细微之处彰显物理本质——以微元法为例

王 松

(杭州市余杭第二高级中学)

人教版物理必修1中已经在处理匀变速曲线运动的位移与时间的关系和必修2中推导匀速圆周运动向心加速度两处明确地使用了微元法,所以微元的思想已经渗透到高中物理学习中。另外,在高中物理教学过程中有些问题一直处于“被认为正确”的状态,参辅资料、教师讲解往往按部就班,可是学生一直没有深刻理解,以至于无法进行发散与迁移,造成学生知其然而不知所以然。遇到同类题目还是屡屡犯错。如果教师能够运用微元法进行细微的处理将很容易帮助学生抓住本质。

由2.1节介绍可以看出，不论是哪种传统的交叉方法都是随机选则父代中的交叉位置，这样容易破坏父代种群的优良基因，且易造成局部收敛。本文利用蚁群算法的正反馈机制，将染色体等分为若干个区间，并给每个区间添加信息素。由此可以得到信息素与适应度之间的公式为：

1.绳拉球惯性实验

【例题】如图1所示,两段完全相同的轻绳,系在一铁球的上、下方,上方系于天花板上,现用力将下端绳子猛然向下拉,问哪段绳子会断掉?

图1

【传统解释】快速下拉,下面绳子瞬间发生变形以抵抗拉力,而上面的绳子发生变形与中间的铁球位移有关,因为快速拉,铁球质量大从静止开始加速需要一定时间,其发生位移相对下面绳子的变形明显偏小。这就是铁球的惯性的作用,速度变化需要时间!

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【深入探讨】此处显然涉及了惯性问题,虽然我们知道铁球质量比较大,很难发生明显的位移(铁球的质量较大,惯性较大,保持原有的状态的能力较强,保持静止的能力较强),这所谓“保护了上段绳”,但是说到底小球还是要往下运动的,凭什么上面的绳子就“安然无恙”?

教师的解答并没有从定量的角度去解决这个问题,最终很多学生还是埋下了疑惑的种子。笔者认为,问题的特点导致问题最终的落脚点还是牛顿第二定律。快速向下拉的事实背后的物理含义是这个过程极短,需要考虑对应细微的过程。如图2所示,设铁球质量为M,加速度为a,铁球受到的上面的绳子拉力为FT0,下段绳子拉力为FT1,绳子可以承受的最大拉力为FTc,拉断过程所经历的时间为t。首先,我们要明确绳子产生弹力是由于其发生了弹性形变,当然与弹簧不同,绳子的形变相对其原长完全可以忽略,但是在这个特殊的情况下又不得不考虑这个差异。下段绳子对铁球产生了一定的拉力的同时有两个不容忽视的微观事实:其一,下段绳子瞬时产生了相应的形变(如果拉力超过FTc,亦即形变过大则为非弹性形变,导致绳子断裂);其二铁球瞬间获得加速度,但此时位移为零,当铁球有了“可观的”位移后,上段绳子才会发生形变,这与缓慢地拉下段绳是截然不同的作用效果。现在定量研究这个过程:

图2

由2.1节的实验结果表明，只有溶解的硫酸盐才能发生TSR反应生成H 2 S，故硫酸盐的溶解度势必会影响TSR反应。

如图7所示,一物块a放置于粗糙圆盘上与圆盘一起绕中心轴做匀速圆周运动,考查物体a所受的静摩擦力的方向。

在成品当天进行香辣藕片的感官评价，参考张文君等[16]、张建辉等[17]的评价方法。由10名感官评价人员组成评价小组，其中男女比例相等。针对实验目的、感官评价的标准和要求(GB/T 16291.1-2012)对评价小组进行适当的培训[18]。样品随机编号，采用百分制，品评人员需要独立客观地对香辣藕片的特性给出分值(色泽30%、质地40%、形态20%、风味10%)，计算结果取平均值，感官评价标准见表2。

由②③式得FT1t=FT0t′≤FTct④

t→0,x∝t2→0,vM∝t很小,以至于很难观察到铁球的运动。整个过程中,上段绳子受到了轻微的扰动,其张力基本维持为Mg,故上段绳子“安然无恙”。

下面来分析铁球获得速度后对上段绳子的影响,断裂后经过时间为t′铁球稳定下来,如图3

图3

那么,在什么情况下t′→0?我们知道拉力是由于形变产生的,由③知此种情况下拉力比较大,①式表明铁球的位移很小,故表明绳子的“刚性”很强!这是否说明绳子“刚性”很强的情况下这个惯性试验会失败?其实不然,下段绳子刚性依然很强,此种情况下当下段绳子的伸长量很微小的时候,拉力已经增大到FTc,绳子断裂,铁球无法获得“可观的”位移,仅仅受到扰动,无法拉断上面的绳子。上述分析结果:实验成功的条件与绳子的“刚柔性”无直接关系,但是必须满足t→0,即快速拉动。

