社交网络突发谣言传播动力学建模与分析

王鹏翔 叶鸥 黄山阁 马志强

摘 要：为研究突发谣言事件的传播机制，降低突发谣言事件对城市安全的危害，以社交网络突发谣言现象为对象，考虑顽固传谣者、时滞机制和用户流动因素，建立改进的突发谣言传播模型。利用再生矩阵法得到该模型的基本再生数，采用稳定性理论分析模型平衡点的局部稳定性，通过Hopf分岔理论确定Hopf分岔发生的条件和时滞分岔阈值；通过仿真试验研究谣言接触率、谣言关注率、关注者感染率、用戶流动率等参数和时滞机制对谣言传播的影响；采用最小二乘法估计真实谣言事件下模型的参数。结果表明：改进的突发谣言传播模型可以描述谣言的传播过程；遏制社交网络谣言传播的重点在于降低谣言接触率、谣言关注率和关注者感染率，提高用户流动率；避免时滞超过分岔时滞阈值，可以有效限制谣言在社交网络上的周期性传播现象；该模型能够拟合真实谣言传播事件。研究成果有助于评估谣言传播态势，为政府针对性制定谣言管控措施提供一定理论支撑。

关键词：城市安全；谣言传播；非线性动力学；稳定性

中图分类号：TP 391文献标志码：A

文章编号：1672-9315（2023）03-0637-10

DOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2023.0322开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

Dynamic modeling and analysis of sudden rumor propagation in social networks

WANG Pengxiang1，YE Ou1，HUANG Shange1，MA Zhiqiang2

（1.College of Computer Science and Engineering，Xian University of Science and Technology，Xian 710054，China；2.Institute of Information and Navigation，Air Force Engineering University，Xian 710077，China）

Abstract：To explore the propagation trend of outbreak rumor，and reduce the harm of outbreak rumor events to urban safety，an improved outbreak rumor propagation model was established targeting social network in view of  persistent rumor spreaders，time delay mechanism and user mobility factors.The basic regeneration number was obtained by using the regeneration matrix method，the conditions for the local stability of model equilibrium points was analyzed by the stability theory，the Hopf bifurcation occurrence and the time delay threshold were determined by Hopf bifurcation theory，and the influence of parameters，or， rumor exposure rate，rumor concern rate，follower infection rate，user mobility rate and time delay mechanism，on rumor propagation was examined.And the parameters of the outbreak rumor propagation model was estimated by the least squares method on real rumor data.The experimental results show that：the improved outbreak rumor spreading model can describe the rumor spreading process；the focus of controling rumor spreading in social networks is to reduce rumor exposure rate，rumor concern rate and follower infection rate，with the user mobility rate increased；the periodic spreading  of rumors is restrained by preventing time delay exceeding the bifurcation threshold.Thus the model can simulate the real rumor spreading events.The results can help evaluate the rumor spreading situation and provide a theoretical guidance for the government to formulate targeted rumor control measures.

Key words：urban security；rumor propagation；non-linear dynamics；stability

0 引 言

信息技术成为社会发展的新引擎，但在信息高速传播、城市公共安全事件不断涌现的背景下，城市安全面临越来越多的挑战^[1]，其中社交网络谣言管控与公共信息安全和社会秩序密切相关。在新型冠状病毒疫情期间，社交网络上爆发了大量相关谣言，严重影响了城市公共安全。研究社交网络上的谣言传播机制，有助于针对性开展谣言管控措施，对城市安全具有重要意义。

在社交网络谣言传播领域，谣言传播动力学建模得到了广泛的研究。DALEY等基于经典SIR传染病模型提出了ISR模型，研究了该模型的数学性质，揭示了谣言传播模型和传染病传播模型之间的差异^[2-3]。大量学者针对谣言传播的特点，在用户状态的多样性、用户行为的差异性、外界环境的扰动性、传播机制的特殊性等方面展开研究^[4]。LI等改进传统的单一无知者和移除者的SIR模型，建立了一种有多个谣言传播渠道的2IS2R模型，提出了多谣言传播渠道下控制谣言传播的措施^[5]。CHEN将科学知识水平和社会强化效应引入经典SIR模型^[6]，该研究表明科学知识水平提高了谣言传播阈值，而社会强化效应降低了谣言传播阈值。DING等基于经典SIR流行病模型，提出考虑遗忘机制和反驳策略的谣言传播模型，研究了遗忘机制和反驳策略对谣言传播过程的影响^[7]。为了更深入地研究谣言传播过程中的滞后效应，许多学者将时滞因素引入谣言传播模型。王卫苹等考虑了包含信谣者和铁杆信谣者的SEIRD时滞谣言传播模型，该研究表明教育普及率对降低谣言峰值具有重要作用^[8]。谣言传播模型可能存在会导致系统稳定性发生变化的分岔现象。研究谣言传播模型的分岔现象有利于把握谣言传播规律，对谣言进行有效管控。分岔包括跨临界分岔^[9]、后向分岔^[10]、Hopf分岔^[11-14]等。基于ISR谣言传播模型，考虑顽固传谣者、时滞效应及用户流动因素的影响，建立一类社交网络突发谣言传播模型，对该模型的平衡点、基本再生数和分岔等動力学性质进行理论分析和数值仿真，研究重要参数对谣言传播过程的影响。通过真实数据拟合该模型的参数，模拟谣言的传播过程，为社交网络谣言管控和城市公共信息安全管理提供参考。

