融入几何直观，构建学生思维成长的深度课堂——“5 的乘法口诀”教学实践与思考

江苏省南京市江宁区汤山中心小学 王玉英

复杂的数学问题，可以借助几何直观的方式变得简明扼要，图文并茂，有助于对解题思路的探索和对结果的预测。由于小学生的形象思维占主导地位，教师在解决数学问题的过程中，可以借助几何直观，使学生对数学有一个直观的认识，从而化繁为简、化抽象为具体。

通过多次观摩同行关于乘法口诀的教学，笔者发现，大多数教师遵循“创设情境—提出问题—列出加法算式—改成乘法算式—创编口诀—背诵口诀”这六个环节。大多数教师在教学时因担心学生不会编口诀又记不住，将课堂的大量时间用在编口诀、背口诀和用口诀上；而在“经历归纳口诀过程，理解每句口诀意义”上用时不足，甚至以教师的简单讲解代替学生的个性理解。既然小学生以形象思维为主导，教师不妨将几何直观融入乘法口诀的教学中，让学生亲身体验从实物表征到图形表征，再到符号表征的过程，在思维层面上构建深度课堂。笔者在执教“5的乘法口诀”时，进行了一些尝试，具体如下。

一、利用双手，开展实物直观教学

实物直观教学是以实际事物本身为直观对象的教学活动。“5的乘法口诀”教学活动中，涉及5个5个计数的活动经验。而学生最熟悉这种经验，因为这与人的手部结构密切相关。手是天然的学习材料，是数数时用到最多的工具。因此，笔者首先让学生以猜谜语的方式引出实物教具——手，然后借助“手”开启“5的乘法口诀”教学。这样，学生倍感真实和亲切，同时也自然合理，渗透了“数学原型来源于生活实际”的思想。

【课堂片段一】

出示猜谜语活动。教师组织学生一边用大脑思考，一边借助人的双手来数出两个5是多少（学生独立完成）。教师趁机追问：“假设有5只手，又有几根手指呢？”初次4人一组，自由结合，合作完成。这样既能培养学生的合作意识，又使得数学几何直观呈现出来，学生的直观思维被激活。

把具体实物直观抽象出图形直观，以问题“要是没人合作，手不够，怎么办呢”引出并探究验证“5只手，又有几根手指”，在学习单上，留下了学生思维的痕迹。

预设方案1：在手指上逐个标出数字1，2，…， 直到25，标完所有手指，得出结论。（见图1）

图1

预设方案2：标完第一只手，学生恍然大悟，“每只手都有5根手指”，可以“按群计数”，每群有5个数， 根据5个5个计数的经验，数5次得到25。（见图2）

图2

预设方案3： 在“按群计数”的基础上，发现“几个5是几”的规律，为下面的图形表征做好铺垫。（见图3）

图3

思考：做到不同的人在数学上得到不同的发展，不同的思维在课堂上根据不同学生的不同思维的呈现方式进行碰撞，并且让所有的学生都能了解并吸收基础知识，使学生的思维进一步形象化、可视化。

二、画出图形，开展几何直观教学

“图形是学生学习数学的重要帮手”，几何直观正是利用图形描述和分析问题。借助几何直观对数学问题进行表征，能迅速抓住问题中的主要矛盾，充分凸显问题的本质，使原本模糊不清的关系变得豁然开朗、层次分明。借助几何直观解决问题时，教师通常先将研究对象抽象为图形，再把对象之间的关系转化成图形之间的关系，从而把原问题转化成关于图形的数量或位置关系的问题。因此，在该环节的教学中，教师首先将“手指”抽象成“小竖棒”，“一个手掌有5根手指” 表征为“5根小竖棒”并打成“一包”，进一步抽象为“一条线段”，“5只手，有几根手指”转化为“一条线段长度为5，5条线段长度为多少”。在问题的多元表征和转化过程中，教师有意放慢速度，不仅能让学生“经历归纳口诀过程”，还能感受几何图形的简约美。

【课堂片段二】

教师根据学生的观察和想象力抽象出手指的图形表示，从而使学生达到从形象直观到抽象直观的进阶。

呈现：

（1）用竖线段表示手指。（见图4）

图4

（2）一段横线段表示5个手指分散线段的组成。打成一个“包”。（见图5）

图5

（3）一段横线段表示5个手指连续线段的组成。

这些线段没有连在一起，它们之间有空隙，那就“挤掉”空隙，让线段“手拉手”。（见图6）

图6

思考：由散点到线段，再到数轴，经历这三个思维阶梯呈现。点到线的思维进阶，分散到连续的思维提升，使学习内容由浅表走向深层。

根据线段条数和总长度的关系，逐步突破难点，抽象出“5的乘法”内容。（见图7）

图7

三、列出算式，开展数形结合教学

数形结合是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形相结合，包含“以形助数”（借助于形的生动、直观性，阐明数与数之间的联系）和“以数辅形”（借助于数的精确、严密，阐明形的某些属性）两个方面的数学思想方法。在上述手指图和线段图教学活动中，学生已经获得“形”的直观感觉，能够通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。接下来，学生要将这种直观感觉转化成精确的数量关系——加法算式和乘法算式，并编制口诀。口诀记忆时，学生不仅可以借用数的变化规律来记忆，而且可以联想到对应的图形，做到以“数”化“形”、以“形”变“数”互化，实现“数”“形”有效结合。

