基于元认知的IMPROVE 教学法分析——以二次函数复习课为例

鲁夕芷，蒋卓霖，陈艺雯（重庆师范大学，重庆 401331）

一、体会元认知，思考教与学

元认知，自美国心理学家弗莱维尔首次提出后，国内外众多学者对其内涵与外延进行了丰富的发展。元认知，简而言之就是个体对认知的认知，是对理解、记忆、反省、知觉等认知思维与活动内在抽象的监控管理[1]。

从教学目的来看，个体学习数学是在实践活动中取得数学认知发展的过程，此认知发展不仅包含学生个体对知识材料的认知，更重要的是对自身学习过程的认知。知识材料的认知主要为教学中力求的数学知识技能发展，而对自身学习过程的认知则需个体内部抽象的元认知策略予以监控发展。个体根据真实情景调节行动策略，控制自身活动内容以及方向，及时给个体提供认知反馈，不断积累经验进行成长。在学习二次函数单元前或其初始阶段，学生在具备明白为何要学、学时会有哪些困难、怎样学习更易发展等元认知的条件下，能更有效地防止学生对二次函数的认识水平仍停留于表面，虽能熟练地说出表达式为y=ax2＋bx＋c（a≠0），但对其中参数的几何意义模糊不清；应用时只是根据已有习题经验，机械性地设函数方程，带值计算，并不知为何要用这些数学符号进行运算等失败的学习认知活动出现。

从教学过程来看，学习数学是个体对数学符号、用数学解决问题等有关数学的外部信息与自身内部认知结构中相关联信息进行加工整合的过程。在二次函数学习中，学生受到外部函数信息刺激，结合自身过往相关认知体验，将这部分认知知识纳入自己的认知结构中，在面对某一任务（目标）时，对信息进行筛选输出，得到一定量的认知反馈，从而不断修正自身的认知活动，以达到预设目标。《义务教育数学课程标准（2022版）》也强调想要继续挖掘数学教育立德树人的价值目标，就必须以四基四能，三会贯彻学生核心素养的发展[2]。

“IMPROVE”，正是遵循上述理念，基于元认知产生的一种教学方法[3]。其中所说的IMPROVE是七个关键步骤的首字母，意为：①Introducing the new concepts，原意为介绍新概念，但结合元认知与大单元的思想，“引入新认知”更能适合当前复习课要求。②Meta-cognitive questioning，进行元认知提问。如对某些知识的理解型问题，连接新知与旧知的连接型问题，引导学生如何学习的策略型问题，让学生主动进行反省的反思型问题。③Practicing，练习。避开单调乏味的重复练习，进行具有认知意义的练习。④Reviewing，回顾。不是对本节课的单一回顾，而是对这个单元，自身整体的学习过程进行相关联的回顾。⑤Obtaining mastery，获得掌握。掌握某些知识只是基础，蕴藏其中的数学思维方法，运用知识的技能才应是学生发展的核心所在。⑥Verification，验证。确认自己是否掌握了相关知识与能力。⑦Enrichment，拓展。在多方要求下强化已有认知，发现未掌握的、引入新的认知，回到第一步循环加深。

二、把握课堂，走进完整认知

复习课当以学生为主，学生做数学，查漏补缺，从而走向完整。课本中每一章节的知识都应是学生认知的拼图，复习课并不是标志着这一单元的结束，下一单元的开始，其应该是每块拼图间的衔接剂，是锻造学生的熔炉，让学生完整地走进下一课。

（一）培养完整认知结构，促进整体提升的教学目标

对教材的完整把握是有效教学的必然前提，制定好的教学目标，深入教材与学情必不可少。二次函数是初中函数知识板块的中心点，往前是关于代数思想、一次函数、一元二次方程等知识的进一步发展，往后与直角坐标系、高中的函数映射更是密不可分。虽然这个阶段学生对代数的识别，数据的计算已经较为熟练，但他们的抽象思维处于萌芽阶段，如不刻意引导，无法灵活地进行知识的同化与顺应。二次函数将这些板块紧密地联系在一起，其背后隐藏的是函数、方程、数形结合思想，是数学抽象、建模等核心素养，不是为了得到这些分数而日复一日地在题海战术中单调乏味地运用待定系数法解题计算。

学习数学，认知世界，结合课标三会要求以及布鲁纳的认知目标结构，经二次函数复习课学生应能：

①掌握适应未来生活和进一步发展所需的二次函数基础知识技能认知。例如，清楚把握自变量与因变量间的对应关系，熟练运用以此关系为核心的待定系数法解决二次函数有关问题；根据二次函数表达式中各个参数，无须外部指导就可迅速识别二次函数图像开口、零点分布、增减情况等关键信息。

②在其他学科、生活领域中，用二次函数这一数学模型感受现实生活中事物之间存在的这种数量关系，分析解决实际问题。要能创造性地将其中数形结合、化归、函数等数学思想方法灵活迁移用于一次函数、方程、不等式解集等单元学习之中，这些认知在帮助我们解题之外，还能提供认识理解事物新的视角与方法[4]。

③课堂中主动地参与互动，全力复习基础知识，思考探索进阶问题，在今后学习二次函数或其他数学知识时也要有好奇心和求知欲；对自身当前阶段学习情况能作出综合有效的自我评价，形成自己关于学习二次函数的独特价值观念，总结出适合自己的学习方法，增强自身学好数学的信心。