1 突发谣言传播模型构建

经典ISR模型将整个群体划分为无知者、传播者和移除者，并依据状态间的迁移方程描述谣言传播过程，在谣言传播建模上具有广泛应用，因此突发谣言传播模型将基于经典ISR模型建模。

ISR模型将整个群体视为不存在人口流动的孤立群体，然而真实社交网络的用户群体具有流动性。考虑社交网络中新增和流失的用户，令μ₁为用户新增率，μ₂为用户流失率。假设谣言传播期间社交网络中的总用户数量保持为一个常数，则用户新增率μ₁等于用户流失率μ₂，并以用户流动率μ统一表示，即μ=μ₁=μ₂。

ISR模型将任何参与谣言传播的个体均视为传播者，在突发谣言传播事件中，参与谣言传播的个体不仅包括关注并参与谣言话题的关注者，也包括蓄意制造轰动且有意宣扬不实信息的顽固传谣者。将ISR模型中的传播者细分为关注者和顽固传谣者，提出突发谣言传播场景下的群体划分方法，在社交网络突发谣言传播过程中，关注者的行为可能由于个人心理、社会环境、信息呈现方式等因素引起迟疑或耽搁，导致用户行为在时间上的滞后性^[15-18]。

无知者U以谣言接触率α接触顽固传谣者S，并产生3种概率行为以无知者关注率θ₁成为关注者I，以无知者感染率θ₂成为顽固传谣者S，以无知者移除率（1-θ₁-θ₂）成为移除者R。关注者I根据行为是否具有滞后性可分为2类：不受时滞因素影响的关注者I以概率γ立刻停止关注行为，并以ф的概率相信谣言成为顽固传谣者S或以（1-ф）的概率不相信谣言成为移除者R；受到时滞因素影响的关注者I会关注谣言并在经过滞后时间τ后以谣言关注率β成为顽固传谣者S。顽固传谣者S拒绝接受辟谣信息，不会以任何方式转变为移除者R。因此，得到突发谣言传播模型的状态转移图（图1）。

按照图1所示各状态的迁移过程，建立突发谣言传播模型动力学系统如下。

式中 U（t），I（t），S（t），R（t）为时刻t时各群体的占比；U（t）为无知者群体；I（t）为关注者群体；S（t）为顽固传谣者群体；R（t）为移除者群体。μ为用户流动率；α为谣言接触率；θ₁为无知者关注率；θ₂为无知者感染率；γ为关注者接触率；ф为关注者立即感染率；β为关注者延迟感染率；τ为时滞参数。满足U（t）+I（t）+S（t）+R（t）=1，且前3个方程的演化与移除者R无关^[19]。

2 模型平衡点及稳定性

谣言传播模型各个状态随着时间推移会进入无谣言平衡点和谣言传播平衡点。依据传播动力学理论，存在表征传播阈值的基本再生数R₀（表示传播谣言的个体在谣言传播过程中平均感染无知者的数量），当R₀<1时，系统随时间趋于无谣言平衡点，谣言保持消亡态势；当R₀>1时，系统随时间趋于谣言传播平衡点，谣言保持传播态势。为了研究时滞效应对系统稳定性的影响，对Hopf分岔现象进行研究。

2.1 平衡点及基本再生数

系统到达平衡点后所有状态的变化量为零。令系统（1）中微分方程组各子项右端为零，计算得出系统的无谣言平衡点E₀=（1，0，0）和谣言传播平衡点E_e=（U^*，I^*，S^*）。

