跨学科视角下音乐融入数学课堂的项目式学习——以“设计并制作尤克里里”为例

程 慧 徐斌艳

(1.上海外国语大学松江外国语学校 201620;2.华东师范大学教师教育学院 200062;上海市“立德树人” 数学教育教学研究基地 200241;华东师范大学课程与教学研究所 200062)

2022年4月,教育部发布了《义务教育数学课程标准(2022年版)》,与2011版课标相比,新课标更加注重学科实践和跨学科融合,注重跨学科任务式学习[2],要求学生能在活动中综合运用数学及其他学科知识解决问题,体会数学知识的价值以及数学与其他学科的关联,形成和发展模型意识、创新意识,提高解决实际问题的能力,形成和发展核心素养.

跨学科项目式学习对于培养学生创造性思维、批判性思维、团队沟通与合作等能力至关重要,但可应用于课堂的跨学科项目式学习资源目前并不多.在2020年文科高考数学全国二卷中,曾出现了一道与音乐知识相结合的选择题.实际上,音乐和数学之间有着密不可分的联系.音乐中的元素,如音符与节拍、旋律与曲谱、和谐与乐音等,就蕴含着数学上的分数、图形的运动、相似三角形以及等比数列等知识[3].本研究以某初中九年级学生为对象,结合5EX设计模型,基于音乐中的十二平均律在制作乐器上的广泛应用,设计并实施跨学科视角下音乐融入数学课堂的项目式学习,旨在通过课程的实施探究与音乐相结合的数学项目如何设计,为一线教师提供具有一定参考性的初中数学跨学科教学案例.

1 跨学科项目式学习简介

对于跨学科项目式学习,刘景福等、李志河等人均指出要从真实的、学生感兴趣的具体项目出发,以促进学生知识和技能的提升为项目目标,在学习活动中注重合作以及多种信息资源的运用[4].2007—2016年间,国内项目式学习研究主要集中在“理论模式研究”、“评价体系研究”、“实施应用研究”、“教学设计研究”以及“问题与对策研究”等五个领域,其中“教学设计研究”仅占比4%[5].

然而,在跨学科项目式学习中,最核心、最重要的问题就是活动的设计.在跨学科项目设计模式方面,余胜泉等在教学分析的基础上,以“项目或问题”为核心立足点,构建了由教学分析、学习任务设计、工具与资源设计、学习支架设计、学习活动设计、学习评价设计、总结与强化练习以及项目方案试用与改进八个部分所组成的教学设计模式[6].李克东等构建了跨学科学习活动5EX设计模型,包括进入情境与提出问题、探究学习与数学应用、工程设计与技术制作、知识扩展与创意设计、多元评价与学习反思五个活动部分[7].

图1 跨学科学习活动5EX设计模型

本文将结合跨学科学习活动5EX设计模型,基于音乐中的十二平均律在制作乐器上的广泛应用,进行将音乐融入数学课堂的跨学科项目式学习活动设计,并进行课堂实践.

2 “设计并制作尤克里里”活动设计

2.1 活动相关知识

在本项目中,学生需要接触到音乐和数学两方面的相关知识.

(1)音乐:和谐的乐音

①基音与泛音

发音体整体振动产生的音,叫做基音,比如吉他上一根完整的弦发出的声音;发音体部分振动产生的音,叫做泛音,比如按住吉他上的某个品丝仅部分弦长发出的声音;基音和泛音结合一起而形成的音,叫做复合音,日常我们所听到的声音多为复合音.

弦长越长,频率越低;弦长越短,频率越高,即频率与弦长成反比,例如,按住整根弦长的中点处,我们可以得到频率是基音2倍的泛音.当泛音和基音的频率比值越是简单的整数比时,我们越会觉得声音好听.

