点到直线距离公式在椭圆和双曲线中的推广

四川省什邡中学 (618400) 杨勇军 纪定春

四川师范大学附属中学(高中) (610066) 周其祥

一、问题提出

二、点到直线距离公式的两个形式统一的推广

2.1 距离公式在椭圆中的推广

性质1 (1)当d>1时,直线与椭圆相离;(2)当d=1时,直线与椭圆相切;(3)当0≤d<1时,直线与椭圆相交．

上述证明方法能够有效避免消元和判别式法,比较适合高中学生．当然,性质1还有更加简洁的证明方法,具体如下:

2.2 距离公式在双曲线中的推广

证明：略．具体证明和论述过程可以参考文献[1]．

接下来,对推广2进行证明,具体如下:

性质2 (1)当d>1时,直线与双曲线相交;(2)当d=1时,直线与双曲线相切;(3)当0

在拓广平面内,即在欧氏平面的基础上,增加无穷远直线和无穷远点．椭圆和双曲线在拓广平面内,同属于封闭图形,但是椭圆和双曲线在无穷远直线(或点)处的性质又有细微的差异．在距离无穷远直线处,椭圆与无穷远直线相离,而双曲线与无穷远直线相交,即有两个不同的实无穷远交点,这两个点将拓广平面内封闭的双曲线分割成两支,即为欧氏平面内的双曲线．上述性质2中的仿射变换,是将双曲线的外部变换成一个单位虚圆,而经过该圆内部的任意线段的长度是无穷的,因此有上述性质2的第(3)．

但是,对于d=0时的特殊情况,直线与双曲线是相交或相离的．其中相交是很好理解的,即连接拓广平面内双曲线被无穷远直线分割的两个部分,其必有交点,在欧式几何中表现为连接双曲线的两支的任意两点,其必定经过纵坐标．相离可以理解为直线即为拓广平面内的无穷远直线,在欧氏平面内为双曲线的两条渐近线之一．