人字齿行星传动精度半解析建模与分析研究

王腾达,董惠敏,张 楚

(大连理工大学机械工程学院,大连 116024)

0 引言

人字齿轮是由两个旋向相反的斜齿轮构成,在传动中具有斜齿轮传动的传动平稳和承载能力强等优点,并且可以平衡斜齿轮的轴向力,所以人字齿行星轮系多应用在航空 、汽车和船舶等行业。由于制造误差和装配误差是不可避免,特别是人字齿轮存在的双螺旋面的不对中会影响装置的传动精度,激励振动和噪音影响传动装置的平稳性。因此,研究人字齿行星轮系传动精度的模型、分析误差对传动精度的影响有着重要的意义。

目前对齿轮的传动精度的研究有很多,研究方法主要有解析法、啮合线增量法有限元法和半解析法,如步鹏、李建宜等[1-3]所述对不同的齿轮误差的有限元建模分析传动误差,虽然精度较高,但建模复杂、计算耗时长;为简化建模缩短计算时间,王朝兵等[4]采用啮合线增量法,对行星齿轮受到随机误差时传动误差的研究。DONG、雷敦财等[5-8]将齿轮副的接触等效为两个弹簧与接触块建立解析模型,研究齿轮的传动误差,但其对于宏观接触分析无法获得准确地结果导致其计算精度受限;为了兼顾计算精度与效率,GREENWOOD等[10]建立半解析法接触模型,分析一对斜齿轮的传动精度与特性。由于半解析模型结合解析法与有限元方法的优点,可对局部接触和宏观接触都可以精确计算,因此不仅获得比较准确传动误差,同时求解速度快。综上所述,在齿轮的传动精度的模型和分析方法中,半解析模型和分析方法具有解析法与有限元方法的优势,但由于常见的半解析法无法精确获得齿面接触的柔度矩阵且对于人字齿轮对中误差对传动误差的研究不充足,开展本文研究内容。

对此,为了分析误差和载荷状态下人字齿行星传动的传动精度,提出人字齿行星齿轮的传动精度模型,将人字齿行星传动沿轴向离散切片嵌入制造误差、以有限元方法确定接触点的柔度矩阵,从而形成了半解析人字齿行星传动精度模型。应用所建立的模型,求解人字齿行星轮传动精度受制造误差的影响趋势,以及传动误差的范围,使求得的传动误差可相较以往方法效率得到提升以及精度更准确。

1 基于切片法的人字齿行星传动模型

为了便于求解制造误差对人字齿行星轮系的传动精度的影响,采用切片法将人字齿行星传动离散,当切片份数足够多时,即可等效为直齿行星齿轮传动。

1.1 基于切片法的轮系传动运动几何关系模型

图1 人字齿行星传动切片离散的运动模型的示意图 图2 存在对中和齿距误差的外啮合面潜在啮合点示意图

人字齿轮沿轴线离散为n=1,2,3,…,pn一系列切片单元,啮合平面中的潜在啮合点数量为j=1,2,3,…,nsp/rp。并且每个切片上接触线的中点作为接触计算的参考点,称为潜在接触点。不失一般性,使外啮合初始啮合位置在一半人字轮齿的中截面的节点Mp处。那么第k对啮合副在第n片上的潜在接触点编号即为k=1,2,…,kt,kt为随着齿轮的旋转而变化的啮合对数量如图1和图2所示,图中kt=2,N1、N2为极限啮合点。

虚线啮合线代表实际齿轮啮合所在的位置;实线啮合线代表无误差时啮合线所在位置;下半部分的啮合平面内Fp为齿距的累计总偏差,上半部分的啮合平面内对中误差的在切片模型中的表示为f。

齿距误差符合正弦函数的变化规律所以不同的齿号对应的不同的齿距误差Fpz。

对中误差会使齿轮在啮合时产生轴向力,啮合开始时会导致齿轮产生窜动以及微小的转动,啮合平稳后其余啮合齿轮剩余的间隙λz,z代表齿号。

齿距与对中误差等效方法:将齿轮对应的误差通过坐标变化转移到接触线法线方向nEi。对于人字齿行星轮系的内啮合等效方法与外啮合一致。

(1)

(2)

φcmi=π/2-ψmi,ψmi=αt-φmi

(3)

