典型态势下水下攻防过程博弈策略研究

王中, 温志文, 蔡卫军, 王佩

(1.中国船舶集团公司 第705研究所, 陕西 西安 710077; 2.西北工业大学 航天学院, 陕西 西安 710072)

随着鱼雷精确制导技术的日益发展,潜艇的防御能力面临更加严峻的挑战。主动防御手段已经成为潜艇防御的主要方式之一。潜艇发现来袭重型鱼雷后发射反鱼雷鱼雷(anti-torpedo torpedo,ATT)实施拦截,同时采用机动规避策略进一步增大来袭重型鱼雷的追踪难度。这种攻防模式不同于以往雷艇之间的两方对抗模式,变为三方相互追踪-规避博弈模式。为了应对这种对抗模式,为ATT和潜艇设计可行的拦截制导律和规避策略迫在眉睫。三方攻防博弈场景涉及潜艇、ATT和来袭鱼雷。

李博文[1]以机动目标拦截为背景,采用矩阵对策博弈理论设计了拦截-规避两方博弈模式下的制导律。朱雅萌等[2]采用强化学习算法设计了机动博弈制导律提高飞行器的突防能力。苏山等[3]针对二对一拦截问题基于微分对策理论设计了协同对抗博弈制导律。Talebi等[4]针对多拦一的反导突防博弈场景,设计了3种不同的拦截博弈策略。Faruqi[5]针对导弹三方追逃博弈问题进行了研究,设计了基于最优控制理论的三方制导律。Singh等[6]在研究目标-攻击者-防御者的三方博弈问题时,采用微分对策理论来设计博弈制导律。Garcia等[7]将两方拦截问题转化为两方零和博弈问题,基于模糊评估设计在线任务规划的方法实现纳什均衡问题的求解。

反鱼雷鱼雷作为一种新型的“硬杀伤”武器,逐渐成为水下攻防的研究重点之一。李宗吉等[8]采用变结构控制方法设计了纵向拦截导引律。Ye等[9]设计了基于变结构控制的反鱼雷制导律。叶慧娟等[10]设计了双滑模控制器,提高了命中精度和制导鲁棒性。张锐等[11]设计了变指令周期最优滑模导引律,提高了拦截性能。孙振新等[12]建立了4种拦截模型,设计了不同距离下反鱼雷鱼雷的拦截策略。Wu等[13]建立了一个预先评估电磁发射反鱼雷鱼雷捕获概率的分析模型。从上述反鱼雷鱼雷制导研究现状可以看出,目前主动防御研究主要集中在反鱼雷鱼雷对目标鱼雷的拦截导引律研究,尚未从潜艇、反鱼雷鱼雷、来袭鱼雷三方攻防的角度开展博弈制导在水下攻防策略方面的应用研究。当前博弈制导研究主要集中在反导突防作战领域,由于反导拦截场景中拦截弹采取预测碰撞拦截方式,拦截弹速度小于目标速度,目标受弹道形式影响机动能力有限,这些与水下攻防场景中潜艇、反鱼雷鱼雷、来袭鱼雷的弹道、速度特性、机动特性相差较大,因此有必要开展水下攻防博弈策略研究。

本文以水下三方博弈对抗为背景,建立三方攻防的运动学模型,在考虑三方机动性能约束的条件下设计潜艇规避策略、ATT制导律,实现规避来袭鱼雷并主动拦截来袭鱼雷的防御模式。

1 三方交战运动学模型

三方攻防博弈问题可以看作2个两方追逃问题,分别是来袭鱼雷和潜艇的两方追逃问题及ATT和来袭鱼雷的两方追逃问题。因此,首先针对两方博弈问题建立运动建模。

首先在惯性坐标系中建立任意航行器的运动学方程为:

(1)

式中,变量为时间t的函数,xi,yi,zi分别为航行器i在惯性系中的位置;ui,vi,wi分别为航行器i在惯性系x方向,y方向,z方向的速度;axi,ayi,azi为航行器i在惯性系x方向,y方向,z方向的加速度。

考虑航行器之间的相对状态,其相对运动可描述为

(2)

式中:xij,yij,zij分别为航行器i相对于航行器j在惯性系中x方向、y方向、z方向的相对位置;uij,vij,wij分别为航行器i相对于航行器j在惯性系中x方向、y方向、z方向相对速度;axij,ayij,azij分别为航行器i相对于航行器j在惯性系中x方向、y方向、z方向的相对加速度。

