一道联考试题的命制背景探究与推广

广东省佛山市南海区南海中学 (528200) 黄志斌

2023年3月份广东省燕博园联考的第21题解几压轴题是证明两组向量的数量积相等,笔者探究发现,该题其实是用向量形式包装的两组线段之积相等问题.对要证明的问题进一步研究发现,该题有一个圆锥曲线的性质结论为背景.

(1)证明:直线l与椭圆C相交于两点,且每一点与P的连线都是椭圆的切线;

笔者探究发现,该试题的背景是如下命题:

这一结论结构对称,是一个非常漂亮的性质,下面给出证明.

图1

命题同样成立,得证.

继续探究还发现,该命题还可以推广到双曲线和抛物线.

命题3 过抛物线y2=2px(p>0)外一点P(x0,y0)作它的两条切线(存在两条切线的条件下),切点分别为M、N,再作过P点的直线与双曲线相交于A、B两点,与直线MN相交于Q点,则|PA|,|PB|,|AQ|,|QB|满足如下关系|PA|·|QB|=|PB|·|AQ|.

上述命题证明仿命题1,请读者完成.