(4)

图3 内外啮合相对位移图

1.2 潜在接触点的弹性变形与刚性位移

对于潜在点的弹性变形:在几何运动模型的基础上,行星轮系处于负载条件下,切片模型中每片上接触点的弹性变形δj分为宏观变形和局部变形两个部分,当切片份数足够多时,接触力作用点在接触线的中心。其中接触点的宏观变形包含齿轮整体的弯曲-剪切变形,与载荷呈线性关系;局部变形是指该实际啮合齿面上的潜在啮合点的接触变形,如式(6)所示。

δj=δhj+1δbj+2δbj

(5)

式中:1δbj、2δbj表示齿轮1、齿轮2的接触点j的弯曲-剪切变形,δhj表示接触点j的接触变形。

对于人字齿轮切片模型在任意一个啮合位置的接触可将其当作接触的圆柱体,圆柱体的半径即为两个齿轮的在接触点的法向曲率半径。对于斜齿轮来说,接触点的法向曲率半径不同,根据GW理论[8]线接触弹性接触变形的计算公式,对潜在切片接触点的变形求解:

(6)

通过公式计算接触柔度矩阵:

λhj=uhj/Fj

(7)

[λh]=diag([λh1,λh2,…,λhnsp(nrp)])

(8)

计算其整体的柔度矩阵:

[λm]=1[λb]+2[λb]+[λh]

(9)

太阳轮或内齿圈与行星轮发生接触沿接触线法线的弹性变形向量为:

(10)

式中:λsp、λrp分别为外啮合与外啮合的整体柔度阵,将通过下一章有限元方法获得齿面网格节点的柔度矩阵辅助获得。

对于潜在点的刚性位移:在人字齿内外啮合的过程中,各齿轮的轮体的六自由度刚体位移会使每一对啮合的薄片产生沿接触线法线方向的刚性位移。

人字齿行星轮系的内外啮合啮合副如图4所示,太阳轮、行星轮和内齿圈的轮体六自由度运动需要将其转换到啮合线法线方向,因此根据如图4所示的关系可建立投影矩阵则内外啮合产生的啮合副之间的刚性位移为:

图4 内外啮合时位置关系

(11)

式中:Gs/Gr、Gsp/Grp为内外啮合的六自由度的投影向量组成的矩阵,rbm分别为太阳轮s、内齿圈r、行星轮p的基圆半径,φm表示各齿轮的刚体六自由度列向量。

图4中,l1k、l2k、l3k为在啮合平面上第k条啮合线齿宽中部的啮合点到N1、N2、N3的距离,ηn为Sm人字齿某一啮合点到其啮合线延长治齿宽中部的距离。

1.3 变形协调方程

基于上文的接触点的弹性变形,刚性位移以及制造误差,建立变形协调方程。切片理论接触线长度足够小,可将负载通过施加在线段中心的集中力来表示。通过变形协调方程求解各齿轮啮合过程中的接触力。假设齿轮中两个啮合薄片之间的初始间隙为εj,行星轮与太阳轮/内齿圈在某任一啮合时刻分别有nsp/rp个接触对。

对于薄片受载后的每一个接触对最终间隙Ym表示如式(12)所示,其之间的关系如图5所示。

图5 某薄片接触对的各变形示意图

Ym=εm+δm-Um

(12)

(13)

式中:

Yrp=[Y1…Ynrp]TYsp=[Y1…Ynsp]T
δsp=[δ1…δnsp]Tδrp=[δ1…δnrp]T
εrp=[ε1…εnrp]Tεsp=[ε1…εnsp]T
Usp=[U1…Unsp]TUrp=[U1…Unrp]T

当最终间隙等于0时,两薄片接触对之间的啮合力大于等于0;若两薄片没有发生接触,则最终间隙大于0,则接触力等于0。

1.4 人字齿行星轮系的力和力矩平衡方程

建立行星轮系中各个组件的力和力矩的平衡方程,为求解啮合力引起的接触点的弹性变形。

太阳轮和内齿圈受到的外负载,需要由行星轮组的啮合力与轴承支撑力平衡,此处的啮合力向量需要从啮合平面里的法向接触力投影到各齿轮的动坐标系下即:

(14)

