考虑空间约束效应的隧道塑性区半径解析研究

姚 毅，来弘鹏，张 秦，刘禹阳

(1.长安大学 公路学院，陕西 西安 710064；2.中铁第一勘察设计院集团有限公司，陕西 西安 710043；3.长安大学 建筑工程学院，陕西 西安 710064)

深埋圆形隧道的弹塑性分析是一个经典问题,国内外学者开展了大量研究工作,Kastner解和Fenner解就是其中最具代表性的研究之一[1]。后续学者在求解过程中,通过应用不同的强度准则、本构关系、流动规则、限定条件等,得出了不同的解析解。文献[2-6]基于Hoek-Brown准则进行求解。侯公羽等[7]基于Levy-Mises本构关系进行理想弹塑性材料的求解,并和Kastner解、基于D-P准则的求解以及数值模拟进行对比。Park等[8]采用不相适应的流动规则,通过在塑性区定义三个不同的弹性应变进行求解,并分别对硬岩和软岩工况进行验证。文献[9-10]考虑了围岩的应变软化特性进行求解。Li等[11]推导了深埋圆形富水隧道应力与位移分布的弹塑性解,并通过FLAC3D软件进行了验证。蔡燕燕等[12]考虑围岩蠕变全过程与扩容效应,推导了深埋圆形隧洞非线性位移解。张丙强等[13]探讨了非达西渗流效应影响下的深埋隧道弹塑性解。

上述所有学者在求解中是将隧道开挖简化为“厚壁圆筒”问题,见图1。“圆筒”内径即隧道开挖内径,外径可视为无限大[10]。经典厚壁圆筒模型忽略了掌子面约束效应,所得解为围岩塑性区半径的上限解。实际工程中,隧道开挖较“厚壁圆筒”模型多了掌子面处的约束,见图2。文献[14]表明,该约束效应使得隧道掌子面附近一定范围的围岩塑性区为类似于“子弹头”的形状,塑性区半径将随着隧道掘进而不断发展。在同等围岩和支护参数条件下,不同的开挖进尺(如单次开挖0.5 m或1 m)所产生的围岩变形和塑性区扩展规律是不同的。此外,从动态设计和施工的角度,当塑性区发展至某一状态时,可根据工程实际改变支护参数和开挖进尺,塑性区将沿着新的路径发展。经典上限解不能完全解释这种特性,在动态设计和施工的理论支撑方面仍需进一步研究,因此,必须考虑掌子面空间约束效应影响进行修正。

图1 “厚壁圆筒”塑性区示意

图2 隧道开挖模型塑性区示意

在求解时的强度准则方面,Mohr-Coulomb准则[15]和广义Hoek-Brown准则[16]分别是文献中针对土质和石质隧道应用较多的两个二维准则。因此,本文主要基于Mohr-Coulomb和广义Hoek-Brown准则进行研究。

首先建立空间约束效应的等效模型,通过等效函数将约束效应简化为沿隧道纵向分布的虚拟支护力,并结合弹塑性理论进行两个强度准则下塑性区应力和半径公式的修正。然后,通过3种代表性岩体进行修正公式的算例应用,归纳和揭示了约束效应的本质属性及约束范围的求解方法,构建了约束效应、岩体参数和隧道支护力之间的动态关系。此外,本文通过岩体参数(c、φ)转换,探讨了空间约束效应影响下,Mohr-Coulomb和广义Hoek-Brown准则在计算塑性区方面的差异。

1 空间约束效应及其等效模型

隧道掘进本质上是由开挖引起的围岩应力动态调整过程[1]。初始应力状态下,围岩既是荷载本身也是承载主体,可视为未开挖部分的围岩承担了荷载,隧道开挖后荷载逐渐从围岩向支护结构转移。围岩压力非一次性释放,而是沿隧道纵向与掌子面不同距离处的开挖断面有不同的释放程度,一般情况下,开挖断面离掌子面越远,围岩变形和应力释放越充分。随着隧道掘进,掌子面与某个开挖断面的距离随时间增大,对该断面处的围岩约束逐渐减弱,围岩压力不断释放,在时间与空间上体现出约束效应,即掌子面约束效应[17],该效应可视为由掌子面虚拟承担了部分围岩未释放的荷载[18-19]。

借用这种虚拟支护力表达,本文提出一种空间等效模型,见图3。与掌子面前方距离x1的A截面,荷载全部由围岩承担,与掌子面后方距离x2的C截面,围岩传递的荷载全部由支护结构承担,那么其间的任意B截面上由掌子面虚拟支撑的荷载等同于围岩尚未释放的荷载。