为方便使用最优控制理论进行研究,将上述建立的运动模型用矩阵的形式进行描述

(3)

同样,可以把相对运动方程描述为

(4)

将两者合起来,可以统一描述为

(5)

逃逸方实施规避通过改变Aj来实现,追踪方实施拦截,通过Ai来实现。

2 微分博弈策略设计

2.1 两方非合作博弈问题表示

一般非合作两方博弈优化问题的性能指标函数如下

(6)

希望找出u1,u2,使得以下问题最优

(7)

对于两方追逃问题来说,追踪者希望找到最优控制u1在最小化末端脱靶量的同时尽可能减少能量消耗,而逃避者希望找到最优控制输入u2最大化末端脱靶量的同时尽量减少能量消耗。两方追逃问题转化为两方零和博弈问题,使用脱靶量和需用加速度来构造性能指标,为了获得追逃双方的最优博弈策略,将性能指标函数设计为

(8)

(9)

定义哈密顿函数为

(10)

式中,λ∈R6为协态向量。

(11)

终端条件为:

λ(tf)=SY12(tf)

(12)

(13)

将控制输入构建为系统相对状态的函数,假设λ为如下形式

λ=PY12+ξ

(14)

式中:P∈R6×6为矩阵黎卡提微分方程的解;ξ∈R6×1为矢量黎卡提微分方程的解。

因此

(15)

由λ表达式可得

(16)

(17)

由于方程(17)的解必须满足所有的Y12,所以它必须满足以下微分方程

2.2 三方博弈问题

根据两方追逃博弈运动模型,假设潜艇为j=1,ATT为i=2,来袭鱼雷为i=3,则相对运动由2个相对交战运动模型描述。鱼雷与潜艇的相对交战运动学模型可表示为

(20)

ATT与来袭鱼雷的相对交战运动学模型可表示为

(21)

对于来袭鱼雷和潜艇来说,建立微分博弈决策的性能指标J1为

(22)

对于ATT和来袭鱼雷来说,建立微分博弈决策的性能指标J2为

(23)

通过上述指标设计,将三方博弈攻防问题转化为2个双边极值问题即

(24)

这样一来就变成了2个两方追逃微分博弈制导问题,根据最优控制理论,可以定义2个哈密尔顿函数

(25)

根据最优解的必要条件,可以通过哈密尔顿函数相对输入的一阶偏导为0来获得。

(26)

(27)

哈密尔顿算子的最优条件也可以得到如下关系

假设λ1,λ2可以看作是由系统相对状态组成的函数,则λ1=P1Y31+ξ1和λ2=P2Y23+ξ2,这样就可以得到三方追逃策略为

(30)

由(26)～(27)式可得到P1,P2。ξ1,ξ2可通过求解如(31)～(32)式的矩阵黎卡提方程、矢量黎卡提微分方程获得。

式中,P1,P2称为黎卡提矩阵;ξ1,ξ2称为黎卡提矢量。

结合微分方程边界条件P1(tf1)=S1,ξ1(tf1)=0,P2(tf2)=S2和ξ2(tf2)=0,可推导最优策略的解析表达式。

3 三方博弈解析策略设计

(33)

可得三方制导干扰项为

(34)

这样根据(30)式可以获得潜艇最优博弈规避策略解析表达式为

(35)

ATT的最优主动博弈拦截制导律的解析表达式为

(36)

鱼雷的最优博弈攻击制导律的解析表达式为

(37)

4 仿真验证

假设潜艇速度为12 m/s,最大转弯角速度为1°/s,只在水平面内规避。ATT速度为25 m/s,最大转弯角速度60°/s,来袭重型鱼雷速度为30 m/s,最大转弯角速度为35°/s。

仿真态势设置:相对距离3 000 m,来袭鱼雷航向角为120°,ATT航向角为30°,潜艇航向角为0°,潜艇初始深度200 m,来袭鱼雷初始深度100 m。为了对比采用博弈策略的效果,假设ATT拦截命中重型鱼雷后,并不终止仿真,三方继续运行,来袭鱼雷继续攻击直至命中潜艇或脱靶。