其中，

基本再生数R₀是决定社交网络谣言传播能力的重要参数，对谣言传播动力学分析具有重要作用。使用再生矩阵法^[20]计算基本再生数，得到系统（1）中的再生矩阵X=（I（t），S（t））^T，用F和V分别表示X的新感染项和其他项，系统的基本再生数R₀即为矩阵J_FJ^-1_V的谱半径，其中J_F，J^-1_V分别为F和V的Jacobian行列式。得到R₀的表达式为

可知R₀受谣言接触率α、无知者关注率θ₁、无知者感染率θ₂、关注者延迟感染率β和用户流动率μ的影响。在系统（1）中，R₀表示一个顽固传谣者在谣言传播过程中平均感染无知者的数量，R₀的值越大，表示谣言感染无知者的能力越强。当R₀<1时，系统趋于无谣言平衡点，谣言自行消亡，当R₀>1时，系统趋于谣言传播平衡点，谣言持续存在。

2.2 平衡点的稳定性

系统收敛于无谣言平衡点或谣言传播平衡点，并达到局部稳定。以下对平衡点的稳定性进行分析。

系统在无谣言平衡点处的Jacobian矩阵为

其特征多项式为（λ+μ）（λ+κ₁）（λ+κ₂）。

在谣言传播平衡点E_e的Jacobian矩阵为

其特征方程为λ³+l₁λ²+l₂λ+l₃=0。其中，l₁=a₁+a₄+a₅+a₈，l₂=a₁（a₄+a₅+a₉）+a₉（a₄+a₅）+a₅a₆-a₂a₇-a₆a₈，l₃=a₁a₄a₉+a₂a₃a₈+a₅（a₁（a₆+a₉）-a₂（a₃+a₇））-a₂a₄a₇-a₁a₆a₈。

记a₁=αS^*+μ，a₂=αU^*，a₃=-αθ₁S^*，a₄=γS^*+μ，a₅=β，a₆=γI^*-αθ₁U^*，a₇=-αθ₂S^*，a₈=-фγS^*，a₉=μ-αθ₂U^*-фγI^*。

為了求得特征根的符号，根据Routh-Hurwitz判定准则^[21]，定义Δ₁=l₁，Δ₂=l₁l₂-l₃，Δ₃=l₃Δ₂。当R₀>1时，求得l₁，l₂，l₃>0，则Δ₁，Δ₂，Δ₃>0。当Δ₁，Δ₂，Δ₃均大于零时，特征方程的根都具有负实部。根据稳定性理论，当τ=0，R₀>1时，谣言传播平衡点E_e是局部渐近稳定的。

谣言传播模型受时滞机制影响会产生Hopf分岔现象。Hopf分岔会引起谣言在社交网络中周期性爆发，加大谣言控制难度。

当时滞大于零时，系统特征方程为λ³+b₁λ²+b₂λ+b₃+a₅e^-λt（λ²+b₄λ+b₅）=0。

记b₁=a₁+a₄+a₈，b₂=a₁a₉+a₁a₄+a₄a₉-a₂a₇-a₆a₈，b₃=a₁a₄a₉+a₂a₃a₈-a₂a₄a₇-a₁a₆a₈，b₄=a₁+a₆+a₉，b₅=a₁（a₆+a₉）-a₂（a₃+a₇）。

假设特征方程有纯虚根λ = iω，其中i为虚数单位，将其代入特征方程后使用欧拉公式展开并分离实虚部，可得特征方程展开式。

（-a₅ω²+a₅b₅）cosωτ+a₅b₄ωsinωτ=b₁ω²-b₃

a₅b₄ωcosωτ+（a₅ω²-a₅b₅）sinωτ=ω³-b₂ω

通过该方程可以求得时滞项的值，为方便计算，将上式化简为

为了求解特征根ω的值，将特征方程的展开式的2个子式平方相加，得到关于ω的方程

f（ω）=ω¹⁰+d₁ω⁸+d₂ω⁶+d₃ω⁴+d₄ω²+d₅=0

其中，d₅=（c²₃-c²₆）/c²₇。f（ω）在区间[0，+∞）上连续，易得f（+∞）=+∞，且当d₅<0时f（0）= d₅<0。根据零点定理，f（ω）至少有一个正实根。由于f（ω）是一个正10阶偶多项式函数，正实根的个数不会大于5。则f（ω）有n（n≤ 5）个正实根ω_k，k = 1，…，n。为了得到时滞参数τ的解，计算  cosωτ的反函数。