图3 约束效应等效模型

用系数λ表征距掌子面x的B断面处围岩应力或位移的释放程度,即

( 1 )

式中:px、ux分别为与掌子面距离x时释放的应力和位移;p∞、u∞分别为可释放的应力和位移最大值。

则对应断面处围岩未释放的比例为1-λ,即掌子面对该断面提供的等效虚拟支护力为

pi(x)=p0(1-λ)=p0-p0f(x)

( 2 )

式中:pi(x)为与掌子面距离x断面的虚拟支护力;p0为围岩初始应力。

系数λ沿隧道轴向的函数曲线f(x)决定了等效模型的准确性,由式( 1 )的定义可知,f(x)等价于收敛-约束法中的纵向位移曲线(LDP),文献[14,20-22]等学者对此已开展相关研究。

一般情况下硬岩隧道开挖后,围岩应力释放速率快,软岩隧道释放慢,因此f(x)函数应反映出围岩特征的差异性[23]。对比发现,文献[20-22]的曲线基于某种特定围岩下隧道收敛值的非线性拟合,有一定的局限性,而Vlachopoulos等[14]引入最大塑性区过程值Rpmax,表征不同的围岩特性。对半径为r0的隧道,围岩条件不同则Rpmax不同,最终体现出不同的函数值,进一步研究发现Vlachopoulos等[14]曲线在某个特定围岩参数下可与其他三个曲线相重合,因而本文选定的f(x)函数为

( 3 )

式中:Rpmax为最大塑性区半径;r0为隧道开挖半径。

掌子面前方(x<0)为复杂的三向应力状态,因此,本文的等效主要指式( 3 )中x≥0部分。联立式( 1 )～式( 3 )可实现空间约束效应沿隧道轴线的等效虚拟支护力纵向分布,该虚拟支护力看作隧道支护力的一部分,则距掌子面x断面处的总支护力可近似看作

pi(x)=pi+p0(1-λ)

( 4 )

式中:pi为由隧道结构提供的支护力;λ取值为式( 3 )中x≥0部分。

2 考虑空间约束效应的塑性区求解

2.1 塑性区半径求解过程

二维简化力学模型见图4。以Fenner解和Kastner解为代表的深埋圆形隧道塑性区半径有成熟的求解过程[1],一般通过以下假定来简化力学模型:

图4 二维简化力学模型

(1)围岩均匀、连续、各向同性。

(2)围岩初始应力为静水压力分布。

(3)隧道有足够的深埋,且圆形截面尺寸沿轴线保持不变。

首先,塑性区范围应力求解。列出平衡方程为

( 5 )

式中:切向应力σθ和径向应力σr分别被视为第一主应力σ1和第三主应力σ3。

将拟选用的强度准则带入式( 5 ),考虑空间约束效应,此时r=r0处的边界条件由σr=pi∣r=r0变为式( 4 ),即σr=[pi+(1-λ)p0]∣r=r0,则塑性区范围应力解为

( 6 )

式中:塑性区的切向应力σθp和径向应力σrp分别可看作半径r和掌子面距离x的函数g1(r,x),g(r,x)。

其次,弹性区范围应力求解。可直接采用经典的厚壁圆筒问题弹性解[1],即

(7)

式中:σθe和σre分别为弹性区切向和径向应力;σR为弹塑性界面处的径向应力,考虑掌子面约束效应影响,该值也为x和r的函数,即σR=f(r,x);Rp为塑性区半径。

再次,在弹塑性界面上所求的塑性区和弹性区的径向和切向应力分别相等。

( 8 )

最后,联立式( 8 )中两个方程消去σR,得

(σrp+σθp)|r=Rp=(σre+σθe)|r=Rp=2p0

( 9 )

联立式( 6 )和式( 9 )即可求得对应强度准则下的塑性区半径公式。

假定围岩参数已知,如Hoek-Brown准则中的mb、a、s、σci、GSI或Mohr-Coulomb准则中的c和φ,经典平面应变模型中的隧道塑性区半径公式可看作支护力pi和隧道半径r0的函数,即

Rp=G(r0,pi)

(10)

考虑空间约束效应相当于引入了掌子面距离x这个变量,则该效应影响下的塑性区半径公式可表示为

Rp=G(r0,pi,λ)=G(r0,pi,x)

(11)

隧道围岩条件和开挖半径一旦确定,不同的掘进尺寸、结构支护强弱即决定了某一断面的塑性区范围和发展路径,后续结合强度准则进行详细说明。

2.2 Mohr-Coulomb准则下的求解

Mohr-Coulomb准则描述了破坏面上正应力σn和切应力τ间的线性关系,其形式简洁,仅有黏聚力c和内摩擦角φ两个参数,成为土木工程领域应用最广泛的准则之一[15],其主应力表达式为

