木工程学院，西安 710054）

0 前 言

通常，对于无限大二维及三维弹性体裂纹问题，给出应力强度因子的解析解是相对容易的。对于带有边界裂纹问题的求解，相关文献给出了裂纹非自发扩展的能量释放率的概念及其积分定义[1]以及在圆柱管壳[2]、薄壁等边角钢[3]等裂纹中的应用。但当考虑裂纹尖端有多个不同的奇异应力场和应力强度因子的裂纹问题，若想给出满足条件的解析解是相对困难的。因此，许多学者对求解含裂纹工程构件的应力强度因子的方法进行了相关研究。文献[4-5]基于J2守恒积分和虚功原理提出了求解多个不同奇异应力场对应的应力强度因子的方法。但大部分的梁和细长工程构件上裂纹的产生是多个荷载共同作用的结果，所以目前求解构件上裂纹截面受到拉伸和弯曲载荷作用且具有多个不同的奇异应力场和应力强度因子的裂纹问题主要依赖于有限元法。如果能找到拉伸和弯曲载荷之间的一些关系，则J2积分可以继续在求解拉伸和弯曲载荷共同作用下多个不同奇异应力场对应的应力强度因子中发挥作用。

本研究基于J2积分和材料力学中截面应力分析理论[6]，以含R 槽方形壳对称穿透角裂纹应力强度因子为例，通过找出两种荷载之间的简单关系，求解拉伸和弯曲荷载作用下不同应力场裂纹尖端应力强度因子，建立拉伸和弯曲荷载共同作用下含R槽方形壳对称穿透角裂纹应力强度因子的计算方法。

1 含R槽方形壳对称穿透角裂纹构型

本研究以含对称穿透角裂纹的R槽方形壳为例，重点研究拉伸和弯曲载荷作用下对称穿透角裂纹的应力强度因子求解问题。假设在角裂纹横截面上，存在4组对称穿透角裂纹，如图1所示。先以弯曲载荷为例，给出弯曲载荷作用下不同裂纹尖端应力强度因子的计算方法，随后在此基础上进一步研究拉伸和弯曲载荷共同作用下不同裂纹尖端应力强度因子的计算方法。

图1 含R槽方形壳对称穿透角裂纹构型

2 J2积分法计算R 槽方形壳对称穿透角裂纹应力强度因子

2.1 三维J2积分

考虑三维位移场，其位移矢量μ是x1、x2和x3的函数，对于闭合曲面Ω，根据守恒律，公式（1）的积分为0[7-8]，即

式中：w——应变能密度，J/mm3；

Ti——作用于Ω外侧面的力矢量，N；

nj——曲面Ω的外法线矢量；

ui,j——位移矢量，mm。

含R 槽方形壳的对称穿透角裂纹如图1 所示。当x2轴与裂纹截面垂直，三维J2积分可用于求解拉伸和弯曲载荷作用下含R槽方形壳角裂纹的应力强度因子。

2.2 二维J2积分

对于二维边值问题，守恒律仍保持公式（1）的形式。这时公式（1）中的积分路径为s，是坐标x1-x2平面内的一条闭合曲线。该积分在这样的不含孔洞闭合曲线上的积分值为0，即

单位厚度的I 型裂纹如图1 所示。在裂纹尖端近场取闭合积分路径，计算方法为

式中：ses——裂纹尖端的直线段；

ssg——四分之一圆弧段；

sge——裂纹面。

沿着路径ses和ssg，J2积分可表示为

对于闭合路径s=sesg+seg，公式（2）可表示为

式中：μ——泊松比；

E——弹性模量，MPa；

KI——I型应力强度因子，MPa·m1/2。

3 弯曲载荷作用下含R 槽方形壳对称穿透角裂纹的应力强度因子

带有对称穿透角裂纹的含R槽方形壳如图1所示。仅考虑弯曲作用时，x1-x3平面为含裂纹的对称平面，所有载荷均作用在该平面上，同时变形也将发生在这个平面。显然，当满足lb>>t时，含R槽方形壳的形变具有细长梁构件和三维壳体的特征。可以将材料力学中的应力与变形计算方法应用于含R槽方形壳角裂纹的应力强度因子的计算。