当时滞τ =τ₀时，f（ω）对应的实根为ω₀，存在一对共轭复根±iω₀，即系统在谣言传播平衡点E_e处的Jacobian矩阵有一对±iω₀的共轭特征根，满足Hopf分岔存在的条件。

由Butleri引理^[22]，若系统在τ = 0时谣言传播平衡点是局部渐近稳定的，则当0<τ<τ₀时，系统在谣言传播平衡点仍局部渐近稳定。

3数值仿真

3.1 无谣言平衡点稳定性仿真

令μ=0.2，α=0.1，θ₁=0.2，θ₂=0.6，β=0.4，ф=0.3，γ=0.2，则系统（1）的基本再生数R₀=0.367<1。根据上述参数进行仿真试验，得到系统（1）中各状态趋于无谣言平衡点的演化趋势（图2）。頑固传谣者的数量初始时逐渐增加，在t=2.4时刻达到峰值后逐渐减少并在t=45.7时刻趋于零。无知者占比逐渐趋于1，关注者占比逐渐趋于零。谣言一开始在社交网络中呈蔓延形式。由于R₀<1，谣言无法维持传播而消亡。试验结果验证了无谣言平衡点的稳定性。令系统（1）关注者初值分别为0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，保持R₀=0.367<1，得到无知者—关注者—顽固传谣者演化趋势的相轨图均趋于无谣言平衡点（图3）。

3.2 谣言传播平衡点稳定性仿真

令μ=0.2，α=0.4，θ₁=0.2，θ₂=0.6，β=0.4，ф=0.3，γ=0.2，则系统（1）的基本再生数R₀=1.467>1，通过仿真试验得到系统（1）中各个状态的演化曲线（图4）。顽固传谣者占比随时间递增并在t=4.9时刻达到峰值，之后逐渐减少并在时间为17.5时刻稳定于一个正值。无知者占比逐渐增加，在时间为43.7时刻趋于稳定。关注者占比逐渐减少，在时间为17.5时刻趋于稳定。由于谣言接触率α增加，导致R₀>1，顽固传谣者占比最终稳定在正值，表明谣言将在社交网络中持续传播而不会消亡。令系统（1）关注者初值分别为0.20，0.25，0.30，0.35，0.40，保持R₀= 1.467>1，得到无知者—关注者—顽固传谣者演化趋势的相轨图均趋于谣言传播平衡点（图5）。

3.3 Hopf分岔存在性仿真

令系统（2）中参数μ=0.04，α=0.08，θ₁=0.4，θ₂=0.5，β=0.9，ф=0.8，γ=0.09。在该组参数下，求得R₀=1.766，ω₀=0.985，τ₀=1.870。由定理3可得，系统（1）的谣言传播平衡点E_e=（0.569 9，0.007 1，0.377 3）在τ∈[0，τ₀）时局部渐近稳定，在τ=τ₀处发生Hopf分岔。

试验给出系统是否发生Hopf分岔现象的仿真结果（图6～图7），令τ=1.815<τ₀，随着时间推移，顽固传谣者占比稳定于0.377 3，谣言传播平衡点E_e局部渐进稳定。令τ=1.870=τ₀，系统发生Hopf分岔，顽固传谣者的占比处于持续的波动状态，表示谣言在系统中呈周期性传播。如果放任关注者群体对谣言的持续关注，将导致谣言在网络中周期性爆发。通过研究Hopf分岔现象，有利于指导平台和政府制定合理的管控措施。

3.4 时滞参数对谣言传播过程的影响

为了分析时滞对谣言传播的影响，令τ分别取τ=0，0.4，0.8，1.2，1.6，其他参数取值与3.3节一致。由Butleri引理和谣言传播平衡点稳定性可得，系统（1）在谣言传播平衡点E_e趋于稳定。仿真试验给出时滞参数对谣言传播过程的影响（图8）。

关注者通过关注行为转化为顽固传谣者，时滞参数τ表示关注行为的持续时间。时滞参数τ的增大会引起顽固传谣者演化过程更加复杂，并使顽固传谣者趋于稳定的时间延后，表示用户关注谣言信息的时间越久，用户受谣言的影响越深，用户行为越不稳定。社交媒体平台应当及时清除谣言信息，遏制谣言在社交媒体上的滞留时间，缩短用户对谣言信息的关注时长，抑制时滞效应对关注者的影响，降低谣言传播对平台造成的损失，以维护良好的用户体验和平台公信力。