图形有很多种，除了线段， 还有符号，如圆圈、 三角形、五角星。教师可以让学生用自己喜欢的图形表示出1个5、2个5到5个5。有了图形，学生可以列出对应加法和乘法算式并编出口诀歌。教师根据探究单完善教学思维呈现。（见表1）

表1 加法和乘法算式、口诀探究单

学生自主探究，教师巡视，收集典型作品， 组织学生反馈。

思考：表1中同时出现图形和数量关系，目的是让学生体会“形使数更直观，数使形更入微”。另外，表1中第一列全部空白，目的是鼓励学生在数量关系和数学信息不变的前提下，采用多种方式画图。学生反馈时，教师首先评价各种图形表征的优缺点，找到简单的表征方法，让学生感受图形的简约美。然后，师生共同探索表中规律，从而体会5的乘法意义及使用乘法的简洁性和口诀的趣味性。

四、运用几何直观解题，提升课堂教学深度

审题是合理、有效解题的第一步，也是最为关键的一步。而小学生由于年龄小、认识水平有限，在审题时往往会出现偏差，无法把握题目的关键。究其根本，是学生不理解题意。在教学中，教师如果能引导学生借助几何直观对题意进行图形化表征（如画示意图、画线段图、画符号图等），就能帮助学生深刻理解题意，促进学生对问题的本质理解。抓住了问题的本质，自然就能形成问题解决的思路。在此教学环节中，教师精心选编了若干问题。通过解决这些问题，学生不仅能巩固“5的乘法口诀”，还能将几何直观思想融入解题过程，增强运用几何直观进行解题的自觉性。

问题1：跳5次， 能跳到几？边画边说， 再写出乘法算式。（见图8）

图8

问题2：小兔子沿着绷直的绳子往前跳， 每次跳5分米， 跳了4次，先画出线段图，再计算一共跳了多远。

问题3：（线式排队）小朋友们排队，小明的前面有 4人，后面有 5人，这一队共有多少人？

解法一：图形表征，按位置累加。（见图9）

图9

加法算式：4+5+1=10。

解法二：图形建构，按群累乘。（见图10）

图10

乘法算式：5×2=10 或2×5=10。

问题4：玩转格子图。

出示“10×10”方格纸。

（1）画出口诀 “四乘五” 和 “五乘五”，它们是哪种平面图形？

（2）“2×5”和“3×5” 的长方形合并在一起变成什么图形？“5×5”分割出“2×5”的长方形， 剩下的部分是什么样的长方形？

（3）（变式）男生2名，女生3名，每人发5颗糖，共需几颗糖？有25颗糖， 先分给2名男生，每人5颗，剩下的糖再分给3名女生，每人能分多少颗糖？（提示：方格纸“横向格子”表示男/女生人数，“纵向格子”表示每人分发的糖数，将糖数和正方形个数一一对应起来。）

思考：问题1~3 体现“按类累加”和“按群累乘”的思想；问题4 要求学生在“长”“宽”两个维度上操作多个正方形，突出乘法口诀与长方形、正方形之间的关系，让学生体会乘法计算与图形所占方格的多少（面积）也存在关系。另外，这些图形的合并与分割，为后续乘法分配律的教学建构了符号模型，积累了相关活动经验。这4个问题的精心设计也是在“双减”背景下的分层深度课堂练习题，凸显层次和深度。思维是指在头脑中思考知识，是无形的。它是智力的核心，是考察一个人智力高低的主要标志之一。上述问题是按照由易到难编排的，当学生借助图形依次解决这些问题时，其思维就由图形的初步表征（图导）走向图形的深层建构（图构）。从“图导”走向“图构”，凸显出学生思维的飞跃、创造的跨越。

五、结语

几何直观是一种方法和思想，它不仅能帮助我们发现、描述所研究的问题，还能帮助我们寻求解决问题的思路，帮助我们对所得到的结果进行应用。图形是几何直观的重要载体和有效抓手。因此，在课堂教学中，教师要发挥好图形的引思功能，指导学生看图、读图、解图、画图、构图。把几何直观融入教学，构建学生思维逐渐发展的深度课堂，更能提升学生的数学核心素养。教学中融入几何直观，构建学生思维逐渐成长的深度课堂，改善学生的课堂学习，能使小学数学的教学过程顺应学生的思维成长规律，更加科学而立体地促进学生的思维发展。