从素养到修养：探寻数学教育的美好世界——特级教师沈虎跃的“生活数学”教育探索

沈虎跃|浙江省镇海中学

沈笑英|浙江教学月刊社

人如其名，初见沈虎跃老师时，其“虎”气十足、敦实憨厚的形象立马映入眼帘，无怪乎学生们常亲切地称之为“老虎老师”；再深入了解，沈老师睿智且幽默的讲述，循序渐进且循循善诱，从生活中鲜活的数学例子到对数学竞赛的描述，无不体现了他的数学思维与能力，尤其是他对中学“生活数学”教育的理解，更是深入与透彻。恩格斯说，数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。这种空间形式和数量关系，即是从具体现实世界中抽取出来，又区别于具体事物的模式。数学与一般自然科学的区别，就在于它研究的不是具体事物自身的特征，而是事物与事物之间的抽象关系，即数、量、形等。数学与具体事物既有距离，又有着密切关系。基于数学的特性，运用“生活数学”教育的理念，让学生在自然状态下学习数学，获得数学经验与素养，并形成数学修养，是沈老师一直追求的理想课堂。

一、兴趣与能力：日常教学中的“生活数学”教育

数学是具有真实背景、遵循科学规律的一种抽象。在生活、生产、科学和技术中，我们都会看到数学的许多应用，数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然规律的抽象。

在沈老师的日常教学中，尤其是在其新授课的教学中，充满着“生活数学”教育理念。如“函数周期性”这一课，他总是立足学生的生活经验开展教学：往往从神奇的时钟、不变的课表、四季的轮回、天体运动、生命周期、经济周期、简谐运动等讲起，并通过图片和动画展示，让学生直观感知生活中周而复始的现象；在激发学生兴趣的同时，带领学生思辨生活中周而复始的现象和数学中周期的异同点；再通过数学形式化的语言，引导学生形成数学中的周期性概念。在此过程中，学生经历从生活案例的感性认识到数学概念的理性认识，收获的不仅仅是知识，更多的是学习方法，是用数学视野观察现实世界的能力。

“生活数学”教育在学生学习的不同阶段都能够发挥其应用广泛、联系实际的优势。《深化新时代教育评价改革总体方案》提出“设置现实情境，发挥育人作用”的要求。沈老师在日常教学的例题设计中，常把问题与实际生活情境联系在一起，以引发学生的思考。如在“基本不等式复习”这一课的例题设计中，面对经典的“不等臂天平问题”，沈老师不是直接抛出问题“在臂长不准确的天平上交换称2 次所得2 个数据，试问对2 个数据处理采用算术平均好，还是几何平均好”，而是把自己代入角色，创设这样的情境——“老师去商店买10 g 黄金，带着‘怕商家的天平不等臂又不好当面说’的矛盾心理，动起了自己的小聪明：每次5 g 分2次称重，第1 次黄金放左盘，第2 次黄金放右盘，取走2 次称得的黄金。”接着，沈老师让学生分析，这样的行为是真“聪明”吗？在沈老师富有感染力的叙述中，学生的注意力高度集中，学习效果很好。沈老师通过具体事例给学生创造联想空间，激发学生的探究热情；他还关注学生从生活中抽象数学知识的能力，帮助学生积累数学活动经验，培养其运用数学思维思考现实世界的能力。

二、思维与创新：竞赛辅导中的“生活数学”教育

数学重在理解，数学竞赛充满挑战，是一场头脑风暴，能培养和提高学生的创造性思维。竞赛试题中抽象的符号、烦琐的计算等随处可见。其问题的开放性、思路的发散性、思维的灵巧性、结论的深刻性深深吸引着学生。沈老师在竞赛辅导中，常用一些生活中让人久久不能忘怀的实际问题作引例。如在学习复杂概率问题计算时，沈老师设计了“课堂三部曲”。

第一部分是“最大的麦穗问题”。《最大的麦穗》是学生小学时学过的一篇课文，讲述了苏格拉底让弟子们从一块麦地里摘一个最大麦穗的故事。故事中，弟子们挑挑拣拣，结果却两手空空。沈老师向学生提问：“从数学上来讲，苏格拉底的弟子们是否有最优策略摘到最大的麦穗？”

第二部分是现实生活中经常遇到的“秘书问题”。有一家公司要招聘1 个秘书，一共来了n个面试者，依次接受面试。对每个面试者面试完后，公司要立即决定是否聘用。如果聘用则放弃后面所有的面试者，如果不聘用则面试者会转而去其他公司。提问：“面试官是否有最佳策略聘用到最优秀的面试者？”