3.5 重要参数对谣言传播过程的影响

为研究谣言接触率α，关注者延迟感染率β，无知者关注率θ₁，用户流动率μ对谣言传播过程的影响，令ф=0.6，γ=0.6，θ₂=0.5，给出各组α，β，θ₁，μ的取值区间（表1），通过仿真试验得到各参数对顽固传谣者占比的影响（图9～图12）。

随着α，β，θ₁的增加，顽固传谣者的峰值和最终占比随之升高，谣言趋于稳定状态的时间延后（图9～图11）。随着μ的增加，顽固传谣者的峰值和最终占比随之降低，谣言趋于稳定的时间缩短（图12）。因此，若α，β，θ₁越大，μ越小，那么社交网络中谣言传播的范围越小，稳定时间越短。通过适当手段减少α，β，θ₁的值，增大μ的值，可以抑制谣言的传播能力。

3.6 基本再生数灵敏性

为研究基本再生数R₀中各个参数的敏感性，令谣言接触率α，关注者延迟感染率β，无知者感染率θ₁，用户流动率μ取值见表2，进行相关仿真（图13～16）。

每组参数使得R₀=1的值分别为α=0.432，β=0.15，θ₁=0.15，μ=0.215。R₀的值与α、β和θ₁正相关（图13～15），随着R₀>1，谣言将变为传播状态。R₀的值与μ负相关（图16）。随着R₀<1，谣言最终趋于消亡。无知者感染率θ₂与θ₁具有相同的性质。因此，为了控制传播阈值R₀，可以通过减少谣言接触率α，关注者延迟感染率β，无知者关注率θ₁和无知者感染率θ₂，增加用户流动率μ。通过考虑各因素的综合影响，可以提供有效的谣言控制策略。

3.7 真实数据集拟合

为从动力学建模的角度分析真实谣言事件的传播机制，采用真实数据拟合突发谣言传播模型的参数。使用Twitter谣言数据集中最大的数据集Dataset_R12^[19]，每隔10 min记录1次谣言推文在所有推文中的占比，对应谣言传播模型中顽固传谣者在用户群体中的占比。通过最小二乘法^[24-25]分别对前17 h数据和整体数据拟合模型参数。对前17 h的谣言累计曲线进行参数拟合（图17），得到对应系统参数值为μ=0.048 3，α=0.391 1，θ₁=0.100 0，θ₂=0.253 3，β=0.989 9，γ=0.002 0，ф=0.868 4，τ=0.156 0。

对整体谣言累计曲线进行拟合（图18），系统参数为μ=0.049 4，α=0.239 0，θ₁=0.107 3，θ₂=0.387 5，β=0.961 2，γ=0.080 2，ф=0.778 3，τ=0.166 0。

通过不同时期的参数变化可以看出，前17 h的谣言传播过程中与传谣者S占比呈正相关的传谣者接触率α，关注者延迟感染率β相对更高，说明用户在谣言传播的早期对谣言具有更大的兴趣。而随着顽固传谣者占比随时间升高，无知者传染率θ₂，关注者接触率γ增加，说明顽固传谣者的影响作用不断上升。以上试验结果表明，对突发谣言传播模型的研究能够揭示谣言传播的内在规律，为制定社交平台上的谣言传播控制策略提供参考。

4 结 論

1）在传统谣言传播模型的基础上增加顽固传谣者状态、时滞机制和用户流动因素，建立了改进的突发谣言传播模型，应用于社交网络突发谣言传播研究。

2）通过对模型性质的分析得到基本再生数R₀和时滞阈值。基本再生数R₀对预测谣言最终是否消亡起关键作用。若R₀<1，系统随时间稳定于表示谣言消亡的无谣言平衡点，；若R₀≥1，系统随时间稳定于表示谣言存在的谣言传播平衡点。时滞阈值是决定系统发生Hopf分岔现象的关键因素。若时滞参数的值超过时滞阈值，系统在谣言传播平衡点不再稳定，谣言呈周期性爆发。

3）降低谣言接触率、无知者关注率和关注者延迟感染率，提高用户流动率，可遏制基本再生数R₀，避免突发谣言事件的发生。控制时滞参数不超过时滞阈值可避免谣言呈周期性传播。通过提高无知者和关注者对谣言的辨别能力，限制顽固传谣者的活动能力，提高相关机构对网络谣言事件的响应速度，能够抑制突发谣言事件的传播，并降低谣言事件对城市安全的影响。

4）真實数据集上的模型参数拟合方法能够借助动力学理论阐述现实谣言传播事件的传播机理，并对谣言传播趋势的预测研究具有较大的意义。

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（責任编辑：李克永）