电学等效的稳态平板导热系数测试实验装置

王健翔，任瑞琪

（1.苏州大学 能源学院，江苏苏州，215006；2.苏州市计量测试院，江苏苏州，215006）

0 引言

在工程应用中，物体的导热系数是非常重要的热物性参数之一，其值随物体的材质、温湿度和杂质成分而变化[1]。导热系数的准确测定是一项重要的研究课题，已有很多研究者对影响其准确测定的因素展开了研究[2～6]。在大学教学实验中，一般采用“稳态平板法测导热系数实验”来讲解导热系数的测定原理、实施方法和影响因素。由于该方法存在测试时间长、精度相对较低、功耗高和被测物体内部温度场无法描述等问题，导致实验演示效果不理想。已有很多研究者对该实验进行了改进和优化[7～10]，但效果都有限且对教学实验而言操作过于繁琐。为此，亟须一种反应迅速、实验结果稳定、可实现多种工况的实验设备。同时为响应国家节能减排的号召，设备应该低功耗、智能化，具备与虚拟现实相结合的数字接口[11]。

在上述背景下，基于传热学和电学问题的可迁移性[12～13]，提出了一种电学的模拟实验教学装置。拟通过电压和温度的迁移、电路和热流的迁移类比，达到高速、高精度、低功耗且实验结果稳定的目标。鉴于电学参数条件容易改变和测量，也可通过改变电学参数的方式，提供多种实验工况的模拟和物体内部温度场的描述。

1 实验原理

■1.1 稳态平板法测导热系数原理

对一厚度为δ，无内热源，导热系数为λ=A+Bt的无限大平板，一侧以恒定的热流密度q加热。在稳态下，平板两侧的温度分别为t1和t2。根据傅里叶定律[14]，板内温度场可由导热微分方程式(1)描述：

其中：

对(1)积分并应用(2)边界条件，得：

在实验中，给定一个恒定的热流，并测出样品的厚度和两侧温度，即可求出样品的平均导热系数。实验的精度取决于温差、厚度和热流的测定精度，其中以热流的精准测量难度最高。

■1.2 傅里叶定律和欧姆定律数学表述相似性

给定一段材质均匀、横截面积为s的等截面导体，其电阻率为ρ，长度为l。当其两端电势分别为E1和E2时，根据欧姆定律[15]，流过该导体的电流I可以表示为：

分别对式(4)和式(5)作如下改写：

不难发现，两者在数学表达形式上是完全一致的，都是将某一流量表示为一个物性参数和一个势能差的乘积，因此两者在物理场也满足相同的分布规律。从式(6)中可以看出，在进行电学模拟时，热学中的热流q由电学中的电流I等效；待测的导热系数λm由电阻率的倒数1/ρ等效，且两者都会随着温度变化而变化；温差Δt则是通过电势差ΔE来进行等效。此外，热学实验中的板材厚度δ、电学实验中的导体长度l和导体横截面s在同一个实验中都是定值。由此便建立了电学和热学实验之间的等效关系。

■1.3 模拟方法

稳态平板法测导热系数实验的常用测试方法原理如图1的上半部分所示[16]。样品为具有一定厚度的平板，两侧分别放置热源和冷源来建立热传导条件。为确保导热是一维的，即热流仅沿着厚度方向传递，需要在样品四周设置一圈相同材料的保温区。在相同的冷热源温度下，样品和保温区界面即可近似建立绝热边界，认为样品四周与外界的热流为零。此外，为确保热流计算的准确性，通常样品对称布置在热源两侧。

图1 热学和电学模拟热传导示意图

由于电阻网络是不连续的，故借鉴数值传热学中有限元的概念，先对连续的样品区域离散化，形成区域网格[17]，然后建立如图1 所示的电阻网络。样品区位于整个网络的中央，通过耦合电阻连接至两侧的保温区电阻网络。在样品区电阻网络的上下两端施加主电压差E1，由此建立样品区闭合回路形成电流。保温区电阻网络通过耦合电阻连接至外部环境电阻网络，在其上下两端施加辅助电压差E2，建立保温区闭合回路形成电流。外部环境施加电势E3，由阻值极大的电阻耦合至保温区。所有电阻网络负极连接至同一个电源负极，建立各个区域之间的电流闭合回路。