3.1 闭合积分曲面

如图1 所示，含R 槽方形壳在裂纹截面远场受弯曲载荷作用。选取三维闭合曲面Aclosed=A++A-+Ain+Aout+Ac，其中符号“+”表示裂纹截面，“-”表示远场截面，A+为裂纹韧带截面，A-为远场无裂纹截面，Ain为含R槽方形壳的内侧表面，Aout为含R槽方形壳的外侧表面，Ac为裂纹面。因为Ain和Aout为自由面，Ti= 0、n2= 0，因此可得如下结果[9]

对于积分曲面A+和A-，不难得到

ϕ′——含R槽方形壳的轴线曲率。

式中：I——惯性矩，mm4，I=(B-2R)[B3+t(B-2R)2]/6+B2t(B-2R)/4+4Rt(π-α)-at3/3-atB2；

R——含R槽方形壳的半圆半径， mm；

M——作用于含R槽方形壳两端弯矩， N∙m。

将裂纹看成由椭圆孔d′→0 时退化而成，于是含R 槽壳可看成一变截面管，如图2 所示。裂纹处的轴线曲率可由下列极限求得

图2 1/4裂纹椭圆模型（d′→0）

式中：d′——椭圆裂纹模型的短半轴长度，mm；

a——椭圆裂纹模型的长半轴长度，mm；

B——含R槽方形壳截面相邻直角间距，mm；

t——含R槽方形壳厚度，mm；

γ1——以a/B为自变量的函数。

图1中裂纹面Ac由八个裂纹面组成，其局部放大如图3所示。

图3 K主导区域内的局部积分面

根据能量守恒定律，在裂纹面Ac上，有

式中：J2(Aml) ——裂纹面ml上的J2积分，N/m；

J2(Aeg) ——裂纹面eg上的J2积分，N/m；

KIm、KIe——裂纹面ml、eg 上的应力强度

因子，MPa·m1/2。

结合公式（14）和公式（15），在裂纹面Ac上有

将公式（8）～公式（10）和公式（16）代入公式（1），Aclosed=A++A-+Ain+Aout+Ac上的J2积分可表示为

3.2 补充方程

如公式（17）所示，是一个包含多个不同应力强度因子的方程，由文献[10-12]可知，裂纹尖端e和m处不同应力强度因子相互关系的补充方程为

式中：R——含R槽方形壳的半圆半径，mm；

a——椭圆裂纹模型的长半轴长度，mm；

α——弯曲载荷作用下含R 槽方形壳裂纹尖端与R 槽方形壳圆心的连线与x3轴之间的夹角，（°）。

3.3 正则化应力强度因子

将公式（11）、公式（12）、公式（18）代入公式（17），可得含R 槽壳的两种应力强度因子分别为

式中：fe(a/B) ——含R 槽方形壳在裂纹尖端e处的应力强度因子，MPa·m1/2；

fm(a/B) ——含R 槽方形壳在裂纹尖端m处的应力强度因子，MPa·m1/2；

σ0——含R 槽方形壳截面应力，kPa，本研究中

4 拉伸、弯曲载荷共同作用下含R 槽方形壳对称穿透角裂纹的应力强度因子

4.1 基于G积分的裂纹扩展能量释放率

根据G积分理论，含R 槽方形壳应变能表达式为

式中：G——基于G积分的裂纹扩展能量释放率，N/m。

公式（21）的物理意义为裂纹面Seglm在x2方向上每平移单位距离时的能量释放率或裂纹面扩展的能量释放率。

4.2 基于弯曲理论的裂纹扩展能量释放率

将含R 槽壳看做杆件结构，根据材料力学中的梁弯曲理论，可得含R 槽壳应变能表达式为

式中：U——基于弯曲理论的裂纹扩展能量释放率，N/m；

N——作用于含R 槽方形壳两端的拉伸载荷，N;

lb——含R槽方形壳的长度，m；

式中：φ——拉伸、弯曲载荷作用下含R 槽方形壳裂纹尖端与R 槽方形壳圆心的连线与x3轴之间的夹角，（°）；

γ1——裂纹截面的面积因子。

4.3 补充方程

从公式（22）不难发现，公式中同时含有弯矩M和轴向拉力N。众所周知，在做构件弯曲试验时常采用三点弯加载，在构件的底部中心微小范围内构件可近似看成局部受拉，基于此思路，借助材料力学中截面应力分析理论，对拉伸和弯曲载荷共同作用下的含R 槽方形壳进行应力分析，可以得到，在拉伸和弯曲载荷作用下构件上裂纹尖端处所受弯矩与轴力的关系[5]可近似表示为

