SMA驱动器的反步自适应NN控制*

姚茂鑫,李 康,b

(四川大学a.电气工程学院;b.华西医院生物医学大数据中心,成都 610041)

0 引言

形状记忆合金(shape memory alloy,SMA)作为一种智能材料,具有内在顺应性、低驱动电流、生物相容性、无噪音、高力质比等特点,引起了学者和工程师的极大关注。目前,由SMA驱动的系统已在多个领域得到应用,如工业制造、机器人、航空航天、汽车等[1-2]。SMA在受到热刺激时,其晶体在马氏体相变和奥氏体相变之间产生驱动力和形变,这种过程是迟滞非线性的,且伴随参数不确定性[3]。因此,要获得良好的轨迹跟踪控制挑战性极高。

为了降低SMA迟滞的影响,以往一些研究的解决方案采用逆迟滞模型,利用前馈控制器对迟滞进行补偿[4-5]。目前,也有一些学者通过建立较为准确的数学模型并结合一些鲁棒控制方案(如滑模控制,自适应控制等)实现对SMA驱动器的轨迹跟踪[6-7]。然而,这些基于模型的控制有如下缺点:①需要耗费大量时间和工作辨识模型参数;②由于模型辨识过程是离线进行的,当SMA驱动器的负载和输入信号频率发生变化,模型误差将会增大。 传统的控制方法(如PID、H∞、变增益控制等)虽然无需迟滞模型,但线性控制无法保证非线性下的跟踪性能[8-9]。

针对上述问题,本文结合了反步控制、自适应控制和神经网络的技术特点,提出了一种针对SMA驱动器的轨迹跟踪控制方法。RBF神经网络被用于估计SMA驱动器系统的非线性函数,自适应律被用于实时更新神经网络的权值。本文所提出的控制方法不仅解决了对SMA迟滞的补偿问题,而且具备无模型、快速响应、鲁棒性强、复杂度低的特点。

1 SMA驱动器与实验装置

SMA驱动器结构如图1所示。驱动器由SMA丝、弹簧、同步轮组成。驱动器通过SMA丝和弹簧产生的拉力和位移带动同步轮转动。SMA丝通过电压加热产生收缩力和位移,弹簧则提供恢复拉力。另外,一个编码器与同步轮同轴,使所设计的驱动器具备位置反馈的能力。

图1 SMA驱动器结构

图2为控制系统实验装置。实验装置中的控制器是TI公司的C2000实时微控制器,它采用DSP核,在同样主频下的运算性能可以达到Con-M核的2～3倍。采用高精度编码器测量SMA驱动器旋转角度,反馈信号通过C2000内部的A/D转换处理。SMA驱动器的控制电压由C2000经过D/A转换给功率放大器获得。该装置通过上位机中的Simulink实时工具箱进行实时控制和数据监控,所有实验的采样时间均设置为0.000 1 s。

图2 控制系统实验装置

2 SMA驱动器数学模型

2.1 驱动器动力学模型

如图1所示,SMA驱动器的动力学模型可根据牛顿定律和动量矩定理可得:

(1)

式中:J、c、k、mL、g、rs、rL分别为转动惯量、阻尼系数、弹簧刚度系数、负载质量、重力加速度、同步轮半径、负载力臂,τs(σ)是SMA丝产生的扭矩,σ是皮奥拉-基尔霍夫应力。

2.2 SMA丝数学模型

在文献[10]中所述,SMA丝的数学模型可以表示为4个子动力学,即焦耳加热和传热、相变、应变和电阻。

2.2.1 焦耳加热与传热

(2)

式中:Λ表示单位长度的质量,cp表示比热容,T表示SMA丝的温度,ch表示对流换热系数,Ac表示SMA丝单位长度散热面积,R表示单位长度电阻值,输入u=I2,I为电流,cp和ch是关于温度的函数,表示为:

cp=b1+b2erf((T-m1)/n1)

(3)

(4)