②十二平均律

音程,指音与音之间的距离,其单位名称叫做度,这里的距离指的是频率比之间的差距.所谓八度,指频率比为2的音程.比如我们熟悉的“do re mi fa sol la si”,后一个“do”的频率是前一个“do”的两倍.

图2 十二平均律示意图

(2)数学:频率比、整数比、弦长比、相似比

图3 单弦吉他制作示意图

2.2 进入情境,提出问题

音乐无时无刻地不存在于我们的生活当中,比如早起的闹钟铃声、学校里的下课铃、商场里的促销音乐等等.钢琴、吉他、古筝等乐器都能发出悦耳动听的乐声.然而,该怎样制作出这些乐器呢?

首先,教师为学生提供相关影像资料、用尤克里里进行简单的演奏,激发学生的学习兴趣.其次,由教师和学生提出与本主题相关的问题,如尤克里里由哪几部分组成?为什么越往下音调越高?等等.最后,教师可以给学生提供可以弹奏的尤克里里,让学生通过体验观察并进行思考和小组讨论,最终汇报小组对于尤克里里组成部分的结论.教师进行补充并总结.

2.3 探究学习与数学应用

本环节主要探究如何确定尤克里里指板上品格之间的距离.教师提出一系列问题,引导学生发现背后隐藏的数学知识.

问题1:指板上品丝的作用是什么?

老师引导:缩短弦长,增加振动频率,从而音调升高.弦长和频率为反比例函数关系.

问题2:为什么指板上品丝之间的距离不是平均分的呢?

老师引导:频率比为简单的整数比才能发出乐音,进而介绍基音和泛音.

问题3:量一量指板上品丝间的距离,算一算,有没有什么规律?

问题4:到底该如何确定指板上品丝之间的距离?

老师引导:介绍伽利雷制作单弦吉他的方法.

2.4 工程设计与技术制作

本环节学生进行小组合作,利用老师分发的材料来制作尤克里里(此时的尤克里里大小与体验的尤克里里大小不同,避免学生直接使用已经测量的结论进行制作),聚焦于问题:能否想出办法利用每个音与前一个音的弦长之比,帮忙确定出每个品丝对应的位置呢?

2.5 知识扩展与创意设计

本环节为学生提供更加丰富的材料,如竖笛的制作材料、可以弹奏的吉他、钢琴上的黑白键图片、历史上的三分损益法等.这些乐器或者知识均与十二平均律有关,各小组自由选择是继续制作竖笛还是研究钢琴黑白键中的知识,教师为学生提供相应的学习单.最后,各小组进行展示,与全班同学分享交流自己小组的成果.

(1)钢琴中的十二平均律

请同学们探究钢琴上各音高的频率值,以及CDEFGAB七个音中相邻音之间是全音关系还是半音关系?

(2)历史中的十二平均律

三分损益法是中国最早的有关乐律理论和计算的方法,是中国音律学家在音乐发展史上做出的重要贡献.最早记载三分损益法的文献是《管子 · 地员篇》.“凡将起五音凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫.三而益之以一,为百有八,为徵.不无有三分而去其乘,适足,以是生商.有三分,而复于其所,以是成羽.有三分去其乘,适足,以是成角.”[9]

请同学们计算宫、徵、商、羽、角对应的音值并查阅相关资料,比较其与十二平均律的不同,解释为何如今广为采用的都是十二平均律.

(3)竖笛制作

竖笛也是我们所熟悉的十二平均律乐器,那么我们能利用十二平均律制作出一把竖笛吗?

(4)音乐与数学

音乐中有着我们难以想象到的数学知识,比如巴赫的钢琴曲《十二平均律》,而数学知识也可以转化成为音乐,比如用钢琴演奏的π之歌.请同学们搜集这两方面的音乐,解释其中的数学规律,并和其他同学一起欣赏.

2.6 成果建议及多元评价

项目式学习的成果形式丰富多样,可以是调查报告,口头汇报、也可以是小组展示.根据活动安排,项目的各个部分成果建议如下表.