由④看出,t→0,FTct→0,另一方面,由②式分析可知铁球获得速度与位移都是微小的,之后绳子对其缓冲的过程是比较平稳的,小球对上段绳的拉伸力度与速度不可能强于直接的快拉作用,自然t′不会趋于0,则④式表明FT0

t→0,FT1视为恒力

本次实验中x→0是实验成功的保障,回顾①式,不难发现M越大越有利。当然Mg

图4

2.绳拉船模型

如图5所示,在水面上方的高岸上,某人利用绕过定滑轮O的轻绳匀速地拉动水面上的一只小船,如果人拉动绳子的速度大小为v0,则当绳子OA与水平面的夹角为θ时,小船运动的速度v为多大。

图5

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如何较为准确、科学地、探索式地展现这个问题的思维过程?这就需要从细微处入手,深刻地研究船的运动。如图6所示,取AB两个状态,由A→B,历时t→0,这个过程涉及两个分运动,其中沿绳收缩的分运动v1,另外一个分运动如何寻找?由于分运动与合运动具有等效性、独立性,可以先假设v1对应的分运动“暂时停止”,则t时,船处于C处,当然如果没有前面的假设,小船由C沿绳运动至B,由此另外一个分运动只能为A→C,因为t→0,AC弧为一段很短的圆弧(绳长即为圆的半径),这段圆弧所对应的分运动为沿圆弧切线方向的运动,另外t→0,φ→0,则OA⊥AC由此可知v2⊥OA,亦即垂直于绳的方向。事实上,由于分运动的等时性与独立性,两个分运动确实是同时进行的,由此可知v2是时刻存在的,并且时刻与绳垂直,这也是为何要求学生必须沿绳与垂直于绳的方向正交分解水平合运动的根本理由。当然在解决本题过程中用到了假设法。

在传统的教学中,教师很容易引导学生找到沿绳收缩的分运动v1,对于另外一个分运动很多教师直接以“运动的分解往往也遵循正交分解”的思路一带而过,稍微细心的教师会展示绳的顺时针转动这一运动效果,因此得到另外一个分运动v2,其方向垂直绳。虽然这些讲法都没有错误,但是总让学生感到不真实!学生会私下认为教师早已知道题目的答案而故意规避分析过程,结果很多学生还是对本题的解析过程感觉较为费解,过一段时间学生再遇到此题会由于短时的记忆找准答案,但是长时间下来或遇到了变式的题目依然感到无能为力。

图6

3.圆盘上物块受静摩擦力方向问题

图7

在这个问题中一般会以匀速圆周运动所受合外力提供向心力来确定a物块所受的静摩擦力,甚至可以求得静摩擦力的大小。但是如果没有学过匀速圆周运动就无法判定吗?上述方法是一种“被动”的判定方法,往往没有揭露问题的本质。如何通过静摩擦产生的规律进行判定?

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图8

4.对ΔA=A-A0式的探讨

ΔA=A-A0式最早出现在必修一“直线运动的位置与位移”栏目中。其中物体由x1运动至x2,在位置所在坐标系中,位移表示为Δx=x2-x1,此后此种形式在运动学、功能关系、动量与冲量和热力学第一定律中层出不穷。学生对此已经形成了思维惯性,以至于到电学中的电势差的计算也“生吞活剥式”地使用这个原则。如A、B两点的电势差顺势写为ΔU=UB-UA,但事实上UAB=UA-UB,显然ΔU≠UAB这其中的“误解”是细微的,需要深入的辨析。

虽然高中物理中对ΔA=A-A0的形式应用是普遍的,但是笔者认为目前高中物理教学过程中没有对此问题做科学的解说。深入分析表明,ΔA=A-A0式的物理量A必然表示一个状态量,并且这个量往往随时间变化着。设此物理量在考查的初状态为A0,经过某段过程后状态为A,此过程中的变化量为ΔA,显然这个过程可表示为A=A0+ΔA,于是ΔA=A-A0,式中A若是标量则遵循代数运算,若A是矢量则遵循平行四边形法则。

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一笔一画的积累,绘成美好的铅笔素描!变是不变的积累,一切“变化”都必须在一定的时间和空间范围内才可能得以实现,因此“微元法”就抓住“变化”的这一本质特征,通过限制“变化”所需的时间或空间,把变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程。抓住了这一点,我们才能更深刻地教学。物禀所性,事循其理,洞察事物,所谓理性。