第三部分是“秘书问题”的“加强版”。某公司需要录用1 名秘书，共有10 人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序进行逐个面试。预设前3 人面试后一定不录用，自第4 人开始，将他与前面所有已面试过的人相比较，如果他的能力超过了前面所有已经面试过的人，就录用他，否则就不录用，继续面试下一个。如果前9 人都不录用，那么就录用最后一个面试的人。事实证明：该公司有超过70%的可能性录取到能力最强的3 人之一，而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3 人之一。经典秘书问题是最优停止理论中的一个著名例子，属于一类序贯观察选择问题，描述了一种动态的信息探索与决策过程。

沈老师通过学生小学阶段学过的一篇课文，拉近了学生与问题之间的距离，再通过师生共同寻找，采用动态规划方法得到“秘书问题”的选择策略——“37%法则”（在考察前37%的面试者时，全部不聘用；然后，只要任何一名面试者比前面所有人选都优秀，就要毫不犹豫地选择他），并通过加强版的“秘书问题”进行一次仿真实验，对“37%法则”的信度与效度进行验证，完善了理论求解以及仿真实验的研究方法。而这一加强版的“秘书问题”也正是2003 年中国数学奥林匹克竞赛试题中的第5 题。沈老师让学生的学习达到了新的高度，也进一步提升了学生的思维能力、创造性解决问题的能力。

三、愿望与方法：家校合作中的“生活数学”教育

在学校的教育教学中，经常有家长或低年级学生问为什么要学数学、学数学就是为了考试吗、怎样才能学好数学等一系列问题。当遇到这类问题的时候，沈老师会这样引导家长和学生：在各行各业中，数学是工具，大约三分之二的高薪工作，都要用到超出算术的数学；一个人懂得的数学知识越多，就会有越多的职业之门向他敞开。对学生而言，在鲜活生动的生活情境中进行沉浸式学习，更能激发他们学习、探索的天性。沈老师注重为学生设计可参与的问题，以此激发学生学习数学的愿望，感悟学习数学的方法，也会在社区为学生家长作相关数学教育的讲座时举一些生活中的例子，家长们经常听得津津有味。这促进了家校合作，使家校共同助力学生提升学习数学的积极性。例如，“割手链问题”：

小明妈妈带小明去海边度假，准备在酒店住7天，住宿费每天200元。到了目的地后发现钱不够，还好手上有一条7节金手链，每节价值超过200元。于是，小明妈妈与店员商量，每天给1节金手链作为住宿费抵押物，以后再把金手链赎回来。现在要去找位首饰匠把手链割开，以便每天支付1节。“这手链我一定会赎回，每分割1节，以后再接上都要支付手工费，一定要7个都割开吗？能不能少分割几个啊？”她自言自语道。边上的小明听到了，想了一会儿说：“妈妈，妈妈，只要割开1节就够了。”这是怎么做到的？（从一端数第3节，把手链分成3段，各为1、2、4节，通过来回兑换使店员每天收到1节）

此问题的本质是“任何1 个正整数都可以唯一地表示成1 个二进制数”。有时作讲座时，沈老师对这一问题的讲解也会设计得稍复杂些，如“药品混杂问题”：

小明爸爸开了1家药店，一天，他收到10瓶药，每瓶装1000片。突然，他接到厂家打过来的电话说“所有药品需检查后方能出售，有若干个瓶中的每片药由于差错重了10毫克，须马上送还出错的药瓶”。小明爸爸很生气。“幸运的是，我们可以从每瓶中只取出1片药，称出它们的重量，但要称10次，真麻烦。”小明爸爸就要开始干，小明叫住他：“等一下，不必称10次，我们只称1次就够了。”这怎么可能呢？具体方法就是将瓶子排成1排，然后从第1个瓶中取1片药，从第2个瓶中取2片药，从第3个瓶中取4片……取出的药片放在一起称，假如它们超重270毫克，由于每片错药超重10毫克，我们用10去除得到27，就是超重药片的数量，将27写成二进制数（11011）2，这些1的位置告诉我们序列中2的多少次幂使（11011）2等于27。数字1在第1、2、4、5位置上，所以出错的瓶是1、2、4、5瓶。

数学是思维的“体操”，沈虎跃老师以“生活数学”教育促进学生的深度思维，培养学生用数学思维思考现实世界的能力，提升学生的数学修养，激励学生探索美好的数学世界。□◢