σ1-σ3=(σ1+σ3)sinφ+2ccosφ

(12)

按照前文求解过程,式(12)带入平衡方程,并联立空间约束效应影响下的边界条件σr=[pi+(1-λ)p0]∣r=r0,则空间约束效应影响下的塑性区应力为

(13)

联立式(13)和式(9),得

(14)

化简式(14)并求解,则考虑空间约束效应的塑性区解析解为

(15)

式(15)为显式解,若不考虑约束效应,即λ≡1,该式退化为经典的Kastner解,即

(16)

(17)

式中:σcm为岩体强度;c、φ为岩体的两个参数,但岩体由于结构面的存在,无法通过室内试验直接获取,需进行等效代换。

2.3 广义Hoek-Brown准则下的求解

Hoek-Brown准则反映了岩石单轴抗压强度和岩体强度间的非线性关系,因而在隧道工程中广泛应用。该准则自提出后经过多次修正,其中广义Hoek-Brown准则[16]引入了地质强度指数GSI和扰动系数D,因而能较好反映隧道钻爆开挖过程,其表达式为

(18)

(19)

式中:σci为岩石的无侧限抗压强度;s、a、mi、mb为材料常数,和岩体性质与结构面情况相关;D为扰动系数,在0(未扰动)～1(剧烈扰动)之间取值。

同理,按照2.1节的求解过程,参照上文Mohr-Coulomb准则,考虑空间约束效应的塑性区解析解为

(20)

式(20)为隐式解,若不考虑约束效应,即λ≡1,该解析解可退化为曾钱帮等[5]、侯公羽等[7]的求解。

3 围岩Mohr-Coulomb参数的等效

Mohr-Coulomb准则下的解析解式(15)在计算时均需代入岩体参数c、φ。岩体本身由于结构面的存在,其值不能通过室内试验直接获取,需要间接等效。Hoek-Brown准则最大的贡献在于建立了完整岩石和岩体间的关系,因而Mohr-Coulomb参数一般都是通过Hoek-Brown来等效。

目前,主要有两种等效方法。一种是瞬时参数法,主要基于Balmer方程[24],通过严密的几何推导求解,文献[24-25]学者的思路都是基于此;另一种是Hoek等[16]提出的平均参数法,见图5。图中,σt为岩体抗拉强度。

图5 Mohr-Coulomb参数的平均等效

通过平衡主应力面上Mohr-Coulomb和Hoek-Brown准则与坐标轴围成的面积来求解。

(21)

(22)

σ3n=σ3max/σci

(23)

式中:σ3n是推导中的过程值,由最大围压σ3 max和岩石的单轴抗压强度σci来定义。

深埋隧道岩体强度σcm和最大围压σ3 max间的经验公式[16]为

(24)

(25)

式中:γ为岩体重度;H为隧道埋深。

瞬时参数法中c和φ是动态变化的,其中,随着破坏面上正应力的增加,内摩擦角φ单调递减,而c单调递增,求解时需要先确定破坏面上的正应力值,过程十分复杂。平均参数法形式简洁,本文后续的算例中通过式(21)～式(25)进行等效。

4 算例及分析

为验证掌子面约束效应的影响,并对比两个强度准则下隧道塑性区半径解析解的差异性,本文从文献[14]中选取3种代表性的围岩进行计算。围岩A为一种埋深约1 100 m的软弱千枚岩,初始应力p0为通过Hoek-Brown公式预估的岩体强度σcm的10倍。围岩C为典型的硬岩,岩体强度σcm为围岩A的5倍。围岩B为中硬岩,强度约为围岩A的1.68倍。算例参数见表1[14]。

表1 围岩参数

4.1 塑性区上限

表2 最大无量纲塑性区半径结果

由表2可知,硬岩C情况下,Mohr-Coulomb准则和广义Hoek-Brown准则计算出的塑性区上限值基本一致,并和Vlachopoulos等的模拟值结果较接近;中硬岩B情况下,两个准则计算的结果均接近模拟值,最大误差分别为8.6%、5.7%,其中采用Mohr-Coulomb准则计算的结果相对偏小;软岩A情况下, 两个准则间的计算结果差异较大,采用广义Hoek-Brown准则计算的结果高出约29.3%。表2结果进一步验证了Hoek等[16]提出的岩体c、φ等效方法,表明该等效法在硬岩和中硬岩情况下较符合,在软岩情况下有一定偏差,应用时应慎重。若直接采用岩石试样的室内试验数据,由于未考虑结构面的弱化,岩体的c、φ会比等效法得出的结果大,此时采用Mohr-Coulomb准则计算的塑性区半径将进一步减小,误差更大。

