一个三元轮换对称不等式及其推广的证明①

叶瑞松

(汕头大学数学系 5150630)

由于对称不等式形式优美,结论耐人寻味,其论证方法和论证过程更有各种便捷巧妙的技巧,对称不等式相关的研究是一个很有生命力的研究领域,可以说是集中体现数学之美的一类研究.[1-5]文[1]证明了三元对称不等式的定理1.

文[1]用“微分法”给出了定理1的证明,证明过程繁琐,难于理解.后来,文[2]和[3]分别用初等方法给出比较简单的证明.文[4]利用数学归纳法将定理1进一步推广到更一般的形式,即下面的定理2.

证明采用基本不等式进行证明.

由算术-几何平均不等式得到

证明完毕.

我们将定理3进一步推广到多元情况,得到定理4.

为了证明定理4,我们先给出引理1,然后用数学归纳法证明引理2的结论,再利用定理2,便可以得到本文定理4的证明.本文主要结果引理2和定理4来自引理1的启发,引理1可以由函数凸性得到,在文献[6]中有其简洁的证明.由于引理1在本文中所起的作用,我们将其简短的证明也提供出来,供欣赏参考.

证明由于b≥max{c,d},a+b=c+d,

所以b>a,c>a,d>a且

由f(x)的凸性得到

将上述两个式子相加,得到

f(a)+f(b)≥f(c)+f(d).

引理2如果f(x)是(0,∞)上的凸函数,0

所以,n=2时,引理2结论成立.

假设n=k,k∈N+时,下面不等式成立:

则当n=k+1时,

由于不等式具有轮换对称性,不妨假设xk+1≤min{x1,…,xk},则

所以由引理1知道

从而

所以当n=k+1时,引理结论成立.

由数学归纳法知道,引理结论对任何正整数均成立.证明完毕.

去掉对数,由定理2的结论,得到

证明完毕.