式中:Fqp表示太阳轮或内齿圈与行星轮之间接触点的啮合力,Kq表示太阳轮或内齿圈的轴承的刚度矩阵,Φq表示齿体刚体位移。

行星轮与太阳轮和内齿圈的啮合接触力需要与行星轮的轴承支撑力相平衡因此行星轮的受力为:

(15)

将轮系各部分力和力矩平衡方程整合,得到系统的力和力矩平衡方程:

(16)

1.5 人字齿行星轮系运动方程与传动精度表达式

通过平衡方程以及变形协调方程可得到人字齿行星轮传动系统的运动方程:

(17)

TE=θsz

其传动误差存在太阳轮轮体的绕z轴转动的转角中。

2 基于有限元柔度矩阵求解啮合柔度矩阵

运用ANSYS通过子结构法得到模型中接触齿面网格节点之间的柔度矩阵,以此为基础,求得切片接触点之间的柔度矩阵。

2.1 有限元子结构节点柔度矩阵求解

ANSYS中建立每一个齿轮的一个完整有限元模型和一个局部有限元模型来获得齿轮的弯曲-剪切变形系数。完整有限元模型如图6左图所示,只对模型的中心孔处施加全约束,轮齿与齿体的弹性模量相同。局部模型中心孔处施加全约束,且在非工作齿面施加约束,齿体的弹性模量的设置为轮齿弹性模量的1000倍[9]如图6右图所示。在完整有限元模型的齿面上施加单位法向力计算齿轮的总体变形。在局部模型中的齿面上施加反方向的法向力,用来抵消总体变形中失真的接触变形,从而获得轮齿的弯曲-剪切变形。

图6 弯曲-剪切分离的有限元模型

建立局部有限元模型目的是仅保留齿轮的接触变形。因此接触齿面的网格节点的柔度矩阵即为:

(18)

在ANSYS子结构方法中,将节点分为外部节点和内部节点,由于内部节点的位移不加以考虑,因此通过子结构方法形成柔度矩阵的时候将内部节点的自由度全部凝聚掉,不再考虑内部节点自由度问题,从而获得仅有外部节点的刚度矩阵,柔度矩阵为刚度矩阵的逆。按照接触点顺序对获得的柔度矩阵组装。在有限元模型中接触区域采用的是粗网格减少网格的数量可以提高计算效率。该方法获得齿面节点的柔度矩阵,将齿面节点的柔度矩阵作为已知条件。

2.2 接触点的剪切-弯曲柔度矩阵求解

通过上节局部与完整模型齿面节点柔度矩阵运用形函数插值法运算获得齿面潜在接触点的弯曲-剪切柔度矩阵。

(1)确认潜在接触点所对在的齿面网格单元以及其单元对应的节点坐标,获得潜在接触点与其对应节点的形函数。

(2)接触点j受到负载产生接触力后,会导致接触点产生3个方向的位移,接触点所受到的载荷通过形函数可以表示出网格节点各自由度所受到的力,然后获得该潜在接触点所受到的接触力对所有网格节点产生的位移。

(3)获得所有齿面节点所受到的载荷后的各自由度位移。再通过形函数获得潜在接触点j对其他潜在接触点的剪切-弯曲柔度矩阵,经过迭代计算出所有完整与局部模型潜在接触点与潜在接触点之间的剪切-弯曲柔度矩阵。

(4)将获得的完整与局部模型所有接触点之间的剪切-弯曲柔度矩阵进行相减,获得该齿轮齿面的剪切-弯曲柔度矩阵。

本章使用有限元法的子结构方法建立的完整与局部有限元模型获取齿面网格节点的刚度矩阵,再通过解析法的变形协调条件和力和力矩的平衡方程,构建了整个系统的控制方程,结合齿面网格节点的柔度矩阵,运用形函数思想获得接触点的柔度矩阵,获得啮合齿面接触点的柔度矩阵。下文使用半解析方法通过案例对该方法进行正确性验证以及进行制造误差对传动精度的求解。

3 仿真实例

3.1 计算模型的验证以及效率的提升

对本文的半解析法模型求解方法采用ANSYS验证,由于本文人字齿行星轮系的模型大,耗时长,因此将人字齿行星轮系的验证分为内外啮合分别验证的方式,对半解析方法进行正确性验证。