式中：M——作用于含R 槽方形壳两端的弯矩，N∙m；

I——惯性矩，mm；

N——作用于含R 槽方形壳两端的拉伸载荷，N;

B——含R 槽方形壳截面相邻直角间的距离，mm。

由季札的评论我们可知《唐风》的特点：一是思深； 二是忧远； 三是有传统，有历史感。 思深和忧远意思相近，故杜预概括为忧深思远，而有传统、有历史感又是和忧深思远相联系着的。 因此，若从风格上讲，可以说是厚重感。 若从思想上来讲，可以说是计长远。 对于《唐风》，可以如此把握之。

4.4 正则化应力强度因子

根据Clapeyron 理论，外载荷作功V=2U，内能Π=U-V=-U，根据平衡条件，则裂纹能量释放率可表示为

式中：γ1(α/π,t)——以α/π、t为变量的裂纹截面的面积因子；

γ2(α/π,t)——以α/π、t为变量的裂纹截面的惯性因子。

正常条件下，两种计算方法得到的能量释放率相同，因此有

将公式（26）代入公式（30），可得m点处正则化应力强度因子为

公式（31）给出了一个估算对称穿透角裂纹应力强度因子的公式，在该公式中，含R槽方形壳上角裂纹尖端的应力强度因子仅取决于裂纹截面上的弯矩。因此，使用该方法来表示拉伸和弯曲载荷作用下类似含裂纹壳的应力强度因子成为可能。

5 有限元分析

表1 裂纹尖端e、m处应力强度因子有限元解与本研究解的比较

图4 含R槽方形壳的有限元网格

图5 含R槽方形壳的有限元模型应力云图

5.1 弯曲作用下含R槽方形壳对称穿透角裂纹的应力强度因子有限元解与本研究解的比较

在本研究有限元解与模型计算解对比过程中，共提取10组有限元数据正则化裂纹长度a/B=0.05、0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45 和0.5。当a/B=0.5 时裂纹尖端e点应力强度因子fe（a/B）的本研究解为0.941，有限元解为0.894，相对误差为4.99%，验证了模型计算方法的准确性。

弯曲作用下含R 槽方形壳对称穿透角裂纹的正则化应力强度因子有限元解与本研究解的比较如图6 所示。从图6 可以看出，在含R 槽方形壳对称穿透角裂纹尖端e点，应力强度因子随着裂纹面的扩展呈现非线性增大趋势；在裂纹尖端m点，应力强度因子随着裂纹面的扩展先增大后减小，在a/B=0.2 处取得最大值。

图6 弯曲载荷作用下对称穿透角裂纹正则化应力强度因子

5.2 拉伸和弯曲载荷作用下含R槽方形壳对称穿透角裂纹的应力强度因子解与有限元解的比较

选取a/B=0.1 时，拉伸和弯曲载荷作用下含R 槽方形壳的角裂纹尖端m处（公式（31））和e处正则化应力强度因子计算结果，与有限元分析结果进行对比，对比结果如图7所示，通过图7 可以看出，两种方法所得结果基本吻合，并在a/B=0.45 时取得最大值，最大误差为12.8%，满足工程实际要求。

图7 拉伸和弯曲载荷作用下裂纹尖端正则化应力强度因子

6 结 论

（1）基于J2积分、G积分和材料力学中截面应力分析理论，构建了在一定拉伸和弯曲载荷共同作用下，裂纹截面不同奇异应力场对应的应力强度因子求解方法。

（2）证明了J2积分以及材料力学中平截面假定对于估算拉伸和弯曲载荷作用下裂纹尖端具有多个应力场的不同应力强度因子是可行的。

（3）基于基本力学和σ=My/I，可以找到不同应力强度因子之间的简单关系，为解决不同应力场所对应的应力强度因子问题提供了思路。

（4）简化了具有对称穿透裂纹的工程构件的应力强度因子求解，并且所有分析和计算都在基本力学范围内，且误差在实际工程可接受范围之内。

（5）推导了含R槽方形壳对称穿透角裂纹在拉伸和弯曲载荷共同作用下的一系列闭合形式的应力强度因子表达式，为类似工程构件的应力强度因子求解提供参考。