（二）以元认知为灵魂，为课堂注入生命的教学进程

现代认知主义认为，教学者并不是在教学中直接传递知识，他们只是在传递某种信息，学生通过自身建构才可将信息转化为自己的知识。而教学过程就是学生建构自己认知结构的核心过程，每个人认知结构不同，获得的知识就不同，这与弗莱登塔尔每个人都有自己不同的现实数学观不谋而合。但教学过程不能全程只给学生知识的认知，还需有技能技巧、数学思维方法、学习数学的态度方法等方面的认知，否则学生的认知结构是不完整的[5]。从IMPROVE视角，对教法分析如下。

1.情境带入新认知与提问

在复习课中有教师仅用一句“同学们这节课我们来简要复习一下二次函数”或类似常见平淡的问候语就开启了滔滔不绝的授课，这对调动情绪，激活思维存在很严重的阻塞，复习课的引入如新课一般重要。

借鉴郑瑄老师的一堂复习课予以引入设计，可先用华罗庚著名诗句“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞”给学生营造一个关于数学的诗情画意的意境[6]，同时在黑板上画出一段抛物线，提问学生这是什么图案？

学生回答抛物线，二次函数等答案后，暂不评价学生答案，为图像加上直角坐标系，标上表达式y=ax2＋bx＋c（a≠0），再问学生现在的图形是什么？

学生此时或许已有些许感悟，教师再给学生强调各方要素齐聚，抛物线才能成为二次函数图像，擦去表达式、坐标，“形”离开“数”后，我们熟知的二次函数图像已经不见，只剩下一段抛物线。

学生在这样的连续提问下，可生动地感受到数形结合在解题之外，还可帮助自身理解数学概念，这是教师在课堂中极少提到的。紧接着以后两句诗“数形结合百般好，隔离分家万事休”开启二次函数的复习课。数学与语文之间的思维碰撞，小动作带来大认知，所谓新的认知即是如此。

2.优设题目逐步练习回顾

学数学是为了用数学解决问题，数学教学能否在问题中有效开展的关键则在于教师的提问以及课堂题目的设置。好的问题在帮助学生梳理知识的基础上，进一步还可给学生带来新的认知体验，但教师在复习课中随意选取作业考试中的易错题、难题来拼凑。精选问题，合理排序，可采取一个大题多个小问的形式以保证问题的前后完整，逻辑严密，进行练习、回顾。

师：已知二次函数y=ax2+bx+c，经过点（2，25）、（-1，-2）、（0，1）请回答

问题1：画出二次函数图像并求出解析式

题干仅有三个点，也并不知图像的顶点，学生难以用常规五点画图法准确画出图像，但解题时并不一定要根据问题顺序求解，这也是一种有关解题技能技巧的认知。先由特殊点（0，1）即可确定参数c为1，代入其余两点得到关于a，b的二元一次方程组，便可得y=3x2+6x+1，即可准确地画出图像。

问题2：判断-4≤x≤5时y的最值情况，已知函数上四点判断y1，y2，y3，y4大小

在数形结合解题的认知监控下，学生利用与二次函数顶点、单调性、对称性相关的认知知识，将坐标的数学信息加工为图像信息，再通过横坐标的排序可得y3＞y4＞y1＞y2。开头“最值”二字就隐含着分类讨论的重要思想，但如不仔细读题或对分类思想不敏感，很容易求出一个最大值或者最小值后就停止思考。与带入根式的复杂计算相比，在图像中观察横坐标位置求解更为简便，这能让那些习惯代值硬算的学生改变认知，在以后的学习中去优先考虑数形结合的思想，同时对横坐标的根式大小进行估值判断也是对计算能力，数据分析能力的一个检验。

若用常见的判别根式Δ判断方程解的个数，学生就会发现无论是换元还是利用等式性质化简都无法将这非常规的方程变为熟知的一元二次方程。教师引导学生将不熟悉的问题信息拆分加工，让学生发现3x2是已有认知中所熟悉的二次函数知识，是学习过的反比例函数。在数形结合思想引导下，学生就将无从下手的解的个数问题转换为函数y=3x2与y=交点的个数，随后画出两个函数图象即可得到交点个数为1，原方程解个数为1。这个小问在练习二次函数知识时兼顾了对方程思想、反比例函数图象性质的回顾，更是对用数形结合进行解题的这一认知模式的练习加深。

3.数学建模完成验证拓展

在当前二次函数相关练习题中，常见用求最大利润类应用题对学生进行考查，这类题目数据确实便于学生分析，感受应用二次函数，但这一学段的学生并没有销售获利的生活经验，对其难以提起兴趣，导致他们只是为了解题而解题。为有效验证，拓展学生二次函数认知，可从他们校园生活中熟悉的篮球比赛经验入手[7]。借反思“神投手”小明极少数未能成功的投篮，进而引出一个完美三分球为例进行建模拓展。小明在距篮下5.5米处的三分线起跳，“抛”出篮球精准落入球框。若当球运行的水平距离为2.5米时，达最大高度4米，随后空心入篮。小明身高1.85米，球框高度为标准球场3.05米，跳投中球在头顶上方0.35米处出手，求小明投球时的起跳高度。

身临其境之下，学生可想起图1所示的场景图，稍加引导利用二次函数抽象出如图2所示的坐标图，准确分析数据即可回到熟悉的问题认知中。这样进行数学抽象解题的过程对学生来说或是一种新奇的体验，并且后面的计算中仍保留了常规的解题练习，比起机械刷题，这样可以给学生带来更全面的发展。

图1 投篮实景图

图2 篮球函数图

三、结束语

当前义务教育之变局，教学者可于元认知中思考、探索、创新教法理念，于元认知中谋求学生完整的认知发展，这样复习课在实现复习知识的本质功能时，还可兼顾学生多方面的发展，以更完整地进入下一阶段学习。