4.2 空间约束效应的影响及范围

取隧道支护力为初始应力的10%,分别计算3种围岩在空间约束效应下的塑性区半径,并和不考虑约束效应的结果进行对比,见表3和图6～图8。由表3可知,不考虑空间约束影响,塑性区半径是与掌子面距离无关的固定值。考虑约束效应影响,掌子面附近初期塑性区范围逐步增大,见图6～图8。以距隧道掌子面1倍洞径的断面为例,A、B、C三种围岩条件下,2个准则计算的平均塑性区半径分别约为无约束效应下的20.3%、42.4%、76.2%,且距掌子面越近,空间约束效应的影响越大,围岩情况越差,约束效应越明显。

表3 不考虑约束效应的无量纲塑性区半径结果

图6 围岩A无量纲塑性区范围对比

图7 围岩B无量纲塑性区范围对比

图8 围岩C无量纲塑性区范围对比

隧道工程一般较关注掌子面5倍洞径范围的支护变形情况,认为此时已基本趋于稳定。硬岩C较符合该认识,5r0时塑性区基本不再发展;对软岩A则会有重大误判,随着掌子面向前掘进,空间效应弱化,塑性区不断发展,直至λ=1时的塑性区上限(支护力pi=0.1p0时的上限),这在一定程度上解释了部分软岩隧道在掘进上百米后变形仍未稳定的问题。就本文选取的3种代表性围岩而言,图6～图8所示的约束效应作用范围分别约为21r0、12r0、5r0,而非固定的5倍洞径。

5 时空效应的本质属性讨论

由图6～图8可知,随着掌子面向前掘进,时空效应逐渐弱化,当开挖断面距掌子面足够远时,时空效应消失,塑性区半径达到上限,掌子面约束效应本质上是决定了塑性区的发展路径,在支护参数不变的情况下并不改变塑性区的上限值。本文进一步总结了时空效应与围岩性质、支护力大小间的关系(pi分别取为pi1、pi2,pi2>pi1),见图9,假定各曲线代表的隧道开挖半径相同,则不同曲线对应不同的塑性区发展路径。

图9 围岩塑性区发展路径示意

由图9可知,同等支护力pi1条件下,围岩越差,塑性区上限值越大,因此OB曲线对应的围岩条件要好于OA;同等围岩条件下,即约束范围相同(例如都为x0),则支护越强,塑性区越小,因此OC曲线对应的支护力pi2要大于OA曲线对应的支护力pi1。考虑掌子面空间约束效应影响就能预测出不同施工条件下塑性区的发展路径,并根据现场情况改变支护和开挖参数,使塑性区沿新的路径发展,进而为动态设计和施工提供理论支撑。

由图6～图8中的曲线来确定约束效应作用范围一般计算量较大,本文从函数的角度提出另一种求解思路。一般情况下,当某个已开挖断面与掌子面无穷远时,围岩应力全部释放,对应等效函数式( 3 )的表达式,即:当x→+∞,则f(x)→1。

但从工程应用角度,x无穷远无实际意义,当绝大部分围岩应力(例如99%)已释放,即可视为空间约束效应的边界。本文按f(x)=0.99反算出A、B、C三种围岩的约束范围为22.48r0、10.24r0、4.32r0,与图6～图8中所示的约束范围基本相同。当然也可根据工程围岩变形控制精度要求,对f(x)赋以接近1的某个值,进而定量求解相应的约束范围。

6 结论

(1)本文对掌子面空间约束效应进行了等效简化,并考虑该效应的影响分别对Mohr-Coulomb和广义Hoek-Brown准则下的塑性区半径公式进行了修正。

(2)空间约束效应本质上决定了塑性区的发展路径,考虑该效应影响能反映出隧道掘进和塑性区扩展间的动态关系,进而为动态设计和施工提供理论支撑。

(3)空间约束效应的影响范围由围岩性质决定,而非某个确定距离(例如5倍洞径),围岩条件越差,约束效应的范围越广,本文给出了约束范围的定量求解方法。

(4)本文进一步验证了Hoek等提出的岩体c、φ等效方法,表明该等效法在硬岩情况下准确性较好,在软岩情况下有一定偏差,应用时应慎重。计算空间约束效应影响下的隧道塑性区半径应根据围岩条件选取强度准则。在围岩c、φ等效基础上,硬岩条件下,采用Mohr-Coulomb准则、广义Hoek-Brown准则计算的结果差别不大;软岩条件下,采用Hoek-Brown准则比Mohr-Coulomb准则计算的塑性区范围偏大。