基于以上设计，设备可以模拟以下实验条件：

（1）正常实验工况

通过电压调节装置，令E1=E2=E3，此时在耦合电阻两端的电势相等，电流均沿着竖直方向的电阻从上至下。电流的路径与一维导热条件下热流的路径一致。

（2）保温区温度偏低形成热流外泄条件

通过电压调节装置，令E1＞E2=E3，此时由于保温区的各网络节点的电势均小于样品区边缘网络节点的电势，在耦合电阻中形成样品区向保温区方向的电流。在该工况下，可模拟由于保温区温度偏低，造成样品区热流外泄，从而影响测试结果的现象。

（3）保温区温度偏高形成额外热流附加

通过电压调节装置，令E1＜E2=E3，此时由于保温区的各网络节点的电势均大于样品区边缘网络节点的电势，在耦合电阻中形成保温区向样品区方向的电流。在该工况下，可模拟由于保温区温度偏高，造成样品区热流增大，从而影响测试结果的现象。

（4）环境温度对整体实验的影响

通过电压调节装置，调节E3使其在E1、E2附近波动。当E3＞E2=E1时，可模拟测试温度低于环境温度时，开展正常实验的工况；当E3＜E2=E1，可模拟测试温度高于室温时，开展正常实验的工况。E1和E2之间的大小关系可参照第二和第三种工况说明。

（5）不同温度下的测试实验模拟

通过电压调节装置，调节E1、E2和E3的电压大小，模拟在不同温度水平下的测试实验。由于在不同电压下，电阻自身发热量不同，选用具有一定温度系数的电阻即可实现在不同电压下的不同电阻率测试结果。

（6）样品内部温度场的模拟

依次测量电阻网络各节点的电压，将电压相等的节点连接形成等压线，即可等效为热学实验中的等温线。等压线的梯度反方向即为电流的方向。绘制多条电流方向，即可模拟样品内部的热流路径。

2 设备制作

■2.1 主要技术参数目标

设备的主要设计技术参数如表1 所示。

表1 设备设计技术参数

其中，电压选用常规直流低压12V，电流选用240mA以使电阻网络功耗低于3W，额外2W 供其他仪表使用。

■2.2 详细设计

根据设备技术参数，需要设计电压调节方式和电阻网络规模，然后对仪表进行选型，最后完成电路板原理图和PCB 的绘制。

（1）电压调节设计

电压范围为0～12V，输入采用12V 直流电源。基于成本、使用方便和稳定性，同时要求电压连续可调，选用AMS1085 低压差线性稳压器。该器件具备过流保护和过热保护功能，且AMS1085 的线性调整率达到0.015%。其外围电路简单，仅需要6 个外围器件即可工作。典型的电路构成如图2 所示。

（2）电阻网络规模

电阻网络在最高电压12V 时，其电流不超过240mA。计算得到整体电阻网络的并联阻值不低于50Ω。本方案中，样品区电阻网络选用7 列；保温区选用6 列，对称分布于样品区两侧；环境采用一列耦合电阻直接接入。样品区和保温区的电阻均选用100Ω，内部耦合电阻选用100Ω，环境耦合电阻选用100kΩ。电阻网络行数选用8 行。计算可得网络在竖直方向等效电阻约为61.5Ω，满足要求。需要注意的是，此处电阻网络的设计并不唯一。设计完成后的整体电路如图3 所示。

图3 电阻网络示意图

（3）仪表选型

本设备中，主要使用的仪表为高精度电压表和电流表计。结合前面章节中的参数，电压精度为0.1V，电压范围0～12V。考虑仪表留有20%的裕度，选用电压表的要求为精度0.1V，量程大于0～14V。电阻网络总电流为240mA，由样品区和保温区共同组成，其中单个区域的电流约为120mA。在留有安全余量的前提下，电流表计的要求为精度0.1mA，量程0～140mA。