4.1 工况一 来袭鱼雷采用比例导引律进行攻击

1) 条件1潜艇不采用博弈规避

潜艇不规避,来袭鱼雷采用比例导引律打击潜艇的仿真结果如图1～2所示。

图1 潜艇不采取博弈规避策略情况下两方水下运动轨迹

图1给出了潜艇不采取博弈规避策略下的潜艇和鱼雷的水下运动轨迹。由图2可以看出鱼雷采用比例导引律进行拦截时67.25 s可以命中潜艇,脱靶量为0.76 m。

图2 潜艇不采取博弈规避策略情况下鱼雷脱靶量

2) 条件2:潜艇采用博弈规避策略

潜艇采取博弈规避策略,来袭鱼雷采用比例导引律打击潜艇的仿真结果如图3～4所示。

图3 潜艇采取博弈规避策略情况下两方水下运动轨迹

图3为潜艇采取博弈规避策略下的潜艇和鱼雷的水下运动轨迹。由图4可以看出鱼雷在72.25 s可以命中潜艇,脱靶量为0.98 m。与情况1相比,潜艇采取规避后首次命中时间增加5 s,脱靶量增加27.5%,但由于机动能力相差近90倍,脱靶量仍然较低,仅靠潜艇规避很难保证自身安全。

图4 潜艇采取博弈规避策略情况下鱼雷脱靶量

3) 条件3:潜艇发现来袭鱼雷后发射ATT,然后进行博弈规避

潜艇采取博弈规避策略,并释放采用博弈制导律的ATT对来袭鱼雷进行拦截,来袭鱼雷采用比例导引律打击潜艇的仿真结果如图5～6所示。

图5 潜艇采取博弈策略情况下三方水下运动轨迹

图5为潜艇、ATT采取博弈策略,重型鱼雷采用比例制导律时三方水下运动轨迹。由图6可以看出鱼雷在72.25 s命中潜艇,脱靶量为0.98 m。ATT在52.55 s,命中鱼雷,脱靶量为0.63 m。由结果可知ATT命中鱼雷的时间早于鱼雷命中潜艇时间,且提前19.75 s,能够有效地保护潜艇的安全。

图6 潜艇采取博弈策略下鱼雷和ATT脱靶量

表1对工况一的3个条件进行性能对比,由条件2和条件1可知潜艇采用博弈规避策略后增加了鱼雷脱靶量,证明所设计潜艇的博弈规避策略有助于提高潜艇的防御能力。由条件3和条件2可知潜艇发射ATT后采用博弈规避策略,ATT在来袭鱼雷命中潜艇前可有效对其进行拦截,证明了本文所设计ATT博弈制导律的有效性。

表1 工况一 3种条件的性能对比

4) 条件4:考虑潜艇、来袭鱼雷、ATT测量值存在过程噪声,假设相对距离测量误差服从±2 %的正态分布,相对速度测量误差服从±1 m/s的正态分布。针对条件1,2,3分别仿真100次,3种条件下考虑过程噪声影响的性能对比如图7和表2所示。

表2 工况一 蒙特卡洛仿真3种条件的性能对比

图7 工况一3种条件下鱼雷拦截脱靶量累计分布概率图

由图7和表2中条件1和条件2的脱靶量统计性能可以看出,潜艇采用博弈规避策略后,增大了鱼雷拦截脱靶量,增加约18.7%。由图7和表2中条件2和条件3的脱靶量统计性能对比可以看出,由于鱼雷采用比例导引不会对ATT拦截进行规避,所以2种条件下总体来看潜艇博弈机动的效果基本相同,符合逻辑。

4.2 工况二 来袭鱼雷采用博弈导引律进行攻击

1) 条件1:潜艇不采用博弈规避

潜艇不规避,来袭鱼雷采用博弈导引律打击潜艇的仿真结果如图8～9所示。

图8 潜艇不采取博弈规避而鱼雷采用博弈制导律时两方水下运动轨迹

图8～9为潜艇不采取博弈规避策略而来袭鱼雷采用博弈制导律时潜艇和鱼雷的水下运动轨迹。由图9可以看出鱼雷在67.25 s可以命中潜艇,脱靶量为0.20 m。

图9 潜艇不采取博弈规避而鱼雷采用博弈制导律时鱼雷脱靶量

2) 条件2:潜艇作博弈规避

潜艇采取博弈规避策略,来袭鱼雷采用博弈导引律打击潜艇的仿真结果如图10～11所示。

图10 潜艇与来袭鱼雷两方均采取博弈策略时两方水下运动轨迹

图10～11为潜艇与来袭鱼雷两方采取博弈策略时的潜艇和鱼雷的水下运动轨迹。由图11可看出鱼雷在72.20 s可以命中潜艇,脱靶量为0.44 m。与条件1相比,潜艇采取规避后首次命中时间增加4.95 s,脱靶量增加120%,但由于机动能力相差90倍,脱靶量仍然较低,仅靠潜艇自身规避很难保证自身安全。

