基于广义SMP强度准则的球孔注浆理论计算及验证*

叶俊能 胡 威 周 晔 叶荣华 陆 幸

(1.宁波市轨道交通集团有限公司, 浙江宁波 315010; 2.宁波大学岩土工程研究所, 浙江宁波 315211)

圆柱孔扩张理论[1]自1972年由Vesic应用到岩土工程领域以后,被广泛应用于旁压试验机理[2]、静力触探试验[3]、沉桩效应及桩承载力分析[4-6]、地下隧道开挖和井筒的应力分析[7]等,并取得了长足的发展。

不少专家学者对孔扩张问题进行了更深层次的研究。如,邹健等在考虑滤出水渗流和土体弹性变形耦合的基础上,研究压滤效应对压密注浆球孔扩张的影响,得出了考虑压滤效应时饱和黏土压密注浆球孔扩张的控制方程。[8]李林等基于修正剑桥模型,在考虑K0固结特性和应力历史等因素下,利用相关联流动法则得到了饱和黏土不排水条件下的柱孔扩张问题的弹塑性解。[9]李镜培等基于修正剑桥模型,研究了饱和黏土在不排水条件下球孔扩张问题;在弹性区内,利用弹性理论得到应力和孔隙水压力的解答;在塑性区及弹塑性边界上,利用相关联的流动法则及拉格朗日分析法得出了塑性区土体应力场和孔隙水压力解答。[10]翟张辉等基于修正剑桥模型,在考虑吸力效应的影响下,得到了非饱和土中圆柱孔扩张问题的半解析解,并通过非饱和土中旁压试验和有限元计算结果进行验证。[11]周凤玺等利用统一强度理论,基于弹塑性理论和非饱和土力学原理,研究了不同排水条件下非饱和土的柱孔扩张解析解,分析了基质吸力、剪胀参数、中主应力效应参数和初始径向有效应力对弹塑性区域内的应力场、应变场和位移场的影响。[12]杜永龙等利用Mohr-Coulomb强度准则,推导出柱形孔扩张时不排水条件下土体应力场、应变场及位移场的解析解,并通过Henkel水压力公式推导出超孔隙水压力表达式。[13]

可见,现有研究主要集中在柱孔扩张问题的讨论,对于球孔扩张问题方面的研究甚少,且多采用未考虑中间主应力的Mohr-Coulomb强度准则,忽略了中间主应力对土体强度的影响,未能充分考虑土体自承载能力,所得计算结果偏小。

因此,将采用广义SMP强度准则对不排水条件下黏性土体的球孔扩张问题进行研究,结合非相关联流动法则、土体弹塑性交界面上的边界条件和土体体积守恒定律,推导弹塑性区应力、应变和扩孔压力解析式,建立饱和黏土中球孔扩张问题的统一解,并与基于统一强度准则的现有算式进行对比验证。最后,将球孔扩张理论应用于地层注浆中,推导劈裂注浆压力表达式。在此基础上分析各类参数对劈裂注浆压力的影响,并通过隧道注浆模型试验将注浆压力实测值与理论值进行对比。

1 球孔扩张模型

在无限半空间饱和土体轴对称球孔扩张问题分析过程中,假设饱和土体为各向同性的理想弹塑性材料。[14]球孔扩张计算模型如图1所示。球形孔初始半径为a0,土体承受均匀分布的内压力p0,随着小孔内压从初始应力p0增加至p,孔半径由a0增加至a。周围土体被划分为两个区域:弹性区和塑性区。塑性区半径为rp,弹性区与塑性区交界面位移为urp,对应的径向应力为临塑应力py。初始半径为a0,经扩孔后的半径称为扩孔半径a,扩孔压力为p。

图1 球孔扩张力学模型Fig.1 A mechanical model of spherical cavity expansion

2 基本方程

球孔扩张过程中,孔外土体任意一点满足应力平衡方程为:

(1)

式中:σr、σθ分别为径向应力和环向应力;r为极坐标半径。

弹性区遵循小应变理论的几何方程为:

(2)

式中:εr、εθ分别为径向应变和切向应变;ur为半径r处的径向位移;r为距离扩孔中心的半径。

塑性区遵循大变形理论的几何方程:

(3)

式中:r0为土体内任意一点距离扩孔中心的距离,在球孔扩张过程中由初始半径r0扩张到r。

弹性区土体满足平面应力与应变关系的本构方程:

(4)

式中:E为土体弹性模量;v为泊松比。

3 球孔扩张弹塑性解答

3.1 塑性区屈服准则

Matsuoka-Nakai基于空间准滑动面理论基础上提出的SMP强度准则[15],同时考虑了3个主应力或应力张量不变量的破坏准则,能合理反映中间主应力对土体强度的影响。为了进一步使SMP强度准则适用于黏土,Matsuoka和Sun通过引入黏结应力σ0,对原有的SMP准则进行修正,拓展了对砂土和黏土均适用的广义SMP强度准则,其广义SMP强度准则表达式[16]为:

(5)

σ0=ccotφ

对式(5)进一步转化能得到广义SMP强度准则的另一种表达形式,即平面应变条件下的广义SMP强度准则[17]:

(6)

KSMP=8tan2φ+9

式中:KSMP为材料参数。

对于球孔扩张问题,其径向应力σr、纵向应力σz和切向应力σθ分别对应3个主应力σ1、σ2、σ3,则式(5)中平面应变条件下破坏准则进一步转化为:

σr=Aσθ+B

(7)

其中B=(A-1)σ0。

3.2 弹性区问题解答

当扩孔压力p未超过临塑压力py时,孔周围土体全部处于弹性状态。当扩孔压力p等于临塑压力py时,孔周围土体开始进入塑性,出现应变软化区。随着扩孔压力继续增大,球孔壁周围依次出现塑性区和弹性区(图1)。弹性区满足的应力边界条件为:

(8)

式中:py为弹塑性界面r=rp处的临塑应力。

根据弹性理论,联立式(1)、式(2)、式(4)和式(8)可得弹性区有效应力场和位移场的表达式:

(9)

(10)

式中:G为土体的切线模量。

3.3 塑性区问题解答

3.3.1塑性区应力、应变及位移解答

将式(9)代入式(7),得临塑应力py表达式:

(11)

由式(10)可得在弹塑性界面r=rp处土体发生的位移:

(12)

塑性区满足的应力边界条件:

(13)

将式(7)代入式(1),得:

(14)

求解该微分方程得:

(15)

式中:C为积分常数。

将应力边界条件式(13)代入式(15),得:

(16)

由式(16)可得塑性区半径为:

(17)

则塑性区应力场为:

(18)

在塑性区内,由增量弹塑性理论有:

(19)

由于塑性区土体的弹性应变满足Hooker定理,即联立式(18)和式(4)可得:

(20)

在求解塑性区应变过程中,采用非相关联流动法则[18],即假定塑性区内弹性应变相对于塑性应变很小可忽略,在平面应变条件下,非相关联流动法则表达式为:

(21)

式中:h为剪胀特征参数;ψ为土体剪胀角。

将式(19)和式(21)代入式(2),可得:

(22)

将式(20)代入式(22),并求解该一阶线性微分方程,可得:

(23)

式中:C1为积分常数。

(24)

联立式(21)、式(23)和式(24)得塑性应变分量为:

(25)

土体在初始应力p0作用下,已经发生了初始应变,而相对应变在实际工程中更具有参考价值。相对应变可以通过总应变减去初始应变得到,其中初始应变为:

(26)

联立式(19)、式(20)、式(25)和式(26)得塑性区相对应变为:

(27)

3.3.2塑性区半径及扩孔压力解答

(28)

联立式(3)、式(19)、式(20)和式(21),可得位移微分平衡方程为:

(29)

求解上式可分离变量微分方程得:

(30)

在弹塑性边界上即当r=rp时,代入式(30),得:

(31)

(32)

(33)

当p≥py时,土体处于弹塑性状态,将式(17)代入式(32),得到扩孔压力p与扩孔半径a的关系式:

(34)

4 球孔扩张理论在地层注浆中的应用

地层在注浆过程当中是一个先压密后劈裂的过程。初始注浆时,浆液流量较小所具备的能量不大,不能劈裂地层,浆液聚集在注浆孔附近,形成球形浆泡压密土体。注浆在压密过程当中,土体吃浆量小,注浆压力尚未能达到破坏土体的强度值。当压力增大到一定程度后,浆液在地层中产生劈裂流动,劈裂面发生在阻力最小的小主应力面,且初始劈裂面是竖向的,记此时的注浆压力为竖向注浆压力pv,竖向劈裂压力与球孔扩张压力保持一致,即:

(35)

竖向裂缝发展到一定程度后,注浆压力持续增大,地层中的水平向应力转化为被动土压力状态,当注浆压力值增大到一定程度时,土体将出现水平向裂缝,记当前注浆压力为水平注浆压力ph,算式推导如下:

当土体发生水平劈裂时,土体单元满足应力平衡方程[19]:

σr=Aσz+B

(36)

σz=v(pv+σθ)

(37)

土体受到的水平劈裂压力为

(38)

5 试验验证及参数分析

5.1 有效性验证

为验证推导的注浆压力理论解的有效性,利用式(18)的径向应力解析式与文献[19]统一强度理论得到的径向应力解析式进行比较。图2a绘出了当p0=150 kPa、φ=28°、c=20 kPa时,在不同r/rp值下径向应力的结果对比,图2b出了当r/rp=0.5时,其余参数与图2a一致,在不同初始压力p0值下径向应力的结果对比。

a—σr-r/rp关系; b—σr-p0关系。建议解析解; 文献[19]解。图2 与文献[19]结果对比Fig.2 Comparison with results from literature [19]

文献[19]中,当b=0时,退化为基于Mohr-Coulomb强度准则孔扩张计算结果,此计算结果不考虑中间主应力对土体的影响;当b=1时,退化为双剪应力准则扩张计算结果。由图2可知:通过广义SMP强度理论所得出的结果比文献[19]中所得出的结果略高,与文献[19] 中b=1时计算结果比较接近。验证了在考虑中间主应力影响情况下的广义SMP强度准则所计算出的结果更加保守,更偏于安全。

5.2 模型试验验证

5.2.1试验方案

为进一步研究隧道联络通道及主隧道与联络通道交接处注浆对周围土体的影响。设计了注浆模型试验系统,由模型箱试验系统、注浆压力系统、测试和数据处理系统三个部分组成,如图3所示。

图3 注浆模型试验装置Fig.3 Devices for grouting model tests

试验场地埋置模型箱的土样为地表以下2～3 m的黏土,土体基本物理力学参数见表1所示(土体参数的取值参考文献[20])。注浆用到的材料有普通水泥、缓凝剂(磷酸二氢钠)、水玻璃和水。

表1 试验原状土样物理力学参数Table 1 Physical and mechanical property indexes of intact soil in tests

5.2.2注浆设备及静态应变采集仪接线

注浆设备由空压机、减压阀、静态应变采集仪包括静态应变测试系统、电源线、数据线、土压力计组成,土压力计线缆的出厂规格为5 m线缆,现场模型装置放置如图4所示。

a—试验场地东西向剖面; b—试验场地南北向剖面。图4 模型装置埋置Fig.4 Embedding of model devices

5.2.3注浆试验步骤

1)在已制作好的模型中,设置注浆孔。

2)将土压力计埋置在注浆孔外的管片上。

3)将模型埋设在已开挖完成的基坑中并覆土埋设。

4)连接数据采集仪器并调至归零。

5)开始主隧道与联络通道的注浆。

6)注浆结束并记录测试数据。

5.2.4试验结果

模型在注浆过程中,每个注浆点的平均注浆时间为1 h,空压机设定压力为1 MPa,注浆软管的长度为6 m。图5为联络通道处注浆时对应注浆孔附近的注浆压力变化。

a—1号注浆孔(覆土深度1.5 m); b—2号注浆孔(覆土深度2.5 m)。图5 不同覆土深度时注浆压力Fig.5 The injection pressures under different overburden depth

由图5可知,整个注浆过程可以划分为三个阶段:第①阶段为注浆压力施加前的准备阶段,注浆压力基本为零;第②阶段为注浆初始时期,浆液在注浆孔附近聚集,随着浆液增多,注浆压力呈现快速增长的趋势;第③阶段土体被注浆压力劈裂,出现裂缝,土体大量吃浆,从而导致注浆压力骤减,最后压力趋于水平,呈稳定状态。

理论计算需要的参数见表1,其中由于初始半径a0较小而扩孔半径a较大,故在注浆压力计算过程中,将a0/a→0代入算式。计算所得的注浆压力理论值与现场实际值对比结果列于表2。由表2可知:理论计算值在551.5～678.3 kPa,与实测值450～690 kPa较接近。误差可能源于计算参数设定、土样选取和浆液配置等因素。但总体上理论计算值与实测值较为接近,说明该劈裂注浆压力理论能适用于实际工程,对施工注浆有一定的借鉴意义。