本验证案例中,使用的内啮合的齿轮参数如表1的内齿圈与行星轮一致。

表1 人字齿行星齿轮参数

表2 行星轮系各齿轮制造误差的参数 (mm)

在啮合周期内,以在主从动轮节点处啮合位置,即主动轮转角为0°时刻,施加的转矩为300 N·m,对内啮合进行网格无关性验证,结果如图7所示,当网格划分总份数到55时传动误差趋于稳定,存在收敛解,因此本文在验证时采用划分网格为60时,传统有限元方法与本文方法计算的传动误差进行对比。

图7 网格无关性验证 图8 理想情况ANSYS与MATLAB数据对比图

图8为内啮合的ANSYS仿真与本文模型计算结果对比图,横坐标为转一个齿距角的角度分为10个时刻,其主动轮转角的每一时刻对应的对比结果均在5%以内,因此可以验证本文计算结果的正确性。根据文献[10]验证了斜齿轮外啮合的特点,其使用的计算模型与ANSYS仿真结果保证了外啮合半解析法的准确性。

并且本文计算方法计算时长为33.998 s,而ANSYS计算一个周期的传动误差需要180 min计算效率提升近317倍。

3.2 误差对人字齿行星传动精度的影响

以3个行星轮的行星轮系为例参数如表1所示,使用表1中的齿轮建立的人字齿轮行星传动精度模型,通过编程实现本文的建模,并分析无误差和存在两种不同误差单独作用时对传动误差的影响,取得传动误差的曲线,并进行分析。

上文制造误差将会代入几何模型中,在本文中εm表示为啮合线法线方向的初始间隙,因此将上述误差经过坐标变换转换到初始间隙中实现制造误差在几何模型的添加。本文分析案例中,选取六级制造精度的制作误差,按照国标进行选取[12]。

对中误差取值为其规定的范围的区间如内齿圈对中误差取值为-23 mm～23 mm。

(1)无制造误差。给与太阳轮施加转矩为50 N·m工况下的人字齿行星传动,当制造误差均为0时,对行星轮系进行传动误差的求解,得出传动误差图像,该图像表示将齿轮旋转一个齿距角的角度分为20个时刻,每个时刻分别求得传动误差的值,如图9所示,对于图中造成的波动原因是在齿轮传动过程中,主从动轮对应啮合齿数在不同时刻发生变化导致传动误差波动,当传动误差最低点时齿轮的啮合齿数最多,反之最少。

图9 不存在误差下的传动误差

(2)存在齿距误差。分析齿距误差对传动误差的影响施加负载情况下,各齿轮分别嵌入四级、五级、六级齿距误差。通过半解析模型求得计算结果如图10所示,通过分析可知,在齿轮存在齿距误差的情况下,对于齿轮传动误差的影响主导为齿距误差,因此会出现与无制造误差的传动误差曲线变化不同的形状,且由于不同的齿数存在不同的齿距累积误差,因此当该齿数、齿距累积误差较大时,造成的传动误差也相应较大。

图10 不同精度齿距累积偏差造成传动误差 图11 对中误差造成的传动误差

(3)存在对中误差。图11为六级精度下的对中误差造成的传动误差变化,太阳轮、行星轮和内齿圈嵌入对中误差的范围为3.7～2.7×10-5rad,由于制造误差并没真实测量,因此在六级精度范围下获得该图。通过分析该图可知,齿轮不同的对中误差会导致类似于齿距误差的情况,但是由于对中误差会导致齿轮存在偏小的轴向窜动,会导致对中误差对传动误差的影响较小于齿轮的制造误差。

4 结论

为提高人字齿行星轮系传动精度的计算效率以及计算精度等问题,提出一种半解析建模的研究方法,结论如下:

(1)使用半解析方法获得的传动精度计算结果可以明显改善传统方法对于传动精度求解时间长,求解精度不准确等问题。

(2)将制造误差尤其是对于人字齿轮的对中误差对传动精度的影响通过本方法进行求解,能够更加直观的预测出行星轮系受制造误差影响时传动误差的变化规律。

(3)通过案例分析结果,分析出人字齿行星轮系在传动过程中,对中误差对传动精度的影响时小于齿距误差对传动精度的影响。