（4）电路板设计

电路板采用国产电路设计软件“立创EDA”进行印刷电路板（PCB）的原理图和PCB 的绘制。设计完成的电路板如图4 所示。正面从左往右依次为电压调节旋钮、电源接口、3 个电压表、电势测点和3 个电流表，如图4(a)所示。背面为电阻网络区域和电压调节模块组成，如图4(b)所示。

图4 PCB 效果图

■2.3 系统整体组装

完成组装后的设备主板如图5 所示。

图5 组装完成后的设备主板

3 实验与结果

■3.1 实验数据测量

受限于篇幅，此处选取1.2 节中的工况1、2、3 进行实验并详细阐述，实验步骤如下：

（1）将所有电压调节旋钮逆时针旋转到底，并打开电源，开始计时；

（2）依次调节样品区热端电压约为9.0V、保温区热端电压约为6.0V、环境热端电压约为6.0V。

（3）从电流表读取样品电流、保温区电流和环境电流分别为：65.5mA、53.3mA 和0mA。

（4）使用万用表，依次测量各测点的电压，保留两位小数，填入表2 中。

表2 电阻网络电压测点值1（V）

（5）依次调节样品区热端电压约为9.0V、保温区热端电压约为9.0V、环境热端电压约为9.0V，重复步骤(3)～(4)，三个电流表数据依次为：76.3mA、65.6mA 和0mA，电阻网络各节点电压数据填入表3。

表3 电阻网络电压测点值2（V）

（6）依次调节样品区热端电压约为9.0V、保温区热端电压约为11.5V、环境热端电压约为11.5V，重复步骤(3)～(4)，三个电流表数据依次为：83.9mA、74.5mA 和0mA，电阻网络各节点电压数据填入表4。

表4 电阻网络电压测点值3（V）

（7）实验结束关闭电源，停止计时。

■3.2 实验结果

在实验中，令l=s=1 ，公式(5)可转化为：

代入实验数据计算等效导热系数，并整理成表5。表5中，实验2为在正确的实验条件下，测得等效导热系数值为8.38，将该数据作为参考；当样品区电势差高于保温区时（实验1），热流外泄，测得等效导热系数为7.29，低于实际值；当样品区电势差低于保温区时（实验3），保温区热流附加至样品区，测得的等效导热系数为9.29，高于实际值。由于环境电势差与保温区电势差一致，因此在三个实验中，外部环境电流都为0mA，即外部环境与测试系统没有热量交换。实验结果与真实实验情况相吻合。

表5 实验结果表

分别绘制三种实验条件下样品内部的模拟温度分布图，并作等高线，如图6 所示。热流的方向为等高线的梯度反方向，如图中虚线箭头所指方向。

图6 模拟温度场

从图6(b)中可看出，实验2 的温度沿板厚度方向均匀分布，热流仅沿板厚度方向从高温侧指向低温侧，与无限大平板一维稳态导热理论温度分布趋势吻合。当保温区温度低于样品区温度时，等温线向下弯曲，如图6(a)所示。此时热流由样品区向保温区流失。相反，当保温区温度高于样品区温度时，等温线向上弯曲，如图6(c)所示。此时热流从两侧保温区流向中间样品区。

■3.3 其他技术参数实验结果

（1）设备功耗。在上述实验中，通过功率表测得的实际功耗最大为4.4W，小于设计功耗。对比实验设备：上海同广科教某型号设备为200W；上海绿兰某型号设备为180W。

（2）设备体积。设备体积实测25cm×16cm×5cm。额外配备万用表一块，12V 便携式电源一个。参照设备为80cm×40cm×140cm。

（3）实验时长。设备设定电压值后，工况即刻达到稳定状态，无需等待热平衡。平均单次温度场数据测试耗时约5 分钟。具体实验时间视实验设定组数而定。参照实验设备平均实验时长为2 小时。

4 结论

基于欧姆定律与傅里叶定律的数学表述相似性和数值传热学有限元思想，设计并实现了一种电学等效的稳态平板导热系数测试微型实验教学演示装置。实验结果显示，该装置在可满足开展原理验证性实验的同时，提供了更为丰富的参数调节功能，并具备描述样品内部温度场的功能。设备可靠稳定、功耗低、便携、操作简单且实验时间短，在实验教学中有很高的实用性和很高的性价比。