式中:下标为i的ai、bi、mi和ni是常数。

2.2.2 相变模型

SMA的滞回行为与马氏体-奥氏体相变有关。这可以用Duhem微分滞后模型来描述,该模型表示马氏体分数(ξ)与温度之间的关系,如下所示:

(5)

式中:ξ(0)=1,下标+和-分别表示迟滞回路中相位的上升和下降,g±和h±由下式给出:

(6)

式中:μ±和c±分别表示平均值和协方差值,它们决定了迟滞环的形状。

2.2.3 应变

SMA丝的应变通常取决于弹簧的刚度、预张应力和SMA材料的物理参数。总应变(ε)可以近似为关于ξ连续形式的多项式,如下所示:

ε=ε0+k1ξ+k2ξ2+k3ξ3

(7)

式中:k1、k2、k3是常数。

2.2.4 电阻

SMA丝的电阻由温度和马氏体分数表示:

(8)

式中:L0和ρ分别为未变形SMA的长度和密度,ρa和ρm分别为奥氏体和马氏体的电阻率,可由如下表示:

(9)

式中:p1、p2、p3、q1、q2和αi(i=1,…,9)是常数。

综上所述,SMA丝的数学模型可以表示为二阶系统的状态变量形式为:

(10)

(11)

3 控制系统设计

3.1 问题描述

由于SMA丝产生的扭矩应用于图1所示的系统,如第2节所述,我们可以把SMA驱动器系统动力学方程(1)改写为:

(12)

(13)

这里g(x1)取决于SMA电阻和变形,其值受相关参数范围的限制,所以作出以下假设:

(14)

3.2 反步控制律设计

步骤1:定义x1d=xd,e1=x1-x1d,则:

为了实现e1→0,定义Lyapunov函数为:

(15)

则

(16)

步骤2:为了实现x2→x2d,取误差项

e2=x2-x2d

则

为了实现e2→0,e1→0,设计Lyapunov函数为:

(17)

则

设计控制律为:

(18)

式中:c2,η>0。

则

(19)

3.3 RBF神经网络

RBF神经网络能有效地逼近任意连续非线性函数,采用RBF神经网络逼近未知连续函数f(x),存在理想的权值向量w*∈RN,使得神经网络w*h(x)可足够逼近给定函数并且逼近误差绝对值不大于εM,即:

f(x)=w*Th(x)+ε*

式中:x为神经网络的输入,ε*为逼近的误差且满足ε*≤|εM|,h(x)∈RN为高斯基函数,且有:

图3 RBF神经网络结构

定义:

(20)

(21)

3.4 自适应律设计与稳定性分析

由式(18)和式(20):

(22)

设计Lyapunov函数为:

(23)

式中:γ1,γ2>0。

则:

设计神经网络自适应律为:

(24)

由式(13)和式(17)可知,需要设计一种映射自适应算法,一方面确保所估计的g在合理范围内,另外一方面防止控制律奇异。

(25)

取η≥εM1+εM2u,则存在η0>0,使:

则:

4 实验结果

为了验证所提出的控制方法的有效性,进行了带负载下的正弦跟踪和扰动实验,并与PID控制器对比。

4.1 f=0.05 Hz轨迹跟踪

实验过程中所设计的控制器参数c1=3.5,c2=5.8,η=0.1,自适应律参数取值为γ1=0.25,γ2=1.0,神经网络结构分别为2-11-1和1-11-1,负载质量mL=0.4 kg。为了定量描述轨迹跟踪的精度,定义了均方根误差(root mean squared error,RMSE)指标函数。