本环节注重评价的多元性,包括教师评价、同伴互评与自我评价,即除了教师对各组进行评价外,也让组内成员进行了互评,以及让每位同学进行自我评价,这样能更好地发现存在的问题以及在本次活动中的收获.

3 “设计并制作尤克里里”活动实施与启示

考虑到九年级上学期正在学习相似三角形,与项目中的关键知识相关度高,故此项目以拓展课的形式在某中学九年级部分学生中开展.参与项目的学生经过招募活动自主报名,对于项目的兴趣较大,对项目的顺利进行起着重要作用.

活动先后开展两次,在第1次活动中教师在“工程设计及技术制作”环节前就已经介绍了伽利雷制作单弦吉他的方法,第2次活动中教师并未在此环节前介绍而是让同学们自己去思考探究.两次活动中对于确定品丝间距离的探究与制作过程部分呈现如下:

两次活动中共分为10个小组,无论教师是否介绍了伽利雷制作单弦吉他的方法,70%的小组都采用了逐个计算的方法,同学们还是倾向于先量出待制作的尤克里里上弦枕与下弦枕之间的长度,依据弦长比的关系,利用直尺按照计算出来的距离确定12个品丝所在的位置.最终与现成的指板相比,有一定的误差.学生的思维依然倾向于直接的数学计算,没有向高层次的思维发展.

仅有1个小组想到了利用不同尺寸尤克里里之间的相似性,利用23寸尤克里里上已有的距离数据算出待制作21寸尤克里里所需的数据,再用直尺确定12个品丝所在的位置.此种方法体现了学生深层次的数学思考,且能够灵活地运用可利用的工具资源,反映了学生在过程中的数学创造力[10].

其他小组迟迟不敢下手,在老师的提示下尝试利用伽利雷制作单弦吉他的方法,先量出了待制作的尤克里里上弦枕与下弦枕之间的长度,在草稿纸上先进行画图,再贴到尤克里里上找到了相对应的12个品丝的位置.

图4 活动部分过程

项目整体顺利进行,学生们的部分成果如图中所示,学生课后表示在课堂中非常深刻地感受到了数学和音乐的奇妙联系.同时通过活动的实施,对于之后的项目式学习实施有如下启示:

(1)跨学科项目式学习在主题以及内容的挑选上需摈弃理解起来难度大的、与学生最近发展区相隔甚远的内容.所跨学科的知识如若对于没有相关背景的学生来说,依然存在着较大的阻碍.在条件允许的情况下,跨学科项目式学习的开展需要尽量招募具有相关背景的学生或者请相关学科的老师提前教给学生相关内容,以便项目顺利开展.

(2)控制小组人数、预留破冰环节.以小组形式开展的项目式学习,开展效果会受到同伴人数、性格、参与度的影响.同伴人数越多,小组成员之间沟通起来难度就越大,建议授课教师控制每组人数.同时,招募来的学生彼此之间可能并不是很熟悉,马上开始活动成员们之间还是会比较羞涩,建议以小游戏、起组名、选小组长等方式帮助学生快速熟悉起来,便于后续活动的开展,尽量使每位同学都参与到活动中.

(3)同学科教师以及其他学科的教师进行协作教学.项目式学习过程中学生可能会有各种各样的疑问,在此类型活动的开展过程中,可多邀请其他老师(如数学老师、所跨学科的老师)进行协作教学.例如,每组可安排一名指导老师,除了答疑工作,还可以监督学生规范使用各种工具,提醒学生注意安全.

在“设计并制作尤克里里”活动中,学生们经历了独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等过程,综合运用数学和音乐领域的知识来发现和提出问题、分析和解决问题,学生们的运算能力、应用意识、创新意识等核心素养也在过程中得到了一定的发展.这也启发我们在常规的数学课程之外,融合其他学科领域的知识进行更多的尝试,促进学生核心素养的发展.