图11 潜艇与来袭鱼雷两方均采取博弈策略时鱼雷脱靶量

3) 条件3:潜艇、来袭鱼雷、ATT三方均采用博弈对抗策略

潜艇采取博弈规避策略,并释放ATT对来袭鱼雷进行博弈拦截,来袭鱼雷采用博弈策略规避ATT同时打击潜艇的仿真结果如图12～13所示。

图12 三方均采取博弈策略时三方水下运动轨迹

图12为三方均采取博弈策略时三方水下运动轨迹。由图13可以看出鱼雷在77.45 s命中潜艇,脱靶量为0.83 m。ATT在53.80 s可命中鱼雷,脱靶量为1.25 m,与条件2相比,鱼雷为了躲避ATT首次命中脱靶量进一步增大到0.83 m。而ATT命中鱼雷的时间早于鱼雷命中潜艇时间,且提前23.65 s,能够有效地保护潜艇的安全。

图13 三方均采取博弈策略时鱼雷脱靶量

表3对工况二的3个条件进行性能对比,由条件2和条件1可知,即使在来袭鱼雷也采用博弈制导律进行攻击的前提下,潜艇采用博弈规避策略后仍增加了鱼雷脱靶量,证明所设计的潜艇博弈规避策略可更加智能地适应攻防态势。由条件3和条件2可知,即使在来袭鱼雷也采用博弈制导律进行攻击的前提下,潜艇发射ATT后采用博弈规避策略,ATT在来袭鱼雷命中潜艇前可有效对其进行拦截,证明了本文所设计ATT博弈制导律可适应攻防态势对潜艇进行保护。从表1、表3中ATT拦截结果对比可以看出,来袭鱼雷采取博弈策略后,通过规避增大了ATT的脱靶量约33%,同时也增大了对潜艇的打击脱靶量约93%,证明了博弈策略的均衡性。

表3 工况二 3种条件的性能对比

4) 条件4:考虑潜艇、来袭鱼雷、ATT测量值存在过程噪声,假设相对距离测量误差服从±2%的正态分布,相对速度测量误差服从±1 m/s的正态分布。针对条件1,2,3分别仿真100次,3种条件下考虑过程噪声影响的性能对比如表4所示。

表4 工况二 蒙特卡洛仿真3种条件的性能比

在考虑过程噪声的情况下由表4、图14中条件1和条件2的脱靶量统计性能可以看出,潜艇采用博弈规避策略后,增大了鱼雷拦截脱靶量,增加约92.8%, 首次命中时间增加5.47 s。由表2、表4和图15可看出,来袭鱼雷采用博弈策略后,ATT拦截脱靶量增加了约18.2% 。由表4、图14中条件2和条件3的脱靶量统计性能对比可以看出,由于鱼雷为规避ATT的拦截,并未实现最优博弈导引律,导致对潜艇的打击脱靶量增加约25.9%,由工况一、工况二条件4仿真结果可以看出,引入过程噪声后,三方均不能实现最优博弈策略,但整体趋势与无过程噪声下结果一致,也从另一个侧面证明了本文所设计三方博弈策略的合理性。

图14 工况二 3种条件下鱼雷拦截脱靶量累计分布概率图

图15 工况一、二ATT拦截脱靶量累计分布概率图

5 结 论

本文针对典型态势下水下攻防过程博弈策略展开研究。从三方攻防的角度出发,建立了描述三方攻防过程运动模型。将三方博弈问题拆分为2个双方博弈追逃问题,设计了描述三方攻防博弈性能的目标函数,基于最优控制和微分博弈理论设计了主动防御的博弈策略和攻击方的博弈制导律。通过水下攻防过程2种典型工况下的仿真试验,验证了本文设计博弈策略的有效性。