从图4的轨迹跟踪情况和跟踪误差结果可以看出,在轨迹跟踪频率f=0.05 Hz(幅值5°～15°)下PID的控制跟踪效果相对较差,主要体现在上升阶段跟踪的波动较为剧烈,其中PID控制下的最大误差为2.46°,而所提出的反步自适应神经网络控制下的最大误差仅为0.93°。虽然在下降阶段PID控制能较好地跟踪上轨迹,但是从控制电压输出可以看出,PID控制输出抖动较为剧烈。另外,为了能符合实际工业控制的安全性和节能性要求,一般要求尽可能低的控制电压,可以看出本文所提方法的最大电压不高于10 V。所提出的方法的能优于PID控制,从神经网络的逼近结果可以看出,主要得益于自适应神经网络的优秀的逼近能力。通过采样点数据,计算出0～80 s过程的RMSE,其中PID控制下的RMSE为0.370 9°,本文所提的控制方法下的RMSE为0.352 1°,结果再次证实了所提出的方法在SMA驱动器的轨迹跟踪上有优秀的控制效果。

图4 f=0.05 Hz轨迹跟踪

4.2 f=0.1 Hz轨迹跟踪

我们提升跟踪频率到f=0.1 Hz,从图5可以看出,本文所提出的控制方法无论是在上升阶段还是下降阶段仍然能较好地跟踪。通过采样点数据,计算出0～60 s过程的RMSE,其中PID控制下的RMSE为0.511 1°,本文所提的控制方法下的RMSE为0.405 3°。PID在提升频率后RMSE增加了约37.8%,变化较为明显,然而本文所提出的方法只增加了15.1%。

图5 f=0.1 Hz轨迹跟踪

4.3 抗干扰实验

在这部分中,跟踪频率f=0.05 Hz,直接在时间tbegin=3 s,23 s,43 s,63 s和tend=8 s,28 s,48 s,68 s之间的控制输入中增加一个阶跃扰动ud=1.5 V,系统总输入为u=uc+ud,其中uc为控制器的控制输出。由图6可以发现,由于添加了扰动ud,不确定性发生了变化,这种变化被提出的自适应RBF神经网络捕获和补偿,然而PID在扰动区tbegin和tend附近存在较大的振荡,未能很好地补偿扰动的影响。通过采样点数据,计算出0～80 s过程的RMSE,其中PID控制下的RMSE为0.421 7°,本文所提的控制方法下的RMSE为0.355 7°。与4.1节所述的无扰动情况下的实验结果相比,本文所提出的方法在受到扰动后RMSE变化并不明显,仅仅只增加了1.02%,而PID控制增加了13.7%,这也再次证明了本文所提出的控制方法的有效性和鲁棒性。

图6 抗干扰实验

4.4 控制前后迟滞环对比

开环控制和闭环控制系统输入输出之间的滞回曲线如图7所示。滞回曲线是由频率为f=0.05 Hz的正弦信号下的第2、3个周期获得。在期望轨迹和实际轨迹输出之间观察到一个近乎线性的关系,由于存在跟踪误差,所以仅有较小的滞后效应。应用控制器前后结果表明,所提出的反步自适应神经网络控制方法对SMA驱动器的轨迹跟踪和迟滞补偿是有效的。

图7 应用控制器前后迟滞环对比

5 结束语

本文针对SMA迟滞非线性特性下的轨迹跟踪问题,提出了一种反步自适应神经网络的控制方法。根据SMA驱动器的数学模型中的4个子动力学,分析了在相变过程中的迟滞非线性特性的原因,并推导出系统的状态方程。由于反步控制方法在处理非线性与不确定性系统上具有明显优势,本文结合RBF神经网络的优点,对系统中的非线性和不确定性逼近,解决了以往控制对数学模型的依赖问题,并设计出自适应律在线更新神经网络的权值,证明了系统在Lyapunov下的闭环稳定性。通过频率f=0.05 Hz和f=0.1 Hz的正弦跟踪实验,表明了本文所提出的控制方法在跟踪精度上优于传统的PID控制。在受到扰动后本文所提出的方法的RMSE变化并不明显,仅仅只增加了1.02%,而PID控制增加了13.7%。最后,对开环控制和闭环控制系统输入输出之间的滞回曲线对比,证明了本文所提的控制方法对迟滞补偿是有效的。综上所述,本文所提出的控制方法具备无模型,复杂度低,精度高,鲁棒性强的优点,对SMA驱动器应用于工业生产与制造具有实际意义。