表2 注浆压力理论计算值与实测数据对比Table 2 Comparisons between theoretical calculated values and measured data

5.3 参数分析

5.3.1黏聚力和内摩擦角的影响

黏聚力c和内摩擦角φ是反映土体强度大小的重要参数,对球孔注浆压力的大小产生重要影响。图6给出了在p0=150 kPa、E=5 500 kPa、v=0.3、h=2、q=150 kPa、a0=1 m和a=10 m时,劈裂注浆压力随参数c和φ变化的影响规律。可见,竖向注浆压力随黏聚力c的增加呈线性增大,水平注浆压力随黏聚c的增大而非线性增大。相同参数条件下,水平注浆压力值与竖向注浆压力值的差值随参数c和φ的增大而增大。当黏聚力从15 kPa增大到35 kPa时,水平注浆压力和竖向注浆压力分别增大了16.5%和13.4%(φ=20°)、24.3%和10.8%(φ=20°),可见,黏聚力对注浆压力的影响较为显著,工程实际中应综合考虑土体实际强度,否则容易出现注浆不足和注浆过剩的情况。

图6 劈裂注浆压力与参数c、φ的关系Fig.6 Relations between pressure of hydrofracture grouting paand shear strength indexes c and φ

5.3.2剪胀角和压缩模量的影响

图7给出了在p0=150 kPa、v=0.3、q=150 kPa、φ=28°、c=30 kPa、a0=1 m和a=10 m时,剪胀角ψ和E的变化对劈裂注浆压力影响变化。不难发现:当ψ保持一定时,随着E的增加,土体欲发生水平或竖向劈裂时则需要更大的注浆压力。当E保持一定时,水平注浆压力和竖向注浆压力随着剪胀角的增大而逐渐增大,且增长速率逐渐上升。当E=5 500 kPa,剪胀角分别取0°、10°、20°和30°时,对应水平注浆压力值为818.14,1 233.30,1 818.20,295.1kPa,其中与剪胀角取0°时的注浆压力值作比较,水平注浆压力值分别增大了1.51倍、2.22倍和3.42倍。同样取上述参数分析得,竖向注浆压力值分别增大了1.47倍、2.1倍和3.14倍。由此可见,土体的剪胀性质对注浆压力的影响显著,不可忽视。

图7 劈裂注浆压力与参数ψ、E的关系Fig.7 Relations between pressure of hydrofracture grouting paand parameters ψ and E

5.3.3扩孔效应的影响

图8给出了p0=150 kPa、v=0.3、q=150 kPa、φ=28°、c=30 kPa和a0=1 m时,扩孔半径和剪胀角的变化对劈裂注浆压力影响变化。可知:在整个扩孔过程中,注浆压力随着扩孔半径的增大而增大,但增长速率逐渐减小,最后趋于稳定,达到极限扩孔压力。随着剪胀角的增加,最终注浆压力趋于稳定的极限扩孔压力值亦逐渐增大,再次说明了土体的剪胀性对注浆压力的影响是不可忽视的。

a—竖向注浆压力; b—水平注浆压力。ψ=0°; ψ=5°; ψ=15°; ψ=20°。图8 扩孔半径对劈裂注浆压力的影响Fig.8 Effect of expansion radii on pressure of splitting grouting

6 结束语

1)基于广义SMP强度准则,结合非相联流动法则,推导了土体在弹塑性状态下的应力场和考虑剪胀角影响下的应变场;利用孔周土体弹塑性交界面上的边界条件和土体体积守恒定律,得到了扩孔压力p、初始半径a0和扩孔半径a之间的理论算式。通过球孔扩张在地层注浆中的应用,得到了在注浆过程中土体发生劈裂破坏时的注浆压力表达式。

2)分析了不同土体强度参数和扩孔效应对劈裂注浆压力的影响,结果表明黏聚力、剪胀角和扩孔半径对劈裂注浆压力值影响较大,实际工程中应合理选取黏聚力、剪胀角和扩孔半径,保证工程的安全性。

3)通过模型试验得到了注浆过程中注浆压力的变化曲线,得到的实际注浆压力值与劈裂注浆理论计算值比较接近,说明推导的劈裂注浆理论推导算式对实际隧道注浆工程的指导有一定的借鉴意义。